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Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang 08:20 min

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Transkript Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns aus dem Gebiet Elektrizität und Magnetismus heute mal wieder den Plattenkondensator ansehen, genauer gesagt, seinen Lade- und Entladevorgang. Wir lernen heute, wie man einen Kondensator überhaupt lädt bzw. entlädt, wie die genaue Formel für den Entladevorgang aussieht und natürlich auch, wie die Formel für den Aufladevorgang aussieht. So, dann mal los. Was brauche ich denn nun alles, um einen Kondensator zu laden oder zu entladen, und wie gehe ich dabei eigentlich vor? Zu allererst brauche ich mal natürlich einen Kondensator. Das ist aber noch nicht alles. Hinter meinem Kondensator schalte ich einen Widerstand. Den brauche ich, damit nicht zu viel Strom auf einmal fließt, denn ein zu hoher Stromfluss kann meinen Kondensator zerstören. So und das war es auch schon. Jetzt schließe ich das Ganze an meine Spannungsquelle an, und der Kondensator fängt an, sich aufzuladen. Meine Kondensatorplatten sind nun also negativ bzw. positiv aufgeladen und bleiben das auch, wenn ich die Spannungsquelle entferne. Um meinen geladenen Kondensator zu entladen, schließe ich nun diese Schaltung einfach kurz. Dadurch fließen nun meine freien Ladungsträger über den Widerstand von einer Kondensatorplatte zur anderen, bis sich die beiden Ladungen ausgeglichen haben und mein Kondensator entladen ist. So, soweit so gut. Wir merken uns also: Ein Kondensator wird sowohl zum Laden als auch zum Entladen mit einem Widerstand in Reihe geschaltet, da ihn ein zu großer Stromfluss beschädigen kann. Als Nächstes wollen wir mal einen genaueren Blick auf die Formeln für den Entladevorgang werfen. Dazu merken wir uns: Wir nennen die Spannung am Kondensator Uc und die Spannung am Widerstand Ur. Da in unserem Kreislauf ansonsten nichts los ist, gilt Uc+Ur=0. Wir wissen außerdem, für den Kondensator gilt C, also die Kapazität, =Q/U; und für den Widerstand gilt R=U/I. Ich kann diese beiden Formeln also hier einsetzen, sodass sich ergibt: Q/C+R×I=0. Die nächste Umformung ist ein bisschen schwieriger. Wie ihr euch vielleicht erinnert, ist die Einheit der Ladung (Coulomb) C=A×s. Wenn ich also 5 Sekunden lang 1 Ampere auf eine Metallkugel fließen lasse, ist diese Kugel danach mit 5 Coulomb geladen. Wenn ich die Ladung nun nach der Zeit ableite, dann erhalte ich, A×s nach Sekunden abgeleitet, Ampere, also Strom. Das heißt: dQ/dt (die zeitliche Ableitung der Ladung) =I. Man schreibt auch QPunkt. Dieses QPunkt setze ich nun für I ein, sodass sich ergibt: QPunkt=-Q/RC. Und das ist gar nicht so leicht zu lösen, wie es aussieht. Denn in dieser Gleichung taucht sowohl die Ladung Q als auch ihre zeitliche Ableitung QPunkt auf. Man nennt so was eine Differenzialgleichung. Unser Job ist also, eine Funktion zu finden, die abgeleitet -1/RC × sich selbst ergibt. Und für alle Freunde der e-Funktion ist die Lösung gar nicht so schwer zu finden. Wenn ich e-t/RC nach t ableite, erhalte ich: -1/RC×e-t/RC. Und dann muss ich natürlich noch dafür sorgen, dass am Anfang meine Ladung auch Q ist. Das heißt, die Formel für meine Ladung abhängig von der Zeit Q(t)=Q0×e-t/RC. Nun, da ich eine zeitabhängige Formel habe, kann ich auch die anderen zeitabhängigen Formeln von ihr aus ausrechnen. Ich schreibe als erstes: Der Strom am Kondensator Uc(t) ist ja, wie ich weiß, =Q(t)/C. Ich kann also schreiben: Uc(t)=Q0/C×e-t/RC. Ich weiß ja, dass der Strom am Widerstand + der Strom am Kondensator zusammen 0 ergeben. Also kann ich schreiben: Ur(t)=-Uc(t)=-Q0/C×e-t/RC. Und zuletzt, der Vollständigkeit halber: Mein Stromfluss abhängig von der Zeit I(t)=QPunkt oder =Q0/R×C×e-t/RC, wobei ich bemerken kann, Q0/RC ist ja genau mein Stromfluss am Anfang I0. Hier seht ihr ein Beispiel für einen Entladevorgang in einem Spannung-Zeit-Diagramm für einen Kondensator mit der Entladezeit 10ms. Wie ihr seht, wird ein Großteil der Spannung sehr schnell abgebaut und dann der Rest immer langsamer. So, dann mal weiter zum Ladevorgang. Wir entfernen unseren Kurzschluss und setzen stattdessen wieder eine Spannungsquelle ein, die unseren jetzt wieder entladenen Kondensator wieder aufladen soll. Wir wissen: Wenn ich die Spannungen am Kondensator und am Widerstand addiere, muss ich die Spannung an der Spannungsquelle erhalten. Also U=Uc+Ur. Mit den gleichen Formeln wie gerade eben forme ich wieder um, sodass sich ergibt: U=Q/C+R×QPunkt. Ich erhalte also wieder eine Differenzialgleichung, diesmal: QPunkt=U/R-Q/RC. Das kann ich wieder durch die e-Funktion lösen. Diesmal erhalte ich: Q(t)=Q0×(1-e-t/RC). Wir betrachten kurz, ob das Sinn macht. Nehmen wir an, die Zeit geht gegen ?. Dann geht e-t/RC gegen e^-?, also gegen 0. Das heißt, ich erhalte Q0×1, also Q0, und das macht Sinn. Wenn ich unendlich lange auflade, sollte meine Ladung gegen Q0, also den Maximalwert gehen. Genau wie beim Entladen kann ich jetzt wieder aus der Formel für Q(t) die Formeln für U am Kondensator und am Widerstand und für den Strom errechnen. Die Spannung am Kondensator Uc(t) ist nun: U×(1-e-t/RC). Die Spannung am Widerstand ist nun die Spannung an der Spannungsquelle U - die Spannung am Kondensator Uc, ist also =U×e-t/RC. Und zum Schluss noch den Strom: I(t)=QPunkt=Q0/RC×e-t/RC. Hier seht ihr noch mal unseren Beispielkondensator von gerade eben beim Aufladevorgang. Wie ihr seht, wird auch diesmal ein Großteil der Spannung sofort aufgebaut, der Rest geht dann eher langsam. Und damit sind wir auch schon am Ende angekommen. Falls euch interessiert, wie man diese Formeln einsetzt, empfehle ich euch die Beispielrechnung zum Plattenkondensator. Jetzt wollen wir erst noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Zum Auf- oder Entladen wird ein Kondensator mit einem Widerstand in Reihe geschaltet, da ihn ein zu großer Stromfluss ansonsten zerstören kann. Die Formel für die Ladung Q, die zum Zeitpunkt t auf unseren Kondensatorplatten liegt, für die Entladung ist: Q(t)=Q0×e-t/RC. Die Formel für den Aufladevorgang ist: Q(t)=Q0×(1-e-t/RC). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle

5 Kommentare
  1. @Mrgf19

    Achte bitte auf den Index, dort steht nicht Q sonder Q_0 also die anfängliche Ladung des Kondensators. Diese wird dann mit der Zeit Kleiner, dieses wird durch die folgende negative Exponentialfunktion bewirkt.

    Von Karsten Schedemann, vor mehr als 3 Jahren
  2. Warum muss bei der Gleichung für I(t) (bei 4:48) kein Minus vor das Q/R*C?
    Bei Q Punkt steht ja auch
    "-Q/RC"...

    Von Mrgf19, vor mehr als 3 Jahren
  3. Ja, durch den Elektronenfluss verringert sich die Ladung in den Platten und damit die "Anziehungskraft".
    Mathematisch: Die Änderung der Ladung in den Platten ist gleich der fließende Strom, als dQ/dt=I.
    Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion, der Strom nimmt also exponentiell ab.

    Von Jakob Köbner, vor etwa 7 Jahren
  4. Nur wie kann man die exponentielle Funktion des Entladevorgangs physikalisch erklären? Also warum fließen anfangs die Elektronen ganz schnell zum Pluspol und anschließend viel langsamer? Liegt das nur daran, dass sie nicht mehr so stark angezogen werden?

    Von Kleinbode, vor etwa 7 Jahren
  5. Klasse Erklärung danke!!!

    Von Kleinbode, vor etwa 7 Jahren

Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib das Verhalten des Plattenkondensators an.

    Tipps

    Die Platten sind neutral, wenn sich weder ein Überschuss noch ein Defizit an Elektronen auf ihnen befindet.

    Was passiert, wenn du die beiden Pole einer Spannungsquelle über einen Leiter verbindest?

    Lösung

    Ein Plattenkondensator ist aus zwei parallelen Platten aufgebaut. Wenn man den Plattenkondensator nicht lädt, sind die Platten neutral. Schließt man eine Spannung an, ergibt sich ein Strom und Ladungsträger bewegen sich von der einen Platte weg und zur anderen Platte hin.

    Zwischen zwei unterschiedlich geladenen Objekten besteht eine Spannung. Verbindet man diese miteinander, ergibt sich ein Strom. Der Plattenkondensator wird beim Entladen also selber zur Spannungsquelle.

  • Beschreibe Lade- und Entladevorgang beim Plattenkondensator qualitativ.

    Tipps

    Erinnere dich daran, was die freien Ladungsträger in einem Leiter sind.

    Ein Überschuss an Elektronen führt zu einer negativen Gesamtladung, ein Defizit an Elektronen zu einer positiven Gesamtladung.

    Ein Widerstand verringert den Stromfluss.

    Lösung

    Beim Laden und Entladen wird ein Widerstand mit dem Kondensator in Reihe geschaltet, um die Stromstärke zu begrenzen. Bei einer zu hohen Stromstärke könnten Stromquelle, Kondensator oder Leiter beschädigt werden.

    Zum Laden des Kondensators wird eine Spannung benötigt. Diese wird von einer Gleichstromquelle geliefert. Es gibt also einen Strom im Leiter: Die freien Ladungsträger, die Elektronen, fließen aus einer der Platten ab und in die andere Platte hinein. In einer Platte kommt es also zum Überschuss in der anderen Platte zum Defizit von Elektronen. Elektronen sind negativ geladen. Daher trägt die Platte mit dem Überschuss an Elektronen insgesamt eine negative Ladung und die Platte mit dem Defizit an Elektronen eine positive Ladung.

    Beim Entladen werden die beiden Platten einfach über den Widerstand verbunden, das heißt, sie werden kurzgeschlossen. Nun kommt es zu einem Strom von der negativ geladenen Platte zur positiv geladenen Platte.

  • Beschreibe Lade- und Entladevorgang beim Plattenkondensator quantitativ.

    Tipps

    Erinnere dich daran, wie bei einem Plattenkondensator im geladenen und im ungeladenen Zustand die freien Ladungsträger, die Elektronen, verteilt sind.

    Was brauchst du, damit ein Strom fließen kann?

    $Q_{(t)}$ beschreibt die Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt $t$. Setze für $t$ einmal $0$ und einmal eine sehr große Zahl ein.

    Lösung

    Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Metallplatten. Im ungeladenen Zustand sind diese neutral. Im geladenen Zustand befinden sich auf einer der Platten mehr und auf der anderen weniger Elektronen als im neutralen Zustand. Um diesen Zustand zu erreichen, muss eine Spannungsquelle an den Plattenkondensator angeschlossen werden. Durch die Spannung bewegen sich die Elektronen aus der einen Platte zum Pluspol der Spannungsquelle und es bewegen sich Elektronen vom Minuspol der Spannungsquelle zur anderen Platte.

    Beim Entladen verbindet man einfach die beiden unterschiedlich geladenen Platten. Man schließt den Plattenkondensator kurz. Dann gleichen die Ladungen sich aus. Damit der Strom nicht zu groß wird und den Kondensator oder die Leitungen zerstört, schließt man noch einen Widerstand zum Plattenkondensator in Reihe.

    Beim Entladen wird die Ladung auf dem Plattenkondensator also kleiner und beim Laden wird sie größer. Genau so verhält sich also auch die Spannung zwischen den beiden Platten: Beim Entladen wird sie kleiner und beim Laden wird sie größer: Dadurch findest du heraus, welcher der Graphen für den Entladevorgang und welcher für den Ladevorgang steht.

    Setzen wir $t=0$ in die Formel $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$ ein, sehen wir, dass $Q_{(0)}=Q_0$. Für ein sehr großes $t$ wird die e-Funktion sehr klein. Die Ladung wird also immer kleiner. Daraus folgt, dass diese Formel den Entladevorgang beschreibt. Entsprechend kannst du auch Werte für $t$ in die zweite Formel einsetzen und sie interpretieren.

  • Wende die Formel für den Ladevorgang an.

    Tipps

    Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Das heißt $ln(e^{x})=x$ für alle Argumente $x$.

    Für die ln-Funktion gilt $ln(\frac{1}{2})=-ln(2)$.

    Lösung

    Gegeben sind $R=5\,\Omega$, $C=0,2\,F$ und $U=5\,V$.

    Gesucht ist $t$, so dass $Q_{(t)}=\frac{1}{2}Q_0$.

    Die Formel für den Ladevorgang lautet:

    $Q_{(t)}=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$.

    Setzen wir ein erhalten wir:

    $\frac{1}{2}Q_0=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$.

    Wir können also $Q_0$ kürzen und erhalten

    $\frac{1}{2}=1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

    Jetzt können wir auf beiden Seiten $1$ subtrahieren und erhalten

    $-\frac{1}{2}=-e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

    Nach der einer Multiplikation mit $-1$ auf beiden Seiten ergibt sich:

    $\frac{1}{2}=e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

    Nun nehmen wir auf beiden Seiten die ln-Funktion. Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Wir erhalten:

    $ln(\frac{1}{2})=-\frac{t}{R\cdot C}$.

    Verwenden wir die Eigenschaften der ln-Funktion, ergibt sich

    $-ln(2)=-\frac{t}{R\cdot C}$.

    Wir multiplizieren wieder mit $-1$ und erhalten

    $ln(2)=\frac{t}{R\cdot C}$.

    Nun können wir mit $R\cdot C$ multiplizieren:

    $t=R\cdot C \cdot ln(2)$.

    Die Zeit hängt also gar nicht von der Spannung ab.

    Schauen wir uns, bevor wir einsetzen, noch kurz die Einheiten an:

    $R=5\,\Omega=5\,\frac{V}{A}=5\,\frac{Vs}{C}$,

    $C=0,2\,F=0,2\,\frac{C}{V}$.

    $R\cdot C$ hat also die Einheit $s$. Es ist also eine Zeit. Das ist ein gutes Zeichen dafür, dass wir richtig gerechnet haben.

    Wir erhalten also nach dem Einsetzen:

    $t=ln(2)\,s=0,7\,s$.

  • Interpretiere die Formeln für den Lade- und Entladevorgang eines Plattenkondensators.

    Tipps

    Der Widerstand wird in den Formeln mit $R$ und die Kapazität mit $C$ bezeichnet.

    Überlege dir genau, wie die e-Funktion sich verhält, wenn ihr Argument wächst oder fällt.

    Wie verhält sich das Argument $-\frac{t}{R\cdot C}$ für festes $t$ und festes $R$, wenn C wächst?

    Wie verhält sich das Argument $-\frac{t}{R\cdot C}$ für festes $t$ und festes $C$, wenn R wächst?

    Lösung

    Aus der Formel für den Ladevorgang sieht man, dass am Anfang des Ladevorgangs die Ladung $Q_{(t=0)}=0$ und am Ende $Q_{(t=\infty)}=Q_0$ beträgt.

    Aus der Formel für den Entladevorgang sieht man, dass am Anfang des Entladevorgangs die Ladung $Q_{(t=0)}=Q_0$ und am Ende $Q_{(t=\infty)}=0$ beträgt.

    Das Argument der e-Funktion in beiden Formeln ist $-\frac{t}{R\cdot C}$. Für konstante Zeit $t$ und konstanten Widerstand $R$ wird es größer, wenn die Kapazität $C$ wächst. Für konstante Zeit $t$ und konstante Kapazität $C$ wird es größer, wenn der Widerstand $R$ wächst.

    Der Funktionswert der e-Funktion ist umso größer, je größer ihr Argument ist. Dieses Verhalten nennt sich streng monoton wachsend.

    Wenn ich den Widerstand also vergrößere, wächst das Argument der e-Funktion und somit auch ihr Funktionswert. Aus der Formel für den Entladevorgang $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$ sehen wir, dass $Q_{(t)}$ in diesem Fall größer wird. Es ist also im selben Zeitraum $t$ weniger Ladung aus dem Kondensator geflossen.

    Analog kannst du auch die weiteren drei Aufgaben lösen.

    Die Formeln sind beide unabhängig von der Spannung $U$. Daraus ergibt sich, dass die Geschwindigkeit von Lade- und Entladevorgang unabhängig von der Spannung ist.

  • Wende die Formeln für den Entladevorgang und den Ladevorgang richtig an.

    Tipps

    Was ist das Produkt von Widerstand und Kapazität und wo kommt es in den Formeln vor?

    Die Eulersche Zahl $e$ ist rund 2,718.

    Lösung

    Die Formel für den Ladevorgang ist $Q_{(t)}=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$ und die Formel für den Entladevorgang ist $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

    Gegeben sind $Q_0=3\,C$, $R=5\,\frac{C}{V}$ und $R=0,2\,\Omega$. $\Omega$ ist gleich $\frac{V}{A}$. Und Ampere ist Coulomb pro Sekunde, also $\Omega=\frac{Vs}{C}$. Dann ist $C\cdot R=5\,\frac{C}{V}\cdot 0,2 \,\frac{Vs}{C}=1\,s$.

    Wir erhalten also für den Ladevorgang $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{t}{1\,s}})$ und für den Entladevorgang $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{t}{1\,s}}$.

    Bei dieser Übung müssen diese Formeln richtig angewendet werden. Im Folgenden gehe ich die genannten Fälle durch und zeige dir, wie du zum Ergebnis kommst.

    Bei $t=0$ ist der Kondensator vollständig geladen. Der Entladevorgang läuft bis $t=5\,s$. Wir setzen also in die Formel für den Entladevorgang ein und erhalten:

    $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{5\,s}{1\,s}}=3\,C\cdot e^{-5}=3\cdot e^{-5}\,C$.

    Bei $t=0$ ist der Kondensator ungeladen. Der Ladevorgang läuft bis $t=2\,s$. Wir setzen in die Formel für den Ladevorgang ein und erhalten:

    $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{2\,s}{1\,s}})=3\,C\cdot(1-\frac{1}{e^2})$.

    Bei $t=0$ ist der Kondensator vollständig geladen. Der Entladevorgang läuft bis $t=1\,s$. Wir setzen in die Formel für den Entladevorgang ein und erhalten:

    $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{1\,s}{1\,s}}=\frac{3}{e}\,C\approx 1,1\,C$.

    Bei $t=0$ ist der Kondensator ungeladen. Der Ladevorgang läuft bis $t=1\,s$. Wir setzen in die Formel für den Ladevorgang ein und erhalten:

    $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{1\,s}{1\,s}})=3\,C(1-\frac{1}{e})\approx 1,9\,C$.