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Ziehen ohne Zurücklegen 06:16 min

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Transkript Ziehen ohne Zurücklegen

Hallo. Hier ist Mandy. Fast täglich läuft man an einem Schild vorbei, auf dem steht: Aktueller Jackpot bei Lotto 6 aus 49 3 Mio €. Das klingt echt verlockend. Da gerät man doch einmal ins Schwärmen. Was man alles mit dem Geld anfangen könnte? Sich ein neues Auto kaufen zum Beispiel. Aber wie groß wäre wohl tatsächlich meine Chance, sechs Richtige zu haben und die drei Millionen Euro zu gewinnen? Um diese Frage zu beantworten, sollte man erst die folgende Frage beantworten: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs aus 49 Zahlen zu ziehen? Zur Beantwortung dieser Frage hilft uns die Stochastik. Hintergrund dieses Anwendungsbeispiels ist das Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge. Als Vorwissen benötigst Du Kenntnisse über das Ziehen MIT Beachtung der Reihenfolge. Wir nehmen als Beispiel eine Urne mit fünf verschiedenfarbigen Kugeln, aus der wir dreimal ziehen, ohne sie zurückzulegen. Du weißt bereits, dass es 5 * 4 * 3, also 60 verschiedene Reihenfolgen gibt. Jetzt ziehen wir aber gleichzeitig drei Kugeln. Auf diese Weise kann man über die Reihenfolge der gezogenen Kugeln keine Aussage treffen. Da ist jetzt neu das Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge. Wenn man beispielsweise die Kugeln blau, rot und grün zieht, dann gibt es wiederum mehrere Möglichkeiten, diese drei Kugeln anzuordnen. Durch Probieren findet man heraus, dass es sechs Möglichkeiten gibt. Die kann man aber auch schnell berechnen, wenn man sich das passende Baumdiagramm vorstellt. So gibt es 3 * 2 * 1 = 3! = 6 mögliche Kombinationen. Insgesamt gibt es 60 Möglichkeiten MIT Beachtung der Reihenfolge. Beim Ziehen OHNE Beachtung der Reihenfolge kann man von diesen Möglichkeiten nur diejenigen mit der gleichen Farbkombination nicht unterscheiden. Das bedeutet, dass es zum Beispiel nicht wichtig ist, ob zuerst grün und dann rot oder zuerst rot und dann grün gezogen wird. Wir müssen also die Anzahl aller möglichen Kombinationen durch die Anzahl der möglichen Reihenfolgen für drei gezogene Farben teilen. Es gibt also dann für das Ziehen OHNE Beachtung der Reihenfolge (5 * 4 * 3) / (3!) = 60 / 6 = 10 unterscheidbare Möglichkeiten. Nun verallgemeinern wir diese Rechnung, um sie auf eine beliebige Anzahl von Kugeln und Ziehungen anwenden zu können. Hierbei beschreibt n die Anzahl der vorhandenen Kugeln in der Urne und k die Anzahl der gezogenen Kugeln. Wir gehen zunächst von unserem Beispiel aus und verallgemeinern dann auf eine beliebige Anzahl. Dazu notieren wir die Beispielrechnung noch einmal. Wir erinnern uns: n=5 und k=3. Dann ergibt sich (5 * 4 * 3) / (3!). Der Zähler kommt uns dabei schon bekannt vor aus dem Ziehen mit beachten der Reihenfolge. Er lautet n * (n-1) * (n-2), da der nächste Faktor immer um eins kleiner wird. Den Nenner finden wir auch schnell, da es sich hierbei um die Anzahl der gezogenen Kugeln, also drei, handelt. Demnach ist der Nenner 3!. Nun verallgemeinern wir auf die beliebige Anzahl an Ziehungen k. Auch hier ist der Zähler nicht unbekannt. Auch ihn können wir aus dem Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge ableiten. Er lautet: n * (n-1) * (n-2) * … * (n - k + 1). Im Nenner steht schließlich k!. Weil diese Formel relativ lang ist, gibt es auch die folgende Kurzschreibweise: Man liest entweder "n über k " oder "k aus n". Man nennt diesen Ausdruck den Binomialkoeffizient. Zusammenfassend kann man nun folgenden Merksatz formulieren: Man zieht gleichzeitig k Kugeln aus insgesamt n Kugeln, so gibt es (n * (n-1) * ... * (n - k + 1)) / (k!) = (n über k) verschiedene Möglichkeiten. Wenden wir diese Formel gleich auf unser Einstiegsbeispiel an. Dort ging es darum, herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, sechs aus 49 Kugeln zu ziehen. Dabei ist n = 49 und k = 6. Also gilt kurz: (49 über 6) beziehungsweise (49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44) / 6!. Dies ergibt 13.983.816 Möglichkeiten. Mit einer Chance von rund eins zu 14 Millionen gewinnt man also tatsächlich den Jackpot von drei Millionen. Dafür braucht man schon eine ordentliche Portion Glück. Das wars schon wieder von mir. Daher sag ich nun Bye Bye und bis zum nächsten Mal.