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Mit negativen Zahlen und Minusklammern rechnen

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Rechnen mit rationalen Zahlen

Wir betrachten im Folgenden die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Bereich der rationalen Zahlen. Dabei fällt unser Augenmerk besonders auf die negativen Zahlen.

Addition und Subtraktion

Die Subtraktion einer rationalen Zahl ist dasselbe wie die Addition ihrer Gegenzahl. Es gilt also:

$-3 - 8 = -3 + (-8) = -11$

$-4 - 1 = -4 + (-1) = (-5)$

Da demzufolge jede Subtraktion einer rationalen Zahl als Addition aufgefasst werden kann, brauchen wir uns nur folgende Additionsregeln zu merken: Haben die Summanden gleiche Vorzeichen, hat die Summe auch dieses Vorzeichen:

$5 + 8 = 13$

Die Summanden sind positiv, also ist das Ergebnis positiv. Wir betrachten noch ein weiteres Beispiel:

$-7 - 10 = (-17)$

Hier sind die Summanden negativ, also ist das Ergebnis negativ. Haben die Summanden unterschiedliche Vorzeichen, so rechnen wir die Differenz ihrer Beträge aus. Das Ergebnis hat das Vorzeichen der Zahl mit dem höchsten Betrag. Wir betrachten folgendes Beispiel:

$-3 + 12 = 9$

Als Differenz ihrer Beträge erhalten wir $12 - 3 = 9$. Das Ergebnis der Aufgabe ist positiv, da der Betrag von $+12$ größer ist als der von $-3$. Zum besseren Verständnis folgt ein weiteres Beispiel:

$8 - 17 = -9$

Als Differenz erhalten wir $17 - 8 = 9$. Das Ergebnis ist allerdings negativ, da der Betrag von $-17$ größer ist als der von $8$.

Kommutativgesetz

Bei der Addition gilt das Kommutativgesetz. Dieses besagt, dass wir die Summanden vertauschen können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Es gilt also: $a + b = b + a$. Hierzu betrachten wir im Folgenden einige Beispiele:

$6 + 9 = 9 + 6 = 15$

$-6 + 9 = 9 + (-6) = 9 - 6 = 3$

Bei einer Subtraktion funktioniert die Anwendung des Kommutativgesetzes nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

$9 - 6 \neq 6 - 9$

Es ist nämlich $3 \neq -3$. Die Additionsregel lässt sich aber anwenden, wenn wir aus der Differenz wie folgt eine Summe machen:

$9 -6=9 + (-6) = -6 + 9 = 3$

Assoziativgesetz

Um Summen zu addieren oder zu subtrahieren, wenden wir die Klammerregel, also das Assoziativgesetz an. Darunter verstehen wir das Auflösen von Klammern.

Steht ein Plus vor der Klammer, addieren wir jeden einzelnen Summanden, ohne dass sich etwas an den Vorzeichen ändert:

$\begin{array}{lll} -13 + (-3 + 5 - 8) &=& -13 + (-3) + (+5) + (-8) \\ &=& -13 - 3 + 5 - 8 \\ &=& -19 \end{array}$

Merke: Steht vor der Klammer ein Plus (Plusklammer), dann darf die Klammer weggelassen werden. Alle Zahlen in der Klammer behalten ihr Vorzeichen.

Steht ein Minus vor der Klammer (Minusklammer), wird von jedem Summanden die entsprechende Gegenzahl addiert:

$\begin{array}{lll} -13 - (-3 + 5 - 8) &=& -13 + (+3) + (-5) + (+8) \\ &=& -13 + 3 - 5 + 8 \\ &=& -7 \end{array}$

Merke: Bei Minusklammern darf die Klammer weggelassen werden, wenn alle Zahlen innerhalb der Klammer das entgegengesetzte Vorzeichen bekommen. Wir bilden also die Gegenzahlen.

Multiplikation und Division

Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für die mehrfache Addition gleicher Summanden:

$3\cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

Die Multiplikation mit Null ergibt immer Null:

$5\cdot 0 = 0$

Wie multiplizieren wir negative Zahlen? Die Multiplikation mit negativen Zahlen können wir uns zum Beispiel wie das dreimalige Aufnehmen von $5$ € Schulden vorstellen. Mathematisch können wir diese Vorstellung wie folgt ausdrücken:

$3\cdot (-5) = -5 + (-5) + (-5) = -15$

Wie wir bereits oben festgestellt haben, lässt sich die Multiplikation als Addition gleicher Summanden schreiben. Wir schauen uns nun zwei Zahlenreihen an, in denen wir die Rechenregeln für die Multiplikation rationaler Zahlen erkennen können:

Multiplikation mit -4

Auffällig ist, dass die Ergebnisse immer positiv sind, wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben. Es ist zum Beispiel:

$\begin{array}{lll} 2\cdot4 &=& 8 \\ -2\cdot (-4) &=& 8 \end{array}$

Haben die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen, so sind die Ergebnisse negativ. An folgenden Beispielen können wir diesen Zusammenhang feststellen:

$\begin{array}{lll} -2\cdot 4 &=& -8 \\ 2\cdot (-4) &=& -8 \end{array}$

Merke: Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multipliziert, so ist das Ergebnis immer positiv. Es ist also:

$(+)\cdot (+) = (+) \\ (-)\cdot (-) = (+)$

Werden hingegen rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multipliziert, so ist das Ergebnis immer negativ:

$(+)\cdot (-) = (-) \\ (-)\cdot (+) = (-)$

Bei der Division mit negativen Zahlen stellen wir uns vor, dass $15$ € Schulden in drei gleich großen Raten zurückgezahlt werden. Da wir in der Division die entgegengesetzte Rechenoperation zur Multiplikation sehen, gilt:

$-15 :3 = -5$

Es ist nämlich $-5\cdot 3 = -15$. Möchten wir zwei negative Zahlen dividieren, finden wir das Ergebnis ebenfalls über die Multiplikation:

$-20 : (-4) = 5$

Für die Multiplikation gilt nämlich $(-4)\cdot 5 = (-20)$. Die Division durch Null ist nicht definiert.

Merke: Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen dividiert, so ist das Ergebnis immer positiv. Es gilt demnach:

$(+):(+) = (+) \\ (-):(-) = (+)$

Werden rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen dividiert, so ist das Ergebnis immer negativ:

$(+):(-) = (-) \\ (-):(+) = (-)$