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Prinzip der Inklusion-Exklusion

Das Prinzip der Inklusion-Exklusion einfach erklärt: Es hilft dir, die Anzahl der Elemente in einer Menge zu bestimmen, die sich aus mehreren Teilmengen zusammensetzt. Interessiert? Du wirst mehr über grafische und schriftliche Lösungswege erfahren!

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Lerntext zum Thema Prinzip der Inklusion-Exklusion

Prinzip der Inklusion-Exklusion – Erklärung

Das Prinzip der Inklusion-Exklusion ist eine Methode, um die Mächtigkeit einer endlichen Menge zu bestimmen. Mächtigkeit steht in diesem Kontext für die Anzahl der Elemente einer Menge. Die Mächtigkeit einer Menge wird so dargestellt: $|M|$.

Als Grundlage für dieses Thema solltest du bereits wissen, was man unter der Vereinigung und der Schnittmenge von zwei oder mehreren Mengen bzw. Ereignissen versteht.

Das Berechnen der Mächtigkeit einer Menge kann zum Beispiel sinnvoll sein, wenn du die Ergebnisse einer Umfrage kennst und herausfinden möchtest, wie viele Personen an der Befragung teilgenommen haben.

Einstiegsbeispiel – Vereinigung von zwei Mengen

Bei einer Umfrage wurden Testpersonen gefragt, ob sie Hunde- und bzw. oder Katzenfans sind. Dabei mussten sich die Teilnehmenden für mindestens einen der beiden Vierbeiner entscheiden, konnten aber auch beide Varianten ankreuzen.

Das Ergebnis der Umfrage lieferte folgende Zahlen:

  • Insgesamt $32$ Testpersonen gaben an, Hundefans zu sein.
  • Insgesamt $24$ Testpersonen gaben an, Katzenfans zu sein.
  • Von diesen Testpersonen gaben $6$ an, Hunde- und Katzenfans gleichzeitig zu sein.

Nun könnte man auf die Idee kommen, die drei genannten Anzahlen an Testpersonen ($32$, $24$ und $6$) einfach zu addieren, um die Gesamtanzahl zu ermitteln (in dem Fall wären es $62$). Allerdings ist das ein Trugschluss, denn die $6$ Personen, die sich sowohl für Hunde als auch für Katzen ausgesprochen haben, sind bereits in den Einzelmengen an Hundefans und Katzenfans enthalten.

Um zu verhindern, dass die Personen, die zwei Kreuze gesetzt haben, als Schnittmenge von Hunde- und Katzenfans doppelt gezählt werden, ziehen wir ihre Anzahl von der Summe aus den Einzelmengen von Hunde- und Katzenfans ab:

$32+24-6=56-6 =50$

So haben wir berechnet, dass insgesamt $50$ Personen an der Umfrage teilgenommen haben.

Prinzip der Inklusion-Exklusion – Beispiel

Wenn wir nun noch eine dritte Einzelmenge hinzunehmen, wird es etwas komplexer: Das Prinzip der Inklusion-Exklusion kommt ins Spiel. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

Selma geht mit ihrem Hund regelmäßig in die Hundeschule. Sie hat dort eine Umfrage über das Spielverhalten der Hunde durchgeführt. Die Ergebnisse hat Selma sich aufgeschrieben, aber die Befragungszettel hat sie leider verloren. Mithilfe der Ergebnisse möchte Selma nun herausfinden, wie viele Personen mit ihren Hunden an der Befragung teilgenommen haben.

Es gab folgende Auswahlmöglichkeiten:

  • Mein Hund spielt gerne mit anderen Hunden.
  • Mein Hund spielt gerne mit einem Ball.
  • Mein Hund spielt gerne im Wasser.

Es konnten eine, zwei oder drei Antworten angekreuzt werden.

Selma weiß, dass

  • $36$ Hunde gerne mit anderen Hunden spielen,
  • $23$ Hunde gerne im Wasser spielen,
  • $31$ Hunde gerne mit einem Ball spielen,
  • $8$ Hunde gerne mit anderen Hunden und mit einem Ball spielen,
  • $6$ Hunde gerne mit anderen Hunden und im Wasser spielen,
  • $5$ Hunde gerne im Wasser und mit einem Ball spielen und
  • $2$ Hunde gerne mit anderen Hunden, im Wasser und mit einem Ball spielen.

Prinzip der Inklusion-Exklusion – grafische Lösung

Fragestellung

Wie viele Personen haben mit ihren Hunden an der Befragung teilgenommen?

Rechnung

Selma kann die Aufgabe grafisch lösen. Sie fertigt dafür diese Zeichnung an:

Venn-Diagramm mit Schnittmengen

Anschließend trägt sie die Werte ein. Selma beginnt mit den $2$ Hunden, die gerne mit anderen Hunden, mit einem Ball und im Wasser spielen, und trägt den Wert in der Mitte ein.

Als Nächstes trägt sie die Werte für die Hunde ein, auf die zwei Antwortmöglichkeiten zutreffen. Von diesen Werten muss sie jeweils den Wert $2$ für die Hunde abziehen, die gerne mit anderen Hunden, mit einem Ball und im Wasser spielen.

Das liegt daran, dass Hunde, die gerne mit anderen Hunden, mit einem Ball und im Wasser spielen, auch gerne mit anderen Hunden und mit einem Ball spielen – das heißt, in dem anderen Wert bereits erhalten sind. Um diese Hunde nicht doppelt zu zählen, muss der Wert abgezogen werden.

Venn-Diagramm Inklusion-Exklusion

Danach trägt Selma die Hunde ein, auf die eine Auswahlmöglichkeit zutrifft. Von diesen Werten muss sie wieder die Hunde, auf die zwei und drei Auswahlmöglichkeiten zutreffen, abziehen, um diese Hunde nicht doppelt zu zählen.

Venn-Diagramm mit eingesetzten Werten

Nachdem Selma alle Werte eingezeichnet hat, kann sie sie zusammenrechnen, um auf das Gesamtergebnis zu kommen.

$24 + 6 + 2 + 4 + 20 + 3 + 14 = 73$

Antwort

Es haben insgesamt $73$ Personen mit ihren Hunden an der Befragung teilgenommen.

Alternativer Lösungsweg

Du kannst die Grafik auch von außen nach innen füllen und berechnen. Dabei trägst du zuerst die Anzahl an Hunden ein, auf die eine Antwort zutrifft, und addierst diese. Danach notierst du dir die Anzahl an Hunden, auf die zwei Lösungen zutreffen, addierst sie und ziehst das Ergebnis von der Summe aus dem ersten Schritt ab. Anschließend addierst du die Anzahl an Hunden, auf die drei Antworten zutreffen, zu deinem Ergebnis, um auf die Lösung zu kommen.

Diese Herangehensweise entspricht dem Prinzip der Inklusion-Exklusion, das anschließend vorgestellt wird.

Prinzip der Inklusion-Exklusion – schriftlicher Rechenweg

Du kannst die Aufgabe auch schriftlich lösen. Wenn in einer Aufgabe Kombinationen der Elemente der drei Mengen

  • $A$ (z. B. Hunde, die gerne mit anderen Hunden spielen),
  • $B$ (z. B. Hunde, die gerne mit einem Ball spielen) und
  • $C$ (z. B. Hunde, die gerne im Wasser spielen) gegeben sind

und du die Mächtigkeit der Vereinigungsmenge, sprich $|A\cup B\cup C|$, bestimmen sollst, kannst du das Prinzip der Inklusion-Exklusion anwenden.

Du addierst zuerst die Anzahl der Elemente von $A$, $B$ und $C$:

$|A|+|B|+|C|$

$36 + 23 + 31 = 90$

Danach ziehst du $|A\cap B|$, $|B\cap C|$ und $|A\cap C|$ ab, um diese Elemente nicht doppelt zu zählen:

$|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|$

$90 - 8 - 6 - 5 = 71$

Anschließend addierst du $|A\cap B\cap C|$, um $|M|$ zu bestimmen:

$|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$71 + 2 = 73$

$73$ Personen haben mit ihren Hunden an der Befragung teilgenommen.

$\vert A\cup B\cup C\vert=\vert A\vert+\vert B\vert+\vert A\vert-\vert A\cap B\vert-\vert B\cap C\vert-\vert C\cap A\vert+\vert A\cap B\cap C\vert$

Prinzip der Inklusion-Exklusion – Zusammenfassung

Mit dem Prinzip der Inklusion-Exklusion kannst du die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Menge bestimmen, die sich aus einzelnen Teilmengen, die sich überschneiden können, zusammensetzt.

Die Mächtigkeit einer Menge wird so dargestellt: $|M|$.

Wenn du beispielsweise herausfinden möchtest, wie viele Personen an einer Befragung teilgenommen haben, deren Ergebnisse du kennst, kann du das Prinzip der Inklusion-Exklusion grafisch anwenden, um auf das Ergebnis zu kommen, oder den schriftlichen Rechenweg wählen. Für eine Menge, die sich aus drei Teilmengen zusammensetzt, lautet dieser im Allgemeinen wie folgt:

$\vert A\cup B\cup C\vert=\vert A\vert+\vert B\vert+\vert A\vert-\vert A\cap B\vert-\vert B\cap C\vert-\vert C\cap A\vert+{\vert A\cap B\cap C\vert}$

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