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Was sind Primzahlen?

Eine Primzahl ist eine besondere natürliche Zahl. Sie hat genau zwei Teiler, nämlich die $1$ und sich selbst.

  • $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat.
  • $2$ ist eine Primzahl. $2$ ist übrigens die kleinste Primzahl und darüber hinaus die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist sicher durch $2$ teilbar und kann somit keine Primzahl sein.
  • Nun weißt du schon, dass bis auf die $2$ jede Primzahl ungerade ist.

Wie kannst du die Primzahlen in einem bestimmten Bereich ermitteln?

Das Sieb des Eratosthenes

Eratosthenes war ein griechischer Mathematiker. Er lebte im 3. Jahrhundert v. Chr. Auf ihn geht das Sieb des Eratosthenes zurück.

Hier siehst du am Beispiel der ersten $20$ Zahlen, wie dieses Sieb funktioniert.

  • Du schreibst erst einmal alle Zahlen von $2$ bis $20$ auf.
  • Die $1$ lässt du aus, weil die $1$ keine Primzahl ist.

$\quad~~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9~~10~~11~~12~~13~~14~~15~~16~~17~~18~~19~~20$

  • Die erste Zahl, die $2$, ist eine Primzahl. Du markierst sie, zum Beispiel mit einem Kringel oder einer Farbe.
  • Nun kannst du alle Vielfachen von $2$, also die geraden Zahlen streichen, weil sie auf jeden Fall mindestens $1$, sich selbst und auch die $2$ als Teiler haben. Daher sind sie keine Primzahlen.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~3~~5~~7~~9~~11~~13~~15~~17~~19$

  • Die nächste Zahl, die $3$, ist ebenfalls eine Primzahl. Du markierst sie.
  • Nun streichst du alle Vielfachen von $3$. Weil auch sie mindestens noch die $3$ als weiteren Teiler haben.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~5~~7~~11~~13~~17~~19$

  • Die nächste Zahl, die $5$ ist eine Primzahl. Du könntest jetzt auch alle Vielfachen von $5$ streichen, nur gibt es bereits keine mehr.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~\color{#669900}{5}~~7~~11~~13~~17~~19$

  • Auch gibt es keine Vielfachen von der nächsten Primzahl, der $7$ in dieser Reihe.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~\color{#669900}{5}~~\color{#669900}{7}~~11~~13~~17~~19$

  • Ab der weiteren Primzahl, $11$ kann es in der Reihe keine Vielfachen mehr geben, weil die Vielfachen in jedem Fall größer als $20$ wären.
  • Alle Zahlen, die jetzt noch da stehen sind Primzahlen.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~ \color{#669900}{5}~~ \color{#669900}{7}~~ \color{#669900}{11}~~ \color{#669900}{13}~~ \color{#669900}{17}~~ \color{#669900}{19}$

Probier das doch mal selbst mit den ersten $50$ Zahlen aus.

Wie kannst du prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Um zu prüfen, ob eine natürliche Zahl eine Primzahl ist, kannst du ähnlich wie beim Sieb des Eratosthenes vorgehen. Dabei benötigst du Wissen über die Teilbarkeitsregeln. Du prüfst so lange, ob die Zahl durch $2$, $3$, $5$ und so weiter teilbar ist, bis du entweder einen Teiler findest und weißt, dass es keine Primzahl ist. Oder du findest keinen Teiler und weißt, dass die Zahl eine Primzahl ist.

Beispiel 1: Ist $36$ eine Primzahl?

$36$ ist eine gerade Zahl. Bis auf die $2$ sind alle Primzahlen ungerade. Die $36$ kann also keine Primzahl sein. Das ist einfach, oder?

Beispiel 2: Ist $117$ eine Primzahl?

Immerhin ist die $117$ ungerade. Sie könnte also eine Primzahl sein. Deshalb untersuchst du die Teilbarkeit dieser Zahl.

  • Durch $2$ ist $117$ nicht teilbar, sonst wäre die Zahl gerade.
  • Eine Zahl ist durch $\mathbf{3}$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. $1+1+7=9$ ist durch $3$ teilbar.

Damit ist auch $117$ durch $3$ teilbar und kann keine Primzahl sein.

Beispiel 3: Ist $133$ eine Primzahl?

$133$ ist ungerade. Nun prüfst du wieder die Teilbarkeit durch die Primzahlen:

  • Durch $2$ ist $133$ nicht teilbar, sonst wäre die Zahl gerade.
  • Ist die Zahl durch $3$ teilbar? Die Quersumme von $133$ ist $1+3+3=7.$ Aber $7$ ist nicht durch $3$ teilbar, dann kann auch $133$ nicht durch $3$ teilbar sein.
  • Ganz sicher ist $133$ nicht durch $5$ teilbar. Warum? Die letzte Zahl müsste entweder eine $0$ oder eine $5$ sein.
  • Nun prüfst du die Teilbarkeit durch $\mathbf{7}$: Eine Zahl ist durch $7$ teilbar, wenn diejenige Zahl durch $7$ teilbar ist, die du erhältst, wenn du das Doppelte der letzten Ziffer vom Rest der Zahl abziehst. Oh, das hört sich kompliziert an. Probier's doch mal: Das Doppelte der letzten Ziffer ist $2\cdot 3=6$. Nun ziehst du $6$ vom Rest der Zahl, also der $13$, ab. Das ergibt $7$ und die ist sicher durch $7$ teilbar. Es ist $7\cdot 19=133$.

Damit hat $133$ außer der $1$ und sich selbst noch zwei weitere Teiler. $133$ ist also keine Primzahl.

Primfaktorzerlegung

Warum beschäftigen sich die Mathematiker so gerne mit Primzahlen und versuchen immer wieder neue zu finden? Eine ganz wichtige Anwendung der Primzahlen ist die Primfaktorzerlegung. Schau mal, welche Wörter darin stecken:

  • Prim: das kennst du ja jetzt von den Primzahlen.
  • Faktor: Du weißt: Faktor mal Faktor gleich Produkt. Ein Faktor ist ein Term bei der Multiplikation.
  • Zerlegung: Das Ziel der Primfaktorzerlegung ist, eine Zahl in möglichst kleine Faktoren zu zerlegen. Dies sind gerade die Primzahlen, denn diese kannst du nicht weiter in Faktoren zerlegen.

Um eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, ist es gut, wenn du Teilbarkeitsregeln kennst.

Bei der Primfaktorzerlegung teilst du eine Zahl so oft durch die kleinste Primzahl, $2$, bis du nicht mehr ohne Rest teilen kannst. Danach teilst du durch die nächst größere Primzahl, $3$, bis du nicht mehr ohne Rest teilen kannst. Das machst du Primzahl für Primzahl.

Beispiel 1 für die Primfaktorzerlegung: $36$

Die $36$ ist eine gerade Zahl, also durch $2$ teilbar.

  • $36=2\cdot 18$ Die $18$ ist auch eine gerade Zahl, also $18=2\cdot 9$.
  • $36=2\cdot 2\cdot 9$

Kannst du die $9$ weiter zerlegen? Ja, sie ist durch $3$ teilbar: $9=3\cdot 3$.

Nun ist die Primfaktorzerlegung fertig:

$\quad~~~36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$

Alle Faktoren sind Primzahlen.

Beispiel 2 für die Primfaktorzerlegung: $117$

Ist diese Zahl durch $2$ teilbar? Sicher nicht, denn sie ist ungerade. Sie ist durch $3$ teilbar, denn die Quersumme $1+1+7=9$ ist durch $3$ teilbar.

  • $117=3\cdot 39$

Schau dir jetzt den Faktor $39$ an. Der ist wieder durch $3$ teilbar, weil die Quersumme $3+9=12$ durch $3$ teilbar ist: $39=3\cdot 13$.

  • $117=3\cdot 3\cdot 13$

Die $13$ ist eine Primzahl. Das haben wir bei dem Sieb des Eratosthenes bereits festgestellt.

Die Primfaktorzerlegung ist fertig:

$\quad~~~117=3\cdot 3\cdot 13$

Bis auf die Reihenfolge der Multiplikation ist die Primfaktorzerlegung eindeutig.

Kürzen von Brüchen mit Hilfe der Primfaktorzerlegung

Für das Kürzen von Brüchen ist die Primfaktorzerlegung eine tolle Möglichkeit, um gerade bei großen Zahlen im Zähler und/oder Nenner schnell so weit wie möglich zu kürzen.

Statt nach gemeinsamen Teiler zu suchen, zerlegst du Zähler und Nenner jeweils in Primfaktoren. Übrigens: Mit ein bisschen Übung geht das sehr schnell!

Anschließend kannst du alle Faktoren, die sowohl in Zähler als auch Nenner auftauchen, als Paar immer wegstreichen:

$\quad~~~\frac{117}{36}=\frac{\not 3~\cdot~ \not 3~\cdot~13}{2~\cdot~ 2~\cdot~ \not 3~\cdot~ \not 3}=\frac{13}{4}$

Diesen Bruch kannst du nicht mehr weiter vereinfachen (kürzen).