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Zusammengesetzter Dreisatz 06:09 min

Textversion des Videos

Transkript Zusammengesetzter Dreisatz

Die Eiswürfel-Fabrik der drei Pinguine läuft so gut wie noch nie. Und das liegt daran, dass sie für ihre Planung den doppelten Dreisatz verwenden. Oft wird dieser auch zusammengesetzter Dreisatz genannt. Man verwendet ihn, wenn der einfache Dreisatz zur Berechnung des gesuchten Wertes nicht ausreicht und zwei Zuordnungen vorliegen. Schauen wir uns dazu doch einmal ein Beispiel an: 2 Maschinen der Pinguine produzieren in 3 Stunden 98 Eiswürfel. Wie viele Eiswürfel produzieren 6 Maschinen in 8 Stunden? Zunächst berechnen wir, wie viele Eiswürfel 6 Maschinen produzieren würden und dann können wir auf die Stundenzahl hochrechnen. Wir haben hier zwei proportionale Zuordnungen. Je mehr Maschinen, desto mehr Eiswürfel. Ebenso werden mehr Eiswürfel produziert je länger die Maschinen arbeiten. 2 Maschinen produzieren 98 Eiswürfel. Teilen wir auf beiden Seiten durch 2, so sehen wir, dass eine Maschine 49 Eiswürfel in der gleichen Zeit produziert. Multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 6 so sehen wir, dass 6 Maschinen in 3 Stunden 294 Eiswürfel produzieren. Nun müssen wir nur noch herausfinden, wie viele Eiswürfel in 8 Stunden produziert werden. Wir nehmen das Ergebnis des ersten Dreisatzes und schreiben es zusammen mit der Stundenanzahl als neue Ausgangsgröße auf. In 3 Stunden produzieren 6 Maschinen also 294 Eiswürfel. Teilen wir bei beiden Seiten durch 3 so sehen wir, dass 6 Maschinen in 1 Stunde 98 Eiswürfel produzieren. Multiplizieren wir nun beide Seiten mit 8 erhalten wir die Eiswürfelanzahl bei 6 Maschinen nach 8 Stunden. In 8 Stunden produzieren 6 Maschinen also 784 Eiswürfel. Für die Produktion der Eiswürfel verwenden die Pinguine einen Wassertank wie diesen. Der Wassertank hält 48 Tage, wenn 2 Maschinen 9 Stunden pro Tag arbeiten. Wie lange würde der Wassertank halten, wenn 6 Maschinen 12 Stunden pro Tag arbeiten würden? Auch hier können wir wieder den doppelten Dreisatz verwenden, doch dieses mal haben wir zwei antiproportionale Zuordnungen. Je mehr Maschinen arbeiten, desto kürzer hält der Vorrat. Dasselbe gilt, wenn die Maschinen pro Tag länger arbeiten. Bei einer Arbeitszeit von 9 Stunden pro Tag, reicht der Wasservorrat 48 Tage. Da wir eine antiproportionale Zuordnung haben, teilen wir auf der einen Seite durch 9 und multiplizieren auf der anderen Seite mit 9. Bei einer Arbeitszeit von 1 Stunde, reicht der Vorrat also 432 Tage. Nun multiplizieren wir auf der einen Seite mit 12 und dividieren auf der anderen Seite durch 12. Bei 2 Maschinen und einer Arbeitszeit von 12 Stunden, würde der Vorrat also 36 Tage reichen. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie lange der Vorrat bei 6 Maschinen reichen würde. Dafür verwenden wir den zweiten Dreisatz mithilfe der Ergebnisse des ersten Dreisatzes. Wir teilen die eine Seite durch 2 und multiplizieren die andere Seite mit 2. Bei einer Maschine würde der Vorrat also 72 Tage halten. Nun multiplizieren wir mit 6 und dividieren durch 6. Bei einer Arbeitszeit von 12 Stunden pro Tag und 6 Maschinen würde der Vorrat also 12 Tage lang halten. Die Produktion ist immer noch voll im Gange. Ist ein Tank leer, so wird er mithilfe eines Schlauchs aufgefüllt. Das Auffüllen von zwei Tanks mit zwei Schläuchen dauert 6 Stunden. Wie lange würde das Auffüllen von 6 Tanks mit 3 Schläuchen dauern? Dieses Mal haben wir eine antiproportionale und eine proportionale Zuordnung: Je mehr Schläuche, desto weniger Zeit wird das Auffüllen benötigt. Je mehr Maschinen, desto länger dauert das Auffüllen. Wir wollen zunächst herausfinden, wie lange das Auffüllen von zwei Tanks mit 3 Schläuchen dauert. Wir teilen auf der einen Seite durch 2 und multiplizieren auf der anderen Seite mit 2. Nun rechnen wir dies für 3 Schläuche aus. 3 Schläuche brauchen also 4 Stunden um 2 Tanks aufzufüllen. Dies hilft uns nun wieder bei dem zweiten Dreisatz. Wir teilen auf beiden Seiten durch 2 und multiplizieren mit 6. Bei 6 Tanks würde das Auffüllen also 12 Stunden lang dauern. Gut, dass die Pinguine so einen Plan bei ihrer Produktion haben. Fassen wir zusammen. Hast du eine Aufgabe gegeben, bei der du den doppelten Dreisatz verwenden kannst, so ist es hilfreich zunächst die verschiedenen Zuordnungen zu erkennen. Dann berechnet man den ersten Dreisatz. Das Ergebnis hilft bei der Berechnung mit dem zweiten Dreisatz. Mit welchem der beiden Dreisätze du anfängst ist nicht wichtig, es sollte dasselbe Ergebnis herauskommen. Läuft die Produktion denn noch? Fehlt da nicht einer?

1 Kommentar
  1. Sehr hilfreich👍

    Von Gautamvipan, vor 4 Monaten

Zusammengesetzter Dreisatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zusammengesetzter Dreisatz kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

    Tipps

    Im ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.

    Hast du einen Dreisatz für eine der beiden Zuordnungen aufgestellt, kannst du so rechnen, wie du es für Dreisätze gewohnt bist.

    Lösung

    So kannst du die Lösung bestimmen:

    „$2$ Maschinen produzieren in $3$ Stunden $98$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel eine Maschine produziert, teilen wir die Zuordnung durch $2$.

    Eine Maschine produziert also $98:2=49$ Eiswürfel.

    Anschließend werden beide Seiten der Zuordnung mit $6$ multipliziert.

    Also produzieren sechs Maschinen $49\cdot 6=294$ Eiswürfel.“

    • Im ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.

    „Sechs Maschinen produzieren also in $3$ Stunden $294$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel in einer Stunde produziert werden, teilen wir beide Seiten durch $3$.

    In einer Stunde werden also $294:3=98$ Eiswürfel produziert.

    Anschließend multiplizieren wir beide Seiten mit $8$.

    Also produzieren $6$ Maschinen in $8$ Stunden $98\cdot 8=784$ Eiswürfel.“

    • Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Maschinen konstant und rechnen nur mit der zweiten Zuordnung zwischen Zeit und Eiswürfel.
  • Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

    Tipps

    In der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert die Tanks mit $3$ Schläuchen zu füllen.

    Beachte, ob es sich bei dem jeweiligen Dreisatz um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    Lösung

    In der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert, $3$ Tanks mit $3$ Schläuchen zu füllen. Beachte, dass es sich dabei um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Je mehr Schläuche verwendet werden, desto kürzer dauert es.

    Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Schläuche konstant und berechnen, wie lange es dauert, $6$ Tanks zu füllen. Beachte, dass es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt. Denn je mehr Tanks gefüllt werden müssen, desto länger dauert es.

  • Wende einen doppelten Dreisatz an.

    Tipps

    Die zweite Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit ist antiproportional.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung teilst du die zweite Größe durch diejenige Zahl, mit der du die erste Größe multiplizierst.

    Lösung

    Zuerst halten wir die Anzahl der vier Personen konstant. Die Zuordnung zwischen der Anzahl der Waggons und der benötigten Zeit ist proportional.

    $8$ Waggons entsprechen $12$ Stunden.

    Also teilen wir beide Seiten dieser Zuordnung durch $8$.

    • Sie benötigen also für einen Waggon $1,5$ Stunden.
    Jetzt können wir diese Zuordnung mit der Anzahl der Waggons multiplizieren. Wir erhalten:

    • Für zwei Waggons brauchen sie $3$ Stunden.
    • Für zwölf Waggons brauchen sie $18$ Stunden.
    • Für sechs Waggons brauchen sie $9$ Stunden.
    Anschließend halten wir die Anzahl der Waggons konstant und rechnen mit der zweiten Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit. Diese Zuordnung ist antiproportional.

    $12$ Waggons: Vier Menschen brauchen $18$ Stunden

    • Also brauchen acht Menschen $9$ Stunden.
    $6$ Waggons: Vier Menschen brauchen $9$ Stunden

    • Also brauchen zweit Menschen $18$ Stunden.
  • Erschließe die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

    Tipps

    Bei einer doppelten proportionalen Zuordnung, kannst du eine der Größen zunächst konstant halten, während du mit den anderen beiden Größen rechnest.

    Hier kannst du zum Beispiel zuerst die Anzahl der Fische konstant halten, während du berechnest, wie eine Veränderung der Größe des Aquariums die Dauer verändert.

    Lösung

    Wir wissen, dass Sofia für ein Aquarium mit $V=2~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $2$ Stunden braucht.

    Wollen wir wissen, wie lange sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen benötigt, können wir die Anzahl der Fische konstant halten. Wir teilen die Zuordnung $V=2~\text{m}^3$ und $2$ Stunden durch $2$ und erhalten:

    $V=1~\text{m}^3$ entspricht $1$ Stunde.

    Jetzt können wir mit $4$ multiplizieren und erhalten:

    $V=4~\text{m}^3$ entsprechen $4$ Stunden.

    • Damit erhalten wir als erste Zuordnung, dass sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $4$ Stunden benötigt.
    Wollen wir die Dauer für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen berechnen, dann halten wir die Größe des Aquariums konstant. Wir teilen die Zuordnung $10$ Fische und $4$ Stunden durch $10$ und erhalten:

    $1$ Fisch entspricht $0,4$ Stunden.

    Multiplizieren wir mit $5$, erhalten wir:

    $5$ Fische entsprechen $2$ Stunden.

    • Also benötigt sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen $2$ Stunden.
    Genauso erhältst du:

    • Für ein Aquarium mit $V=5~\text{m}^3$ und $5$ Fischen benötigt sie $2,5$ Stunden.
    • Für ein Aquarium mit $V=10~\text{m}^3$ und $20$ Fischen benötigt sie $20$ Stunden.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum doppelten Dreisatz.

    Tipps

    Bei Dreisätzen wendest du nur die Rechenarten Multiplikation und Division an.

    Wenn eine Größe sich vergrößert, während eine andere Größe sich verkleinert, dann kann die Zuordnung dieser Größen nicht proportional sein.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Beim Rechnen mit Dreisätzen addierst und subtrahierst du Zahlen zu unterschiedlichen Größen, die einander zugeordnet werden können.“

    • Bei Dreisätzen multiplizierst und dividierst du die Größen. Addiert oder subtrahiert wird hier nie.
    „Du kannst nur bei gleichartigen Zuordnungen Rechnungen mit einem doppelten Dreisatz durchführen. Hast du also eine proportionale und eine antiproportionale Zuordnung, kann hier kein doppelter Dreisatz angewandt werden.“

    • Den doppelten Dreisatz kannst du auch bei gemischten Zuordnungen anwenden. Beachte jedoch, dass du die richtige Rechenart verwendest.
  • Erschließe, ob die Lösungen korrekt sind.

    Tipps

    Erkenne zunächst, um welche Arten von Zuordnungen es sich hier handelt.

    Rechne anschließend nacheinander mit beiden Zuordnungen.

    Lösung

    Diese Rechnung ist falsch:

    „Zur Übung rechnet Luis alte Matheklausuren. Für $3$ Klausuren mit je $4$ Aufgaben braucht er $3$ Stunden. Dann braucht er für $2$ Klausuren mit jeweils $5$ Aufgaben $2$ Stunden.“

    Halten wir zunächst die Anzahl der Aufgaben ($4$) konstant, erhalten wir:

    $3$ Klausuren entsprechen $3$ Stunden.

    Teilen wir durch $3$, erhalten wir:

    $1$ Klausur entspricht $1$ Stunde.

    Multiplizieren wir mit $2$:

    $2$ Klausuren entsprechen $2$ Stunden.

    Jetzt können wir die Anzahl der Klausuren ($2$) konstant halten:

    $4$ Aufgaben entsprechen $2$ Stunden.

    Teilen wir durch $4$, erhalten wir:

    $1$ Aufgabe entspricht $0,5$ Stunde.

    Multiplizieren wir mit $5$:

    $5$ Aufgaben entsprechen $2,5$ Stunden.

    Also braucht er für $2$ Klausuren mit je $5$ Aufgaben $2,5 $ Stunden. Rechnest du die anderen Aufgaben auf gleiche Weise, dann erhältst du, dass diese Aufgaben richtig sind:

    „Für eine Studie mit $20$ Teilnehmer*innen, in der $50$ Fragen ausgewertet werden sollen, braucht eine Wissenschaftlerin $10$ Tage. Dann braucht sie für eine Studie mit $40$ Teilnehmer*innen und $60$ Fragen $16$ Tage.“

    „Drei Programmiererinnen schreiben in $4$ Stunden $200$ Zeilen Code. Dann schreiben sechs Programmiererinnen in $5$ Stunden $500$ Zeilen.“

    „Ein Zug mit einer Geschwindigkeit von $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt in $3$ Stunden $600$ Kilometer. Dann fährt ein Zug mit $150~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $4$ Stunden ebenfalls $600$ Kilometer.“