Ereignisalgebra

In diesem Video möchte ich erzählen, was eine Ereignisalgebra ist und wie man in so einer Ereignisalgebra rechnen kann. Am Anfang steht immer ein Zufallsexperiment. Wir nehmen jetzt einmal folgendes, wir nehmen einen Würfel und würfeln einmal damit. Dann gibt es also 6 mögliche Ergebnisse für das Experiment und diese nennen wir Elementarereignisse. Die Elementarereignisse kann man dann zu anderen Ereignissen verknüpfen, z. B. das Ereignis "es wird eine ungerade Zahl gewürfelt", setzt sich zusammen aus den Elementarereignissen 1, 3 und 5. Das Ereignis "es wird eine Zahl größer als 4 gewürfelt", setzt sich aus den Elementarereignissen 5 und 6 zusammen. Und das Ereignis "es wird keine 2 gewürfelt", aus allen Elementarereignissen, außer der 2. Für diese Verknüpfungen gibt es natürlich Symbole und diese möchte ich Euch jetzt einmal zeigen. Dieses Symbol bedeutet, dass die Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten. Dieses Symbol bedeutet: A tritt ein oder B oder sogar beide. Dieses Symbol bedeutet "A tritt nicht ein" und dieses bedeutet "A tritt ein, aber B nicht". Unsere Beispielereignisse vom Anfang lassen sich also so aufschreiben: Ungerade heißt 1 oder 3 oder 5. > 4 heißt 5 oder 6. Und alles außer 2, lässt sich schön mit dem Symbol "nicht 2", schreiben. Nun können wir also endlich zur Definition kommen:   Wir betrachten eine Grundmenge Omega von Elementarereignissen und "S" sei ein System von Ereignissen, die sich aus diesen kombinieren lassen. Dann heißt S Ereignisalgebra über Omega, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind: Das sichere Ereignis und das unmögliche Ereignis gehören zu S. Mit jedem Ereignis A, gehört auch das Ereignis nicht A zu S. Gehören die Ereignisse A und B zur Ereignisalgebra, so muss auch das Ereignis A und B und das Ereignis A oder B zur Ereignisalgebra gehören. Also noch einmal: Das sichere Ereignis, das unmögliche Ereignis, das Komplement zu jedem Ereignis und zu je 2 Ereignissen, die Und-Verknüpfung und die Oder-Verknüpfung.   Zur Veranschaulichung nehmen wir wieder unser Würfelbeispiel. Die Grundmenge Omega, soll aus unseren 6 Elementarereignissen bestehen. S soll aus allen mögliche Teilmengen von Omega bestehen. Also die Leeremenge, Omega selber, die 6 Elementarereignisse und alle möglichen Ereignisse, die man sich aus den Elementarereignissen kombinieren kann. Das unmögliche Ereignis können wir z. B. kombinieren aus "es wird eine 3 und eine 5 gewürfelt" - was offensichtlich nicht geht. Das sichere Ereignis entspricht der Aussage "wir Würfeln eine der Zahlen 1-6". Das Komplement einer Teilmenge von Omega, ist wieder eine Teilmenge von Omega, gehört also auch zu S.  Auch Und- und Oderverknüpfung führen wieder zu Teilmengen von Omega. S ist also tatsächlich eine Ereignisalgebra. Die Ereignisalgebra besteht also sozusagen aus allen formulierbaren Ausgängen des Zufallsexperiments. Ein paar Beispiele habe ich hier mal hingeschrieben.   Wie kann man jetzt in so einer Ereignisalgebra rechnen? Hierfür gibt es Rechengesetze, von denen Euch einige sicher bekannt vorkommen, zum Beispiel das Kommutativgesetz. Es ist dasselbe, ob ich sage "A oder B" oder "B oder A". Das Gleiche gilt für die Und-Verknüpfung. Auch die entsprechenden Assoziativgesetze gibt es hier. Auch die folgenden Gesetze sind eigentlich ganz leicht zu verstehen: Das A oder das unmögliche Ereignis eintreten ist gleichbedeutend damit, dass A eintritt. Das A oder das sichere Ereignis eintreten, ist sicher. Das A und das unmögliche Ereignis eintreten, ist unmöglich. Das A und das sichere Ereignis eintreten, ist gleichbedeutend damit, dass A eintritt. In unserem Beispiel lassen sich das sichere und das unmögliche Ereignis so interpretieren. Für die nächsten Gesetze möchten wollen wir uns erst einmal die Darstellung im sogenannten Venn-Diagramm anschauen. Wir beschreiben die Ereignisse A, B und C als Flächen. Der Bereich, der nur der Fläche B gehört, entspricht dem Ereignis "nur B". Für die anderen Ereignisse gilt das dann entsprechend. Dieser Bereich steht für das Ereignis B und C, aber nicht A. Was man eigentlich an der Zeichnung auch schon erkennen kann. Bei den anderen Flächen ist das wieder entsprechend. Der Bereich in der Mitte steht für die Aussage A und B und C, und alles andere gehört zur Aussage, das keines der Ereignisse eintritt. So, jetzt zeichnen wir das Venn-Diagramm noch einmal auf und schauen uns die Distributivgesetze an. B oder C ist alles was zum schwarzen und grünen Bereich gehört, das was davon auch noch blau ist, ist dieser Anteil. Wie wir sehen, entspricht dies tatsächlich dem Anteil A und B oder A und C. Die rechte und linke Seite sind also gleich. Das 2. Distributivgesetz könnt Ihr ja selbst einmal am Venn-Diagramm nachprüfen.   Kommen wir noch zu den DeMorgan-Gesetzen: Nicht A oder B bedeutet nicht A und nicht B. Wenn man sich das vorspricht, ist das eigentlich klar. Nicht eine 2 oder 3 würfeln bedeutet: Man würfelt weder eine 2 noch eine 3. Nicht A und B bedeutet: Nicht A oder nicht B. Nicht 2 und 3 heißt also, es sollen nicht beide gewürfelt werden, also höchstens eine von beiden.    Wir wollen noch einmal den Umgang mit Ereignissen üben. Das Ereignis A bedeute "die gewürfelte Zahl ist gerade", das Ereignis B, sie ist >3. Ereignis C, sie ist 2 oder 5. Was bedeutet dann diese Formel? Oh, bei Ereignis C meinte ich eigentlich 2 oder 6. Die Zahl soll gerade sein und >3. Da bleiben also nur 4 und 6. Sie soll aber nicht "2 oder 6" sein, also weder 2 noch 6, d. h., es bleibt nur die 4 übrig.    Zum Schluss noch eine Aufgabe. Wir wollen uns überlegen, wie man in Termen der Ereignisalgebra schreiben kann, dass mindestens 2 der 3 Ereignisse A, B, C eintreten. Wenn mindestens 2 Ereignisse eintreten sollen, heißt das, es treten 2 Ereignisse oder 3 Ereignisse ein. Für 3 gibt es nur die Möglichkeit A und B und C. Treten 2 Ereignisse ein, könnte A und B eintreten oder A und C oder B und C. Diese werden noch durch "oder" mit dem 3er-Ereignis verknüpft.   Und Ihr sollt Euch jetzt mal selber überlegen, wie man das Ereignis D schreiben könnte "mindestens eines der Ereignisse tritt ein". Als kleiner Tipp überlegt Euch mal, was nicht D bedeutet.