Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz
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Grundlagen zum Thema Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz
Was sind Mengenoperationen?
Was kannst du mit Mengen alles anfangen? Du kannst wie ein Detektiv nach einem Safeknacker suchen. Dazu musst du nur die verschiedenen Merkmale des Gesuchten richtig kombinieren. Dabei helfen die Mengenoperationen. In diesem Text und Video werden Mengenoperationen verständlich erklärt und angewendet.
Mengen und Mengenoperationen
Eine Menge stellt man symbolisch häufig durch eine Ellipse dar. Im Inneren der Ellipse werden die Elemente der Menge dargestellt. Eine Menge bezeichnen wir meistens mit einem Großbuchstaben, zum Beispiel $A$, und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben, zum Beispiel $a_1$, $a_2$ und so weiter. In unserem Detektivbeispiel besteht die Menge $A$ aus allen Merkmalen aus der Beschreibung des ersten Zeugen: Der Gesuchte ist demnach ein Mann, er hat dunkelblonde Haare und trägt eine Brille. Außerdem hat er dicke Augenbrauen und trägt einen Schnurrbart. Alle diese Merkmale können wir in die erste Ellipse zeichnen. Für den zweiten Zeugen zeichnen wir eine zweite Menge und nennen sie $B$. Der zweite Zeuge beschreibt den Räuber ebenfalls als Mann mit Brille. Außerdem hat er blaue Augen und eine breite Nase.
Wie können wir die Zeugenaussagen nun beurteilen? Dabei helfen uns die Mengenoperationen.
Schnittmenge
Welche Merkmale haben der erste Zeuge und der zweite Zeuge beobachtet? Welche Merkmale gehören also zu den Beschreibungen beider Zeugen? Die Merkmale Mann und Brille. Wir können die beiden Mengen so übereinander zeichnen, dass diese beiden Merkmale zu beiden Mengen gehören.
Zu der Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$ gehören alle diejenigen Elemente, die in beiden Mengen $A$ und $B$ enthalten sind. Das sind in unserem Beispiel die Elemente Mann und Brille. Wir schreiben die Schnittmenge so:
$A \cap B = \lbrace \text{Brille}; \text{Mann} \rbrace$
Die Elemente einer Menge schreiben wir zwischen geschweifte Klammern und trennen jeweils zwei Elemente durch ein Semikolon. Die Reihenfolge der Elemente spielt beim Aufschreiben einer Menge keine Rolle, daher können wir auch schreiben: $A \cap B = \lbrace \text{Mann}; \text{Brille} \rbrace$. Dass von der Schnittmenge die Rede ist, erkennst du immer an dem Signalwort UND.
Differenzmenge
Wir betrachten als Nächstes die Menge aller Merkmale, die der erste Zeuge beobachtet hat, der zweite Zeuge aber nicht. Dies sind die Merkmale Schnurrbart, dunkelblond sowie dicke Augenbrauen. Diese Merkmale bilden die Differenzmenge $A \backslash B$:
Diese Menge besteht aus allen Elementen der Menge $A$, die aber nicht Elemente der Menge $B$ sind. Die Differenzmenge wird durch die Signalworte ABER NICHT angezeigt.
Ganz analog können wir auch die andere Differenzmenge bestimmen: Die Menge $B \backslash A$ enthält alle Merkmale, die in der Beschreibung des zweiten Zeugen vorkommen, aber nicht in der des ersten Zeugen. Dies sind die Merkmale breite Nase und blaue Augen. Wir schreiben daher:
$B \backslash A = \lbrace \text{breite Nase}; \text{blaue Augen} \rbrace$
Vereinigungsmenge
Für das Phantombild verwenden wir alle verfügbaren Merkmale, egal in welcher Beschreibung sie vorkommen. Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält alle Elemente beider Mengen. Jedes Element der Menge $A \cap B$ ist also in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ (oder in beiden Mengen) enthalten. Das Signalwort für die Vereinigungsmenge ist demnach ODER. Dieses oder ist aber nicht zu verstehen als entweder ... oder. Zur Vereinigungsmenge gehören auch alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. Diese gemeinsamen Elemente kommen in der Vereinigungsmenge jeweils nur einmal vor.
Mengenoperationen – Beispiele
Nachdem ein Verdächtiger geschnappt ist, taucht ein weiterer Zeuge auf. Nach seiner Beschreibung trug der Täter Turnschuhe, Shorts, eine Regenjacke, einen Schal und ein T-Shirt. Unser Verdächtiger dagegen trägt Sandalen, Shorts, einen Schal und eine Uhr. Um zu überprüfen, ob genügend Merkmale des Verdächtigen mit denen aus der Beschreibung des dritten Zeugen übereinstimmen, bilden wir die Schnittmenge dieser Merkmale. Wir bezeichnen die Menge der Merkmale des dritten Zeugen mit $C$, die Merkmale des Verdächtigen mit $D$: Die Schnittmenge $C \cap D$ enthält alle Kleidungsstücke, die der Zeuge beschrieben hat und die der Verdächtige trägt:
$C \cap D = \lbrace \text{Shorts}; \text{Schal} \rbrace$
Die Differenzmenge $C \backslash D$ zwischen der Beschreibung des dritten Zeugen und den Merkmalen des Verdächtigen besteht aus allen Elementen, die der Zeuge angegeben hat, die aber nicht auf den Verdächtigen zutreffen:
$C \backslash D = \lbrace \text{Turnschuhe}; \text{Regenjacke}; \text{T-Shirt} \rbrace$
Die umgekehrte Differenzmenge $D \backslash C$ enthält alle diejenigen Kleidungsstücke, die der Verdächtige trägt, die aber nicht in der Beschreibung des Zeugen vorkommen:
$D \backslash C = \lbrace \text{Sandalen}; \text{Uhr} \rbrace$
Die Vereinigungsmenge $C \cup D$ ist wenig aussagekräftig, denn sie enthält alle Stücke, die der Zeuge beobachtet hat oder der Verdächtige trägt:
$C \cup D = \lbrace \text{Turnschuhe}; \text{Regenjacke}; \text{T-Shirt}; \text{Shorts}; \text{Schal}; \text{Sandalen}; \text{Uhr} \rbrace$
Diese Menge enthält also alle Elemente beider Mengen.
| Bezeichnung | Symbol | Beschreibung | Signalwort |
|---|---|---|---|
| Schnittmenge | $A \cap B$ | Elemente, die zu $A$ und zu $B$ gehören | und |
| Differenzmenge | $A \backslash B$ | Elemente, die zu $A$, aber nicht zu $B$ gehören | aber nicht |
| Vereinigungsmenge | $A \cup B$ | Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ gehören | oder |
Hier auf der Seite findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt zu Mengenoperationen.
Transkript Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz
Um die Spürnase Jonny auf der Suche nach einem Safeknacker zu unterstützen, braucht die Polizei ein Phantombild. Der Täter wurde von mehreren Zeugen gesehen und beschrieben. Mit Hilfe von Mengenoperationen können wir die Polizei beim Erstellen des Phantombilds unterstützen. Schauen wir mal, wie das funktioniert. Es gibt verschiedene Beschreibungen zu dem gesuchten Safeknacker. Jede Beschreibung ist wie eine eigene Menge. Erinnere dich: Eine Menge kannst du als Ellipse darstellen. Sie enthält verschiedene Elemente und wird mit einem Großbuchstaben benannt, zum Beispiel A. Der erste Zeuge beschreibt den Räuber als Mann mit dunkelblonden Haaren und einer Brille. Außerdem hat der Verbrecher dicke Augenbrauen und einen Schnurrbart. Der zweite Zeuge beschreibt den Räuber ebenfalls als Mann mit einer Brille. Außerdem hat er blaue Augen und eine breite Nase. Welche Merkmale haben beide Zeugen erkannt? Beide haben einen Mann mit Brille gesehen. Das können wir verdeutlichen, indem wir beide Mengen so übereinander schieben, dass sie sich in einem Teil überschneiden. Hier befinden sich die Elemente, die zu beiden Mengen gehören und man nennt den Teil "Schnittmenge der Mengen A und B." Das Wort und ist hier unser Signalwort. Man schreibt: A geschnitten B ist gleich der Menge mit den Elementen Brille und Mann. Erinnere dich: Die Elemente einer Menge werden zwischen geschweifte Klammern geschrieben und die einzelnen Elemente werden durch Semikolons getrennt. Zurück zu unseren Zeugenaussagen. Welche Merkmale hat nur Zeuge A, aber nicht Zeuge B genannt? Es sind die Elemente Schnurrbart, dunkelblonde Haare und dicke Augenbrauen. Wir betrachten nun also die Elemente, die in Menge A, aber nicht in Menge B enthalten sind, also diesen Teil. Diesen Teil nennt man Differenzmenge und das Signalwort ist aber nicht. Wir schreiben: A ohne B ist gleich der Menge mit den Elementen Schnurrbart, dunkelblond und dicke Augenbrauen. Und welche Elemente sind in Menge B, aber nicht in Menge A enthalten? Das wäre dieser Teil hier. B ohne A entspricht nun der Menge mit den Elementen breite Nase und blaue Augen. Für das Phantombild brauchen wir möglichst viele Merkmale des Täters, damit es eindeutiger wird. Dafür nutzen wir alle Elemente, egal, ob sie in Menge A oder in Menge B vorkommen. Das nennen wir "Vereinigungsmenge" und das Signalwort ist oder. Wir schreiben: A vereinigt mit B ist gleich der Menge mit allen diesen Elementen. Merke dir: Gemeinsame Elemente kommen in der Vereinigungsmenge nur einmal vor. Nun haben wir unser Phantombild mit allen beschriebenen Merkmalen erstellt - so ein auffälliger Mann ist sicher schnell gefunden! Kurz darauf hat Jonny, der Polizeihund, auch schon einen passenden Verdächtigen geschnappt. Er sieht dem Phantombild sehr ähnlich - aber passt auch seine Kleidung zur Beschreibung eines weiteren Zeugen? Der Zeuge hat am Täter Turnschuhe, Shorts, einen Schal, ein T-Shirt und eine Regenjacke gesehen. Unser Verdächtiger trägt Sandalen, Shorts, einen Schal und eine Uhr. Wie sieht die Schnittmenge aus? Sie enthält die Elemente Shorts und Schal. Was bedeutet das für unseren Fall? Diese Kleidungsstücke wurden vom Zeugen beschrieben und der Verdächtige trägt sie! Und was hat der Zeuge beschrieben, was der Verdächtige aber nicht anhat? Diese Elemente sind in der Differenzmenge C ohne D enthalten. Das sind die Turnschuhe, die Regenjacke und das T-Shirt. Welche Kleidungsstücke trägt der Verdächtige, die aber nicht von dem Zeugen genannt wurden? Das wäre die Differenzmenge D ohneC mit den Elementen Sandalen und Uhr. Wenig aussagekräftig ist hier übrigens die Vereinigungsmenge. Das sind die Kleidungsstücke, die entweder von dem Zeugen beschrieben odervon dem Verdächtigen getragen wurden, also alle Elemente. Das hat hier aber keine sinnvolle Funktion. Wie es aussieht, müssen wir den Verdächtigen laufen lassen - es gibt zu viele Abweichungen. Lass uns noch kurz zusammenfassen, welche Mengenoperationen du kennengelernt hast. Zwei Mengen A und B besitzen eine Schnittmenge, in welcher nur diejenigen Elemente vorkommen, die in Menge A und in Menge B enthalten sind. Wir schreiben hierfür: A geschnitten mit B. Die Elemente, die in Menge A aber nicht in Menge B vorkommen, liefert uns die Differenzmenge. aber nicht ist hier unser Signalwort. Für die zutreffende Mengenoperation schreiben wir: A ohne B. Die Elemente, die in der Vereinigungsmenge der Mengen A und B vorkommen, sind alle Elemente aus der Menge A oder der Menge B. Wir schreiben für diese Mengenoperation: A vereinigt mit B. Der Verdächtige ist auf freiem Fuß, aber Schnüffelnase Jonny lässt nicht locker. Jonny, der Mann ist doch unschuldig!!! Aaaaah, aber von Beruf Briefträger
Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz Übung
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Gib jeweils die zutreffende Mengenoperation und das passende Signalwort an.
TippsJedes Element der Vereinigungsmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist in $A$ oder in $B$ enthalten.
Jedes Element der Differenzmenge von $A$ und $B$ ist in $A$, aber nicht in $B$, enthalten.
Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:
$ \begin{array}{l|l} \text{Symbol} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $
LösungHier abgebildet sind die gegebenen Mengen mit den zugehörigen Mengenoperationen sowie den jeweiligen Signalwörtern.
Alle Elemente der Schnittmenge $A\cap B$ sind in der Menge $A$ UND in der Menge $B$ enthalten.
Die Elemente der Differenzmenge $A\setminus B$ sind in der Menge $A$, ABER NICHT in der Menge $B$ enthalten.
Alle Elemente der Vereinigungsmenge $A\cup B$ sind in der Menge $A$ ODER in der Menge $B$ enthalten.
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Bestimme die gesuchten Mengen.
TippsFolgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:
- $A\cap B\quad\rightarrow\quad$ Schnittmenge von $A$ und $B$
- $A\cup B\quad\rightarrow\quad$ Vereinigungsmenge von $A$ und $B$
- $A\setminus B\quad\rightarrow\quad$ Differenzmenge von $A$ und $B$
In der Schnittmenge zweier Mengen sind alle gemeinsamen Elemente dieser beiden Mengen enthalten.
Bei der Bildung der Differenzmenge spielt die Reihenfolge der Mengen eine wichtige Rolle. Für den Fall $A\neq B$ ist zu beachten, dass Folgendes für die Differenzmengen gilt:
- $A\setminus B \neq B\setminus A$
LösungFolgende Mengen sind uns bekannt:
- $A=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$
- $B=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; blaue Augen; breite Nase$\}$
- $C=\{$Shorts; Schal; Turnschuhe; Regenjacke; T-Shirt$\}$
- $D=\{$Shorts; Schal; Sandalen; Uhr$\}$
Nun möchten wir ausgehend von diesen Mengen Schnitt- und Differenzmengen bestimmen.
Insbesondere bei der Bestimmung der Differenzmengen müssen wir uns sehr gut konzentrieren. Denn sobald zwei Mengen $A$ und $B$ vorliegen, welche voneinander verschieden sind, ist die Differenzmenge $A$ ohne $B$ eine andere als die Differenzmenge $B$ ohne $A$. Die Reihenfolge der Mengen spielt also eine Rolle.
Schnittmenge $~ A\cap B$
Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind. Es folgt:
$A\cap B=\{$Brille; Mann$\}$
Differenzmenge $~ A\setminus B$
Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$, ABER NICHT in $B$ enthalten sind. Es folgt:
$A\setminus B=\{$Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$
Schnittmenge $~ C\cap D$
Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $C$ UND in $D$ enthalten sind. Es folgt:
$C\cap D=\{$Shorts; Schal$\}$
Differenzmenge $~ D\setminus C$
Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $D$, ABER NICHT in $C$ enthalten sind. Es folgt:
$D\setminus C=\{$Sandalen; Uhr$\}$
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Ermittle die Lösung der gegebenen Mengenoperationen.
TippsFolgende Bedeutung haben die gegebenen Operationen:
$ \begin{array}{l|l} \text{Verwendung} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $
Schaue dir folgendes Beispiel an:
Sei $A=\{5;\ 2;\ 10\}$ und $B=\{2;\ 11;\ 8\}$ gegeben, so gilt:
$A\setminus B=\{5;\ 10\}$
LösungFolgende Mengen sind uns bekannt:
- $L=\{13;\ 4;\ 81;\ 22;\ 0,8\}$
- $M=\{11;\ 4;\ 81;\ 19;\ 0,9\}$
- $J=\{11;\ 6;\ 81;\ 22;\ 0,9\}$
Schnittmenge $L\cap M$
Wir suchen alle Zahlen, die in $L$ UND in $M$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:
$L\cap M=\{4;\ 81\}$
Demnach ist die Auswahl $L\cap M=\{4;\ 0,9\}$ falsch.
Schnittmenge $L\cap J$
Nun suchen wir alle Einträge, die in $L$ UND in $J$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:
$L\cap J=\{81;\ 22\}$
Differenzmenge $M\setminus J$
Gesucht sind alle Elemente, die in $M$, aber nicht in $J$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:
$M\setminus J=\{4;\ 19\}$
Differenzmenge $J\setminus L$
Gesucht sind alle Zahlen, die in $J$, aber nicht in $L$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:
$J\setminus L=\{11;\ 6;\ 0,9\}$
Demnach ist die Auswahl $J\setminus L=\{13;\ 4;\ 0,8\}$ falsch.
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Bestimme die Schnitt- und Differenzmengen.
TippsSchaue dir folgendes Beispiel an:
$R_3\setminus L=\{$Milch; Stärke$\}$
Wenn zwei Mengen kein gemeinsames Element haben, so entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge $\{\}$.
LösungChefkoch Luigi hat folgende Zutaten:
- $L=\{$Mehl; Zucker; Butter; Backpulver; Puderzucker$\}$
Und je folgende Zutaten braucht er für die vier Rezepte:
- $R_1=\{$Mehl; Butter; Zucker; Vanillezucker$\}$
- $R_2=\{$Mehl; Milch; Eier; Zucker$\}$
- $R_3=\{$Mehl; Milch; Stärke; Zucker$\}$
- $R_4=\{$Milch; Stärke; Vanillezucker$\}$
Wir möchten schauen, welche Zutaten dem Chefkoch für diese Rezepte fehlen. Dafür bestimmen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:
- $R_1\setminus L=\{$Vanillezucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlt dem Koch Vanillezucker.
- $R_2\setminus L=\{$Eier; Milch$\}\ \rightarrow$ Hier fehlen ihm sogar zwei Zutaten.
- $R_3\cap L=\{$Mehl; Zucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept hat er nur Mehl und Zucker in seinem Vorrat.
- $R_4\cap L=\{\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlen ihm alle Zutaten.
Die Mengen $R_4$ und $L$ sind nämlich elementfremd. Das bedeutet, dass sie kein gemeinsames Element haben. Daher entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge.
Demnach eignet sich das erste Rezept am besten.
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Gib die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen an.
TippsSchaue dir folgendes Beispiel an:
Sei $A=\{1;\ 2;\ 3\}$ und $B=\{2;\ 4\}$. Dann gilt:
$A\cap B=\{2\}$.
Die Differenzmenge $A\setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind.
Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so schreiben wir $B\subseteq A$.
LösungDie Bezeichnungen der Mengenoperationen sowie ihre mathematischen Schreibweisen kannst du der nachfolgenden Tabelle entnehmen:
$ \begin{array}{l|l} \text{mathematische Schreibweise} & \text{Bezeichnung} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \\ B \setminus A & B\ \text{ohne}\ A \end{array} $
Handelt es sich bei einer Menge $B$ um die Teilmenge einer Menge $A$, schreiben wir $B\subseteq A$. Ist $A$ hingegen die Teilmenge von $B$, schreiben wir $A\subseteq B$.
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Bilde die gesuchte Menge.
TippsGehe in dieser Aufgabe Schritt für Schritt vor. Bestimme zunächst die Schnittmenge $A\cap B$. Diese enthält alle Elemente, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind.
Im nächsten Schritt betrachtest du die gesuchte Differenzmenge. Du ziehst von der Schnittmenge $A\cap B$ alle Elemente ab, die in $C$ enthalten sind.
LösungDoktor Evil muss folgende Menge $E$ finden:
- $A=\{3;\ 8;\ 12;\ 18;\ 23;\ 31;\ 52\}$
- $B=\{3;\ 7;\ 11,5;\ 18;\ 23;\ 30;\ 52\}$
- $C=\{1;\ 5;\ 12;\ 18;\ 21;\ 31;\ 50\}$
- $D=A\cap B$
- $E=D\setminus C$
Hierzu rechnen wir Schritt für Schritt. Wir bestimmen zunächst die Schnittmenge:
$D=A\cap B=\{3;\ 18;\ 23;\ 52\}$
Danach bestimmen wir die gesuchte Differenzmenge:
$E=D\setminus C=\{3;\ 23;\ 52\}$
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Olla
Aber der Verdächtige könnte sich auch umgezogen haben
Gut
Wurde viel besser erklärt 😘
Super Video habe alles verstanden und kann es mir einwandfrei merken!