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Mengen – Einführung
Mengen - Einführung: Baroness von Etepetete verliert ihren Safe und muss sich erinnern, was darin war. Eine Menge enthält verschiedene Elemente, sogar eine leere Menge ist möglich. Interessiert? Finde heraus, was Mengen sind und wie sie dargestellt werden!
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Grundlagen zum Thema Mengen – Einführung
Mengen – Einführung
Baroness von Etepetete verschließt wertvolle Sachen wie das Geld, den gewonnenen Pokal, den Diamanten, ihr geheimes Tagebuch, die Krone und ihre Halskette im Safe. Aber heiliger Bimbam! Der Safe wurde aus ihrer Villa geklaut. Sie muss sich bei der Polizei erinnern, was alles im Safe war. Der Safe ist mathematisch gesehen ein Beispiel für eine Menge, denn Mengen können auch verschiedene Elemente enthalten.
Mengen – Definition
In der Mathematik ist eine Menge einfach eine Zusammenfassung verschiedener Elemente. Eine Menge kann auch keine Elemente enthalten, dann ist es eine leere Menge. Die Mengenlehre ist übrigens ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik.
Mathematische Darstellungen von Mengen
Grafische Darstellung von Mengen
Mengen werden als Ellipsen gezeichnet. Die Elemente der Menge werden in die Ellipse eingezeichnet.
Schreibweise für Mengen
Jede Menge wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet, beispielsweise mit dem Großbuchstaben M. Anstatt in einer gezeichneten Ellipse werden die verschiedenen Elemente der Menge in geschweifte Klammern gesetzt und durch ein Semikolon voneinander getrennt. Nehmen wir den Safe der Baroness als Menge M, dann sieht diese Menge in mathematischer Schreibweise so aus:
$M = \{ Pokal; Krone; Tagebuch; Geld; Halskette; Diamant \}$
Dabei spielt die Reihenfolge der Elemente in den geschweiften Klammern keine Rolle.
In einer Menge werden übrigens nur unterschiedliche Elemente aufgeführt. Nehmen wir an, dass ein zweiter Diamant im Safe ist. An der mathematischen Schreibweise der Menge M ändert das aber nichts!
Manchmal ist es zu aufwendig, alle Elemente einer Menge einzeln aufzulisten. Wenn wir beispielsweise alle ganzen Zahlen von $1$ bis $100$ angeben wollen, wäre das eine ziemlich lange Liste. In so einem Fall können wir Auslassungspunkte, also drei Punkte, verwenden. Das Beispiel sieht dann so aus:
$M = \{ 1; 2; 3; 4; ...; 98; 99; 100 \}$
Natürlich kann eine Menge – genau wie ein Safe – leer sein. Dann gibt es gleich zwei unterschiedliche mathematische Schreibweisen. Entweder nutzen wir zwei geschweifte Klammern ohne Elemente oder einen schräg durchgestrichenen Kreis:
$A = \{ \} ~\text{oder} ~A = \varnothing$
Die Elemente einer Menge
Wir können untersuchen, ob sich ein bestimmtes Element in einer Menge befindet, also Teil einer Menge ist, oder nicht.
Im Beispiel könnte die Baroness bei der Polizei gefragt werden: Befindet sich im Safe eine Halskette? Die Antwort ist: Ja!
Mathematisch gesehen bedeutet dies: Die Halskette ist ein Element der Menge M. Das schreiben wir so:
$ \text{Halskette} \in \textbf {M}$
Dagegen gibt es keinen Goldbarren im Safe. Ein Goldbarren ist nicht Element der Menge M. Das schreiben wir so:
$ \text{Goldbarren} \notin \textbf {M}$
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30 Tage kostenlos testenTranskript Mengen – Einführung
Heiliger Bimbam. Baroness von Etepetete ist fassungslos. "Ihr Safe, in dem all ihre wichtigsten und wertvollsten Habseligkeiten aufbewahrt waren, wurde aus ihrer Villa geklaut." Um ihr zu helfen, benötigen wir einige Informationen zum Inhalt des gestohlenen Safes. Wusstest du, dass es in der Mathematik etwas gibt, das so ähnlich ist wie ein Safe? Das sind die so genannten Mengen und die nehmen wir jetzt mal genauer unter die Lupe! Sowohl Mengen als auch Safes sind geschlossen und beide enthalten verschiedene Dinge. Diese nennt man "Elemente". Im Safe der Baroness befinden sich die Elemente, Geld, Pokal, Diamant, Tagebuch, Krone und Halskette. Als Menge stellen wir die Elemente in einer Ellipse dar. Jede Menge wird außerdem mit einem Großbuchstaben bezeichnet. Hier nehmen wir "M", könnten aber auch jeden anderen Buchstaben wählen. Doch alle Elemente aufzumalen ist ziemlich aufwendig, oder? Deshalb hat man sich hierfür eine einfache mathematische Schreibweise überlegt. Statt der Ellipse verwenden wir nun geschweifte Klammern. Beim Auflisten der Elemente trennst du die einzelnen Elemente durch ein Semikolon. Übrigens: In welcher Reihenfolge du die Elemente in den geschweiften Klammern auflistest, spielt keine Rolle. Die Menge bleibt immer gleich! Wie aber ändert sich die Menge, wenn ein Element doppelt vorkommt? Nehmen wir an, dass ein zweiter Diamant im Safe ist. Sieh mal, an der mathematischen Schreibweise der Menge M ändert das nichts! Warum? In einer Menge werden nur unterschiedliche Elemente aufgeführt. Du musst allerdings nicht immer alle Elemente einzeln auflisten. Wenn wir beispielsweise alle ganzen Zahlen von 1 bis 100 angeben wollen, wäre das eine lange, unübersichtliche Liste. In so einem Fall können wir Auslassungspunkte, also drei Punkte, verwenden. Natürlich kann eine Menge - genau wie ein Safe - auch leer sein, wie hier Menge A. Dann gibt es gleich zwei unterschiedliche mathematische Schreibweisen. Entweder nutzen wir zwei geschweifte Klammern ohne Elemente oder einen schräg durchgestrichenen Kreis. Zurück zum Safe der Baroness. Wir können untersuchen, ob sich ein bestimmtes Element darin befindet, also Teil der Menge ist, oder nicht. Befindet sich im Safe eine Halskette? Oder mathematisch gefragt: Ist eine Halskette in unserer Menge M enthalten? Ja. Wir schreiben: Die Halskette ist Element der Menge M. Der Goldbarren hier ist übrigens nicht im Safe und somit nicht Element von M. Lass uns das Wichtigste zu Mengen noch einmal kurz durchgehen. Um eine Menge graphisch darzustellen, werden alle Elemente in einer Ellipse zusammengefasst. Die Menge bezeichnest du mit einem Großbuchstaben. Leere Mengen kannst du so oder so beschreiben. Meistens jedoch enthält eine Menge viele unterschiedliche Elemente. Dann ist es interessant zu wissen, ob bestimmte Elemente Teil der Menge sind oder nicht. Für die mathematische Schreibweise listest du die Elemente in geschweiften Klammern auf und trennst sie mit einem Semikolon. In eindeutigen Fällen kannst du Auslassungspunkte verwenden. Jetzt, wo wir uns mit dem Safe und seinem Inhalt genauer befasst haben, sind wir bestens gerüstet, um den Fall zu lösen und den Dieb dingfest zu machen. Wer sagt's denn? Sieht aus, als hätte Polizeihund Jonny schon eine heiße Spur..... Aber Jonny! Du bist doch im Dienst!
Mengen – Einführung Übung
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Bestimme, welche Elemente zur Menge gehören.
TippsVergleiche mit diesem Beispiel:
Ein Goldbarren war nicht im Safe der Baronesse. Man schreibt $\text{Goldbarren}\ \notin\ M$.
Folgendes gilt für die Schreibweise der Elemente einer Menge:
Ist das Objekt Element der Menge $M$, schreiben wir $\in\ M$.
Ist das Objekt nicht Element der Menge $M$, schreiben wir $\notin\ M$.LösungZunächst vergleichen wir, welche Gegenstände sich im Safe der Baronesse befanden und welche nicht.
In ihrem Safe, den wir Menge $M$ nennen, waren der Diamant, die Geldscheine, die Halskette, der Pokal, das Tagebuch und die Krone. Diese Gegenstände sind Elemente der Menge $M$. Wir schreiben $\in\ M$.Die Münzen und der Ring befanden sich nicht im Safe, sie sind also nicht Teil der Menge $M$. Wir schreiben $\notin\ M$.
Demnach sind folgende Aussagen bezüglich der Menge $M$ richtig:
- $\text{Diamant}\ \in\ M$
- $\text{Tagebuch}\ \in\ M$
- $\text{Geldscheine}\ \in\ M$
- $\text{Krone}\ \in\ M$
- $\text{Ring}\ \notin\ M$
- $\text{Halskette}\ \notin\ M$
- $\text{M}\ddot{\text{u}}\text{nzen}\ \in\ M$
- $\text{Pokal}\ \notin\ M$
- $\text{Diamant}\ \in\ M:$ Der Diamant ist Element der Menge $M$.
- $\text{Halskette}\ \notin\ M:$ Die Halskette ist nicht Element der Menge $M$.
-
Bestimme, welche Aussagen über Mengen richtig sind.
TippsEs werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben.
Es gibt die folgende mathematische Schreibweise:
$M=\{~\}$
Was könnte sie bedeuten?
Bei eindeutigen Fällen, zum Beispiel bei fortlaufenden Zahlen von $1$ bis $100$, kann man Auslassungspunkte verwenden.
Lösung- Dinge, die in einer Menge enthalten sind, nennt man Elemente.
- Eine Menge wird immer mit dem Großbuchstaben $M$ bezeichnet.
- Eine Menge kann leer sein.
- Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Diamant, Pokal und Geld. Dies ist eine richtige mathematische Schreibweise:
Diese Aussage ist richtig.- Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Diamant, Diamant, Pokal und Geld. Dies ist eine richtige mathematische Schreibweise:
Diese Aussage ist falsch. Denn es werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben, egal wie oft sie vorkommen.- Man muss immer jedes Element aufschreiben, egal wie viele Elemente die Menge umfasst.
- Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Tagebuch, Krone und Halskette. Das kann man verschieden aufschreiben:
$M = \{\text{Halskette; Tagebuch; Krone}\}$
$M = \{\text{Krone; Halskette; Tagebuch}\}$
Diese Aussage ist richtig, denn die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. -
Zeige, welche Elemente zu welcher Menge gehören.
TippsManche Elemente gehören weder zu Menge $A$ noch zu Menge $B$. Diese Elemente sind dann weder in $A =$ noch in $B =$ zwischen den geschweiften Klammern zu finden.
Hier ein mathematischer Tipp:
$\text{Goldmünze}\notin A$
LösungLukas’ Sportrucksack wird als Menge $A$ bezeichnet und die Schatzkiste seines kleinen Bruders als Menge $B$.
Die mathematische Schreibweise sagt:
$A = \{\text{Tennisschläger; Schwimmbrille; Fußball; Springseil}\}$
Also gehören in Lukas’ Sportrucksack der Tennisschläger, die Schwimmbrille, der Fußball und das Springseil.
Weiterhin haben wir noch:
$B = \{\text{Muscheln; Perlen; Goldmünze; Bonbon}\}$
In die Schatzkiste des Bruders gehören demnach die Muscheln, die Perlen, die Goldmünze und der Bonbon.
Der Basketball und der Papierflieger stehen weder in der mathematischen Schreibweise von Menge $A$ noch von Menge $B$. Also gehören diese Elemente zu keiner der beiden Mengen.
-
Entscheide, welche Gegenstände in welche Menge gehören.
TippsErinnere dich: Mengen können leer sein.
Hier ein mathematischer Tipp:
$\text{Brille}\notin R$
LösungTimmy nimmt diese Sachen mit: Handy, Ball, Brille, Badehose, Handtuch, Buch und Flasche.
Mengenbeschreibungen notieren wir mit einem Großbuchstaben. Dann werden die Elemente in beliebiger Reihenfolge aufgezählt und mit Semikolons getrennt sowie zusammen in geschweifte Klammern gesetzt.In seinen Rucksack $R$ packt Timmy diese Dinge:
- $R = \{\text{Handtuch; Badehose; Buch; Handy}\}$
- $K = \{\text{Flasche; Ball; Brille}\}$
- $G = \{~\}$
- $R = \{\text{Badehose; Handtuch; Handy; Buch}\}$
-
Bestimme, welche Schreibweise zu welcher abgebildeten Menge passt.
TippsErinnere dich: In der mathematischen Schreibweise nutzen wir geschweifte Klammern und Semikolons.
Es werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben.
Vergleiche, welche Elemente wirklich in der Menge $M$ enthalten sind.
Zwar können Mengen mit einem beliebigen Großbuchstaben bezeichnet werden, die abgebildete Menge hat aber schon einen bestimmten Buchstaben als Namen.
LösungBevor wir die gegebenen Mengen $A$ und $M$ betrachten, schauen wir uns zunächst die mathematische Schreibweise von Mengen an. Eine Menge wird immer mit einem Großbuchstaben bezeichnet. Anschließend werden alle Elemente, die in dieser Menge enthalten sind, innerhalb geschweifter Klammern geschrieben und mittels Semikolons voneinander getrennt. Die Reihenfolge, in der man die Elemente notiert, ist dabei egal. Ist eine Menge leer, stehen keine Elemente zwischen den geschweiften Klammern.
Diese Mengenbeschreibungen passen zu der abgebildeten Menge $M$:
- $M = \{\text{Geld; Halskette; Diamant; Pokal; Tagebuch; Krone}\}$
- $M = \{\text{Pokal; Krone; Tagebuch; Geld; Halskette; Diamant}\}$
- $A = \{~\}$
-
Entscheide, ob der Gegenstand Element oder nicht Element von der Menge ist.
TippsErinnere dich: $\in$ spricht man Element von und $\notin$ spricht man nicht Element von.
Vergleiche:
$\text{Diamant}\in D$
$B\not{\!\ni} \text{Fussball}$
LösungDiese vier Mengenbeschreibungen liegen dir vor:
- $A = \{\text{Topf; Löffel; Tasse; Pfanne}\}$
- $B = \{\text{Fisch; Huhn; Esel; Ente}\}$
- $C = \{\text{Fußball; Basketball; Tennis; Schwimmen}\}$
- $D = \{\text{Kristall; Diamant; Krone; Goldbarren}\}$
- $\text{Topf}\in A$
- $B\not{\!\ni} \text{Krone}$
- $\text{Fisch}\notin D$
- $C\ni\text{Tennis}$
- $A\ni\text{Pfanne}$
- $\text{Handball}$ $\notin$ $B$
- $C\not{\!\ni} \text{Kristall}$
- $B\ni\text{Ente}$
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Ich fand euer Video super. Hoffen ,dass sie weiter so tolle Viedeos macht !!
Danke viellmals!!
Fand ich super.Vor allem die Beispiele am Anfang.(Das mit dem Dieb)Eure Videos mag ich am besten Team Digital.
Ich meine Minute 3:05 bis 3:14 aber sonst ein sehr gutes und informatives Video kann ich nur weiterempfehlen.
Hallo Sahitiblerim, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Hallo Sofatutoren ich begreife dass mit diesen Elementen nicht aber sonst ein sehr gutes und hilfreiches Video.