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Zufall und Ereignisse

Was ist Zufall? Und kann mit Zufall gerechnet werden? Dieser Frage widmet sich ein Teilgebiet der Mathematik, die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Was ist ein Zufallsexperiment?

Bei einem Experiment, wie du es vielleicht aus dem Physikunterricht kennst, gibt es immer eine sogenannte Versuchsanordnung. Diese beschreibt, wie der Versuch bzw. das Experiment aufgebaut ist. Bei solchen Experimenten ist es oftmals so, dass sich das Ergebnis des Versuchs nicht verändert. Der Ausgang ist also immer derselbe.

Unter einem Zufallsexperiment versteht man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einen Versuch, bei dem es ebenfalls klare Regeln dafür gibt, wie der Versuch ausgeführt wird. Der große Unterschied ist der, dass der Ausgang des Experimentes nicht vorhersehbar ist.

Ein typisches Beispiel ist das Werfen eines Spielwürfels mit den Augenzahlen $1$ bis $6$. Kannst du mit Sicherheit vorhersagen, welche Zahl oben liegen wird? Nein. Auch wenn du fünfmal hintereinander keine $1$ gewürfelt hast, kannst du nicht davon ausgehen, dass du im sechsten Versuch eine $1$ würfelst.

3066_Würfel.jpg

Oftmals kannst du alltägliche Situationen mit Hilfe von Zufallsexperimenten modellieren. Oft werden dazu Zahlen genutzt, die man aus vergangenen, ähnlichen Situationen gewonnen hat.

Ergebnisse und Ereignisse

Der Ausgang eines Zufallsexperimentes ist nicht vorhersehbar. Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt. Zum Beispiel sind die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes „Würfeln mit einem Spielwürfel“ die Zahlen $1$; ... ; $6$. Die Ergebnisse werden in der Ergebnismenge $\Omega$ (Omega) zusammengefasst. Mathematisch schreibst du dies so auf:

$\Omega=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$

Wenn du mehrere Ergebnisse zu einer Menge zusammenfasst, spricht man von einem Ereignis. Schau dir als Beispiel das Ereignis $A$: „Du würfelst eine gerade Augenzahl“ an. Du kannst $A$ als Menge darstellen. Es gilt $A=\{2;\,4;\,6\}$. Ein Ereignis ist also eine Menge, die Ergebnisse enthält.

  • Ein Ereignis kann auch leer sein. Man schreibt $E=\emptyset$. Man spricht dann von dem unmöglichen Ereignis, da das Zufallsexperiment auf jeden Fall einen Ausgang hat.
  • Ein Ereignis kann auch alle möglichen Ergebnisse enthalten. Man schreibt $E=\Omega$. Dies ist das sichere Ereignis, da der Ausgang des Zufallsexperiments auf jeden Fall ein Ergebnis in $\Omega$ ist.
  • Enthält ein Ereignis nur ein Ergebnis, spricht man von einem Elementarereignis.

Hinweis: Der Begriff Elementarereignis ist leider nicht überall gleich definiert.

Verknüpfungen von Ereignissen

Du kannst Ereignisse auch verknüpfen. Hierfür schauen wir uns jeweils ein Beispiel an.

Zunächst einmal betrachtest du das Zufallsexperiment „Würfeln mit einem Spielwürfel“ sowie die folgenden Ereignisse:

  • $A$: „Du würfelst eine gerade Augenzahl“.
  • $B$: „Du würfelst eine Augenzahl größer als $2$“.

Diese beiden Ereignisse führen dich auf die Mengen $A=\{2;\,4;\,6\}$ und $B=\{3;\,4;\,5;\,6\}$. Wenn du nun ein Ereignis $C$ betrachten willst, bei dem mindestens eine der beiden Forderungen gilt, dann folgt:

$A\cup B=\{2;\,3;\,4;\,5;\,6\} = C$

Das $\cup$-Zeichen heißt dabei Vereinigung und man spricht „$A$ vereinigt mit $B$“. Diese Vereinigung entspricht dem logischen „oder“.

Der Schnitt zweier Ereignisse wird mathematisch mit $A\cap B$ ausgedrückt. Er entspricht dem logischen „und“. Inhaltlich bedeutet das Ergebnis, das sich aus dem Schnitt ergibt, dass beide Forderungen aus $A$ und $B$ eintreten müssen.

Dies führt zu $A\cap B=\{4;\,6\}$.