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Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen 05:09 min

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Transkript Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen

Die Spürnase Jonny hat uns auf der Suche nach dem gestohlenen Safe einer Baroness an einen verdächtigen Ort geführt Was für eine Entdeckung - in der Lagerhalle sind gleich mehrere Safes! Sieht so aus, als hätten wir die Höhle des Safeknackers entdeckt. Nun müssen wir nur noch herausfinden, welcher Safe der Baroness gehört. Mit seiner Spürnase kann Jonny den Inhalt der geschlossenen Safes erschnüffeln. So können wir mit Hilfe der Verhältnisse von Mengen ermitteln, welcher Safe der gestohlene Safe von der Baroness ist. Die Baroness hat in ihrem Safe 6 verschiedene Dinge, also Elemente, aufbewahrt: Geld, eine Halskette, einen Diamanten einen Pokal, ein Tagebuch und eine Krone. Die Ellipse stellt die Menge dar und wird mit Großbuchstaben benannt. Für die mathematische Schreibweise einer Menge nutzen wir geschweifte Klammern und Semikolons. Wir können bei Mengen vergleichen, wie viele Elemente die Mengen enthalten.
Das nennt man "Mächtigkeit". Dafür schreiben wir den Namen unserer Menge zwischen zwei senkrechte Striche. Nun: Wie viele unterschiedliche Elemente besitzt unsere Menge M? Es sind 6 Elemente. Die Mächtigkeit von M ist also gleich 6. Übrigens wäre die Mächtigkeit auch 6, wenn es noch einen zweiten Diamanten gäbe. Es geht nur um die Anzahl der unterschiedlichen Elemente. Ob der Safe der Baroness mit diesem Inhalt und dieser Mächtigkeit in der Lagerhalle steht? Jonny schnüffelt an Safe A.

Er riecht: Eine Socke, eine Uhr, ein Stück Käse und ein Autogramm. Safe A enthält vier unterschiedliche Elemente und hat somit eine Mächtigkeit von 4. Entspricht das dem Safeinhalt der Baroness? NEIN es sind vollkommen andere Elemente als im Safe der Baroness. Auch stimmt die Mächtigkeit der beiden Safes nicht überein. Kein Element der Menge M kommt in der Menge A vor - und umgekehrt. Somit sind die Mengen M und A komplett verschieden und man sagt: M und A sind elementfremd. Jonny schnüffelt nun an Safe B.

Er riecht: eine Halskette und einen Diamanten. Also enthält der Safe 2 unterschiedliche Elemente. Könnte das der Safe der Baroness sein? Schau mal: Alle Elemente aus Safe B kommen auch in dem Safe der Baroness vor. DOCH HALT in dem Safe der Baroness sind noch weitere Elemente enthalten. Es kommen also NICHT alle Elemente von Safe M auch in Safe B vor. Somit gibt es keine Übereinstimmung mit der Mächtigkeit von Safe M.

Die Menge B ist also komplett in der Menge M enthalten und man sagt: B ist eine Teilmenge von M. Übrigens können wir auch ausdrücken, welche Elemente in Safe M, aber NICHT in Safe B enthalten sind. Das nennt man das "KOMPLEMENT" dieser Mengen. Man sagt dann: M ohne B. Jonny schnüffelt erwartungsvoll an Safe C.

Kommen dir diese Elemente bekannt vor? Mit diesen sechs Elementen hat Safe C eine Mächtigkeit von 6. Schau mal: Es sind die gleichen Elemente wie die im Safe der Baroness. Außerdem ist die Mächtigkeit auch gleich. Was bedeutet das nun?

Die Mengen M und C sind identisch und wir sagen: M gleich C. Also haben wir den Safe der Baroness gefunden! Fassen wir zusammen, was du auf der Suche nach dem Safe alles gelernt hast. Die Anzahl der unterschiedlichen Elemente einer Menge nennt man "Mächtigkeit" und gibt sie als Zahl an. Achte auf die vertikalen Striche vor und hinter der Mengenbezeichnung. Stell dir vor: Die Elemente von Menge M und Menge A sind komplett unterschiedlich. Wir sagen dann: M und A sind elementfremd und schreiben es SO. Wenn die Mengen M und C gleich sind, sagt man: M gleich C. Hier sind alle Elemente der Menge B in Menge M enthalten. Aber in Menge M befinden sich noch weitere Elemente. Wir sagen dann: B ist eine Teilmenge von M und geschrieben wird das SO. Die Elemente, die in Menge M, aber nicht in der Menge B enthalten sind, bilden das "Komplement". Man sagt dann: M ohne B. Jonny hat den Fall gelöst! Doch er scheint ziemlich auf einen weiteren Safe abzufahren warum nur? Wer braucht schon Schmuck und Diamanten, wenn man eine menge Würstchen haben kann?