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Verknüpfungen von Ereignissen

Bei einem Zufallsexperiment betrachtest du häufig Ereignisse. Das sind Teilmengen der Ergebnismenge. Ähnlich wie Mengen kannst du also auch Ereignisse verknüpfen.

Was ist ein Ereignis?

Erinnerst du dich noch daran was ein Zufallsexperiment ist? Es ist ein Experiment, dessen Ergebnis du nicht vorhersagen kannst, da es vom Zufall abhängt. So ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das Werfen eines Würfels.

3072_Spielwürfel.jpg

Ein Zufallsexperiment hat verschiedene mögliche Ergebnisse. Beim Würfeln wären es die Augenzahlen von $1$ bis $6$. Alle möglichen Ergebnisse werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

Ein Ereignis ist nun eine Teilmenge aus $\Omega$. Beim Würfeln könnte man das Ereignis nur gerade Zahlen zu Würfeln wie folgt definieren:

$E=\{~2;~4;~6\}$

Spezielle Ereignisse sind:

  • Die Ergebnismenge $\Omega$ wird als sicheres Ereignis bezeichnet.
  • Die leere Menge $\emptyset$ wird als unmögliches Ereignis bezeichnet.
  • Jedes Ereignis, welches nur ein Ergebnis enthält, zum Beispiel $\{3\}$, wird als Elementarereignis bezeichnet.
  • Sei $E$ ein Ereignis, dann ist $\overline{E}=\Omega\setminus E$ das Gegenereignis von $E$. In $\overline{E}$ sind also alle Ergebnisse enthalten, welche zwar in $\Omega$ aber nicht in $E$ liegen. Das Gegenereignis wird auch Komplementärereignis genannt.

Wie ist eine Wahrscheinlichkeit definiert?

Einzelnen Ergebnissen können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Für die Ergebnismenge $\Omega=\{e_{1};~...;~e_{n}\}$, wäre dies eine Wahrscheinlichkeitszuordnung $P:~e_{i}~\rightarrow ~P\left(e_{i}\right)$. Allerdings nur wenn die folgenden beiden Bedingungen zutreffen:

$(1)~~ 0\le P\left(e_{i}\right)\le 1$ für alle $i=1;~...;~n$

  • Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $1$ und $0$.

$(2)~~ \sum\limits_{i=1}^n~P(e_{i})=1$

  • Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist $1$.

Der Schnitt von Ereignissen

In der Schnittmenge zweier Mengen befinden sich alle Elemente, welche sich in jeder der beiden Mengen befinden.

Ebenso ist dies bei dem Schnitt von Ereignissen:

Schau dir hierfür ein Beispiel an. Wir bleiben bei dem Würfelwurf.

$A$: Die Augenzahl ist gerade. Damit ist $A=\{2;~4;~6\}$.

$B$: Die Augenzahl ist größer als $2$. Somit ist $B=\{3;~4;~5;~6\}$

Damit erhältst du $A\cap B=\{4;~6\}$.

Die Vereinigung von Ereignissen

In der Vereinigung (oder Vereinigungsmenge) zweier Mengen befinden sich alle Elemente, welche sich in der einen oder der anderen der beiden Mengen befinden.

Wir schauen uns noch einmal das obige Beispiel mit den beiden Ereignissen $A=\{2;~4;~6\}$ und $B=\{3;~4;~5;~6\}$ an. Hier ist $A\cup B=\{2;~3;~4;~5;~6\}$.

Die Summenregel

Du erhältst die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in $E$ befinden, addierst. Dies ist die Summenregel:

$P(E)=P\left(e_{1}\right)+..+P\left(e_{k}\right)$

Für das Beispiel des Ereignisses $A=\{2;~4;~6\}$ beim Würfelwurf berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Summenregel so:

$P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac36=\frac12$

Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Ereignisse, dann gilt der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Wir kommen wieder zu dem Beispiel mit dem Würfelwurf und $A=\{2;~4;~6\}$, $B=\{3;~4;~5;~6\}$ sowie $A\cup B=\{2;~3;~4;~5;~6\}$. Es ist:

  • $P(A)=\frac36$
  • $P(B)=\frac46$
  • Du kannst nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten addieren. Warum? $P(A)+P(B)=\frac36+\frac46=\frac76\gt 1$. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht größer als $1$ sein.
  • Hier ist $A\cap B=\{4;~6\}$ und damit $P(A\cap B)=\frac26$.
  • Wende nun den Additionssatz an: $P(A\cup B)=\frac36+\frac46-\frac26=\frac56$.