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Zufallsexperimente modellieren – Alltagsbeispiele

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Zufallsexperimente modellieren – Alltagsbeispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zufallsexperimente modellieren – Alltagsbeispiele

Das mathematische Modelleiren von Alltagssituationen kannst du dir so vorstellen: Wenn wir z.B. sagen: "Heute wird es ziemlich sicher regnen", dann kann man das auch mathematisch verstehen, z.B. so: "Heute beträgt die Regenwahrscheinlichkeit 90%". Wir können also ein mathematisches Modell verwenden, um das, was wir in Zukunft erwarten, exakt auszudrücken. Dieser Vorgang nennt sich "modellieren". Dabei ist es gar nicht so wichtig, genau zu klären, ob die Situation, die dahinter steckt - in diesem Fall das Wetter - überhaupt ein Zufallsversuch ist. Wir können einfach der Aussage "Heute wird es regnen" die Zahl 0,9 zuordnen und der Aussage "Heute wird es nicht regnen" die Zahl 0,1 zuordnen und schon haben wir Wahrscheinlichkeiten vor uns. In der Schule findest du öfter Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in diesem Sinne modelliert werden sollen. Wenn z.B. den Läufern eines Wettlaufes Siegeswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden sollen, steht nicht so sehr im Vordergrund, ob es sich bei einem Wettlauf tatsächlich um einen Zufallsversuch handelt, sondern es ist danach gefragt, eine solche Alltagssituation mathematisch sinnvoll zu modellieren.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gutes video auch mit den beispielen

    Welche Borussia meinen sie ?
    Gladbach oder Dortmund oder ... ?

    Von Melanie Obach, vor mehr als einem Jahr

Zufallsexperimente modellieren – Alltagsbeispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallsexperimente modellieren – Alltagsbeispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was ein Zufallsversuch ist.

    Tipps

    Ein Zufallsversuch liegt vor, wenn du aus einer Urne mit mehreren verschiedenen Kugeln eine Kugel ziehst, ohne zu wissen, welche Kugel du ziehst.

    Kein Zufallsversuch liegt vor, wenn du in die Urne hinein schaust und dich für eine der Kugeln entscheidest.

    Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsversuch.

    Du kannst zum Beispiel zehnmal hintereinander eine $1$ gewürfelt haben und trotzdem im elften Durchgang jede der Zahlen, also auch die $1$, wieder würfeln.

    Lösung

    Wahrscheinlichkeiten werden in der Mathematik im Zusammenhang mit Zufallsversuchen betrachtet.

    Was ist eigentlich ein Zufallsversuch?

    Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung. Dies ist eine Entscheidung ohne Wissen. Wenn man aus einem Kartenstapel eine Karte ohne Wissen zieht, weiß man nicht, welche Karte man zieht. Also liegt eine zufällige Entscheidung vor.

    Bei einem Zufallsversuch ist das Ergebnis nicht vorhersehbar.

    Was das genau bedeutet, schauen wir uns einmal an zwei Beispielen an.

    Ein Zufallsversuch liegt vor, wenn du aus einer Urne mit mehreren verschiedenen Kugeln, ohne zu sehen, was du ziehst, eine Kugel ziehst. Du kannst vorher nicht wissen, welche Kugel du ziehst.

    Kein Zufallsversuch liegt allerdings vor, wenn du in die Urne hinein schaust und dich dafür entscheidest, zum Beispiel eine rote Kugel zu ziehen.

    Es liegt übrigens auch kein Zufallsversuch vor, wenn das Ergebnis von Fähigkeiten abhängt. Dies ist zum Beispiel bei Wettrennen oder beim Schachspielen der Fall.

    Wenn man jedoch die Gewinnstatistiken der Spieler bzw. Läufer der letzten Jahre betrachtet, kann man sich mathematisch ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn sind. Diese müssen natürlich in der Realität nicht eintreten.

    Und dann gibt es noch Beispiele, bei denen zwar der Vorgang beliebig oft wiederholt werden kann, du aber immer wieder auf dasselbe Ergebnis kommst.

    Wenn du beispielsweise eine beliebige Strecke ausmisst, kannst du das immer wieder machen, du kommst aber immer wieder auf dasselbe Ergebnis. Es ist kein Zufall im Spiel.

  • Definiere, was eine Wahrscheinlichkeit ist.

    Tipps

    Eine Menge ist eine Gesamtheit von Elementen. Diese Elemente sind verschieden voneinander.

    Schaue dir dieses Beispiel an. Diese Münze wird einmal geworfen. Nun kannst du schauen, ob „Kopf“ (kurz „K“) oder „Zahl“ (kurz „Z“) oben liegt.

    Eine mögliche Wahrscheinlichkeitszuordnung wäre also:

    • $P($K$)=0,5$
    • $P($Z$)=0,5$
    Prüfe die Aussagen anhand dieser Zuordnung.

    Lösung

    Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

    Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

    Schauen wir uns einmal die kleinste und auch die größte Wahrscheinlichkeit an.

    Die Wahrscheinlichkeit $0$: Dies besagt, dass etwas unmöglich ist.

    Die Wahrscheinlichkeit $1$: Dies besagt, dass etwas sicher ist.

    Es gibt sicher keine Wahrscheinlichkeit, die größer ist als $1$. Wenn also jemand sagt: „Mit an unendlich grenzender Wahrscheinlichkeit wird morgen die Sonne scheinen.“, dann meint er wohl, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass morgen die Sonne scheint.

    Übrigens: Auch wenn wir in der Mathematik mit dem Zufall rechnen, bleiben die Ausgänge von Zufallsexperimenten (wie der Name schon sagt) komplett zufällig und nicht vorhersehbar.

  • Entscheide, ob eine Wahrscheinlichkeitszuordnung vorliegt.

    Tipps

    Du musst nur prüfen, ob die Definition von Wahrscheinlichkeiten gegeben ist.

    Es sind also auch Antwortmöglichkeiten richtig, die nicht einem Laplace-Experiment entsprechen.

    Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

    • Sind alle Wahrscheinlichkeiten größer oder gleich $0$ sowie kleiner oder gleich $1$?
    • Summieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu $1$?
    Wenn du beide Fragen mit „Ja!“ beantworten kannst, liegt ein Wahrscheinlichkeitsverteilung vor, ansonsten nicht.

    Lösung

    Wir gehen nun alle Antwortmöglichkeiten durch und schauen, welche davon die Definition für Wahrscheinlichkeiten erfüllen.

    $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=\frac14=0,25$

    Hier siehst du die Wahrscheinlichkeiten, die einem idealen, regelmäßigen Tetraeder entsprechen. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

    Nach der Definition der Wahrscheinlichkeit können allerdings auch andere Zuordnungen durchaus Wahrscheinlichkeiten sein. Dafür müssen...

    • alle Wahrscheinlichkeiten größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ sein.
    • alle Wahrscheinlichkeiten sich zu $1$ summieren.
    Schauen wir uns die weiteren Zuordnungen an.

    $P(1)=P(2)=0; P(3)=0,25, P(4)=0,75$

    Diese Zuordnung erfüllt die Bedingungen, da $0+0+0,25+0,75 = 1$ gilt und alle Zahlen zwischen $0$ und $1$ liegen. Das Tetraeder, das diese Zuordnung erfüllt, muss so manipuliert sein, dass es nie auf der $1$ oder $2$ liegen bleiben kann.

    $P(1) = 1; P(2) = P(3) = P(4) = 0$

    Diese Zuordnung erfüllt ebenfalls die Bedingungen. Auch hier muss das Tetraeder (zum Beispiel durch Gewichte) manipuliert worden sein, sodass es immer auf der $1$ liegen bleibt. Streng genommen handelt es sich hierbei allerdings nicht mehr um einen Zufallsversuch, da das Ergebnis vorhersehbar ist.

    Die folgenden drei Zuordnungen sind keine Wahrscheinlichkeitszuordnungen.

    • $P(1) = P(2) = 0,2; P(3) = 0,3; P(4) = 0,4$: Hier kommt man durch Addieren auf eine Summe, die größer als $1$ ist
    • $P(1) = -0,2; P(2) = 0,2; P(3) = P(4) = 0,5$: Hier erhält man zwar als Summe $1$, jedoch sind nicht alle Zahlen zwischen $0$ und $1$
    • $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0,2$: Auch hier erhält man als Summe nicht $1$
  • Ermittle die jeweils fehlende Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Alle Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu $1$ addieren.

    Schaue dir dieses Beispiel an.

    Wenn bei einer nicht idealen Münze die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ $0,7$ beträgt, dann kannst du die Wahrscheinlichkeit $p$ für „Zahl“ wie folgt berechnen.

    Es muss gelten $p + 0,7 = 1$.

    Subtrahiere auf beiden Seiten $0,7$, so erhältst du $p=1-0,7=0,3$.

    Lösung

    Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ordnet jedem Element einer Menge eine Zahl zwischen $0$ und $1$ zu. Die Summe all dieser Zahlen muss $1$ sein.

    Den zweiten Teil dieser Definitionen nutzen wir nun, um die jeweils fehlenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

    Schale mit drei Kugeln

    Da die Wahrscheinlichkeiten summiert $\frac23$ ergeben, muss die verbleibende Wahrscheinlichkeit

    $P($orange$)=1-\frac23=\frac13$ sein.

    Urne mit fünf Kugeln

    Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist mit $0,4$ bereits gegeben. Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, dadurch, dass $0,4$ von $1$ subtrahiert wird:

    $P($grün$)=0,6$.

    Lostrommel

    Die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnlos zu ziehen, beträgt $0,15$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete $1-0,15=0,85$.

    Tetraeder

    • Summiere zunächst die bekannten Wahrscheinlichkeiten: $0,1+0,4+0,2=0,7$.
    • Subtrahiere diese Summe von $1$. So erhältst du die Wahrscheinlichkeit, eine $2$ zu würfeln: $1-0,7 = 0,3$.
  • Gib an, welche der Zahlen Wahrscheinlichkeiten sein können.

    Tipps

    Beachte, dass hier nicht überprüft werden muss, ob die Wahrscheinlichkeiten sich zu $1$ addieren. Es geht ausschließlich darum zu entscheiden, ob die angegebene Zahl theoretisch eine Wahrscheinlichkeit sein könnte.

    Schaue dir noch einmal die Definition einer Wahrscheinlichkeit an:

    Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Wir schauen uns noch einmal die Definition einer Wahrscheinlichkeit etwas genauer an.

    Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

    Mathematisch können wir also sagen, dass jede Zahl $x$, für die gilt $0\leq x\leq 1$, eine Wahrscheinlichkeit sein kann.

    Es geht in dieser Aufgabe nicht darum, ob diese Wahrscheinlichkeiten von einem Zufallsversuch sein können.

    Also können $0$; $0,1$; $0,9$ und $1$ Wahrscheinlichkeiten sein.

    Ganz sicher keine Wahrscheinlichkeiten sind folgende Zahlen:

    • $-1$ (da kleiner als $0$)
    • $1,2$ (da größer als $1$)
  • Leite die Wahrscheinlichkeiten zu den verschiedenen Ergebnissen her.

    Tipps

    Schreibe jeweils das Ereignis als Menge von Ergebnissen auf.

    Zähle die Ergebnisse, die in einem Ereignis liegen. Da jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, musst du diese Anzahl mit dieser Wahrscheinlichkeit multiplizieren.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    E: Die Augenzahlen sind gleich groß.

    Also ist $E=\{(1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)\}$.

    Es liegen sechs Elemente in dieser Menge. Damit gilt:

    $P(E)=6\cdot \frac1{36}=\frac{6}{36} = \frac16$

    Lösung

    Da jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, genügt es, die Anzahl der Ergebnisse in dem jeweiligen Ereignis zu ermitteln. Diese wird dann mit der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses multipliziert.

    Hierfür schreibst du jedes Ereignis erst einmal als Menge auf:

    A: Die Summe der beiden Augenzahlen ist kleiner als $4$.

    $A=\{(1;1);(1;2);(2;1)\}$, die Anzahl der Elemente ist $3$.

    Damit ist $P(A)=\frac3{36}=\frac1{12}$.

    B: Die größere der beiden Augenzahlen ist eine $2$.

    $B=\{(1;2);(2;1)\}$, die Anzahl der Elemente ist $2$.

    Damit ist $P(B)=\frac2{36}=\frac1{18}$.

    C: Die Augenzahl des roten Würfels ist um $1$ kleiner als die des grünen.

    $C=\{(1;2);(2;3);(3;4);(4;5);(5;6)\}$, die Anzahl der Elemente ist $5$.

    Damit ist $P(C)=\frac5{36}$.

    D: Das Produkt der beiden Augenzahlen ist größer als $19$.

    $D=\{(4;5);(4;6);(5;4);(5;5);(5;6);(6;4);(6;5);(6;6)\}$, die Anzahl der Elemente ist $8$.

    Damit ist $P(D)=\frac8{36}=\frac2{9}$.

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