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Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung Reihenfolge – Einführung 05:56 min

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Transkript Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung Reihenfolge – Einführung

Hat der alte Hexenmeister mir so Manches aufgegeben! Aus den sieben Zaubersachen je drei in einen Trank zu legen. Hab ein gut gefülltes Trankregal — die Reihenfolge scheint egal!Nimm jede Zutat ruhig auch mehrmals — wieso kein Trank aus dreimal Aalhals? Bei all dem Brauen frag ich mich — wie viele werden das denn eigentlich? Ach, raten wär hier zu verwegen, doch halt! Dem Mathebuch zufolge — ist das doch irgendwas mit Zurücklegen und irgendwas mit Reihenfolge. Genau! Also helfen wir mal beim Rechnen. Hier siehst du die 4 Formeln der Möglichkeiten, aus n-Elementen k-mal zu ziehen. Mit Zurücklegen - hier darf jedes Element mehrfach gezogen werden. Ohne Zurücklegen — hier darf jedes Element höchstens einmal gezogen werden. Und in beiden Fällen kann die Reihenfolge, in der du die Elemente ziehst, wichtig sein, oder eben nicht. Um herauszufinden, welchem dieser Fälle das Brauen der Tränke entspricht, übersetzen wir die Aufgabe in das Urnenmodell. Unsere Hexe soll aus sieben Zutaten drei auswählen und daraus einen Trank brauen. Dabei darf jede Zutat für jeden der drei Teile verwendet werden. Das Regal mit den Zutaten entspricht dabei der Urne. Die Kugeln im Urnenmodell sind dann die Zutaten — also alle möglichen Elemente, die man ziehen kann. Das Ziehen wiederum entspricht in unserem Fall dem Auswählen einer Zutat für den Trank. Der Zaubermeister hat nur gesagt, dass drei Teile in den Trank gehören — die Reihenfolge war dabei nicht wichtig. Deshalb müssen wir diese Zeile auswählen. Wäre die Reihenfolge wichtig, dann würde es einen Unterschied machen, ob man erst den Anistrichterling und dann die Alraune in den Trank hineingibt oder erst die Alraune und dann den Anistrichterling. Unsere Hexe weiß aber, das solche Tränke erst in der nächsten Klasse drankommen. Außerdem darf sie jede Zutat mehrfach verwenden, also kommt nur diese Spalte in Betracht. So darf sie auch einen Trank brauen, der aus drei gleichen Teilen besteht. Zum Beispiel das berühmte Zapothekische Arithmetyl-Anamnese-Zauberzapfzeug, das aus drei Teilen Arithmetyl besteht. Wären die Zutaten begrenzt und man könnte jede nur einmal benutzen, entspräche das einem Ziehen ohne Zurücklegen. Also haben wir hier den Fall: Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Also ist der richtige Ausdruck für die Anzahl der möglichen Tränke "n plus k minus 1 über k". Dabei ist n die Anzahl der Elemente — das sind bei uns die sieben Zauberzutaten und k gibt an, wie oft wir ziehen — bei uns entspricht das also den 3 Teilen, für die wir Zutaten wählen. Damit können wir ausrechnen, wie viele Tränke insgesamt gebraut werden müssen. "(n plus k minus 1) über (k)" kannst du als Bruch schreiben: die Fakultät von "n plus k minus 1" geteilt durch die Fakultät von k-mal der Fakultät von n minus 1. Wenn wir für n also 7 und für k 3 einsetzen, die Klammerausdrücke vereinfachen, die Fakultäten ausschreiben, 6 Fakultät kürzen, und nochmal kürzen, kommt 3 mal 4 mal 7 heraus. Das sind 84. Ganz schön viele Tränke! Nur aus Interesse: Wenn wir statt der dreiteiligen Tränke vierteilige Tränke betrachten, und wir wieder jede Zutat mehrfach verwenden dürfen: wie viele Tränke werden es denn dann? Dazu können wir dieselbe Formel benutzen — es ändern sich nur die Zahlen. Weiterhin ist n, also die Anzahl der Elemente, gleich 7. Aber k ist jetzt gleich 4. Also rechnen wir, vereinfachen wieder die Klammerausdrücke, schreiben die Fakultäten aus, und kürzen. Dann kommt 210 heraus. Glück gehabt, dass sie nur alle dreiteiligen Zaubertränke brauen muss! Während leise die Kessel mit den Zaubertränken brodeln, fassen wir zusammen. Bei Kombinatorikaufgaben solltest du dich immer fragen, ob die Reihenfolge wichtig ist. Wird gleichzeitig gezogen, kann die Reihenfolge nicht beachtet werden. Dem entspricht auch das mehrmalige Verwenden von gleichen Objekten, etwa das Werfen mehrerer Würfel. Außerdem solltest du überlegen, ob Zurücklegen erlaubt ist. Will man aus n Elementen k mal mit Zurücklegen ziehen, ohne die Reihenfolge zu beachten, so gibt es dafür "(n plus k minus 1) über k" viele Möglichkeiten. Mithilfe der Fakultät kannst du die Formel auch als Bruch schreiben. Man nennt das auch "Kombination mit Zurücklegen" oder "Kombination mit Wiederholung". Ob die vielen Tränke inzwischen fertig sind? Die ganze Nacht hab ich gebraut — und viele Kessel auch geklaut. Mit denen flieg ich nun zum Meister — oh ups...Mist...Scheibenkleister!

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung Reihenfolge – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung Reihenfolge – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Anzahl der Zaubertränke.

    Tipps

    Bestimme den Wert von $n+k-1$.

    Setze in die Formel $\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$ die Werte für $n$ und $k$ ein und kürze.

    Im Nenner steht nach dem Kürzen nur noch $k!$.

    Lösung

    Der Aufgabe, aus sieben Zutaten aus dem Regal jeweils drei für einen Zaubertrank auszuwählen, entspricht im Urnenmodell das Ziehen von $k=3$ Kugeln aus $n=7$ Kugeln in der Urne. Jede Zutat kann mehrmals gewählt werden, und die Reihenfolge der Zutaten im Zaubertrank ist egal. Das entspricht im Urnenmodell dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

    $ \binom{n+k-1}{k} $

    Wir setzen die Zahlen $n=7$ und $k=3$ ein und erhalten:

    $ \binom{n+k-1}{k} = \binom{7+3-1}{3} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$

  • Bestimme die Anzahl möglicher Kombinationen.

    Tipps

    Setze in die Formel

    $\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

    die Werte für $n$ und $k$ ein und kürze den entstehenden Bruch.

    Nach dem Kürzen steht im Nenner nur noch $k!$.

    Um den Wert von

    $\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

    zu berechnen, multipliziert Du die ersten $k$ Faktoren aus $(n+k-1)!$, beginnend mit der größten Zahl, und dividierst durch $k!$.

    Lösung

    Wir gehen die Rechnung durch:

    Die Zauberschülerin wählt $k=3$ Zutaten aus ihrem Regal aus. Das Zutatenregal enthält $n=7$ verschiedene Zutaten.

    Da jede Zutat mehrmals verwendet werden darf, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

    $ \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} $

    Setzen wir $n=7$ und $k=3$ ein, so erhalten wir:

    $ \binom{7+3-1}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84. $

  • Bestimme die Anzahl verschiedener Zaubertränke.

    Tipps

    Ziehen wir $k$ aus $n$ Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne, lautet die entsprechende Formel :

    $\binom{n+k-1}{k}$.

    Setze in die Formel an Stelle von $k$ die Anzahl der ausgewählten Zutaten und an Stelle von $n$ die Anzahl der möglichen Zutaten ein.

    Lösung

    Wir gehen die Rechnung durch:

    Die Zauberschülerin wählt $k=4$ Zutaten aus ihrem Regal aus. Das Zutatenregal enthält $n=7$ verschiedene Zutaten.

    Da jede Zutat mehrmals verwendet werden darf, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

    $ \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} $

    Setzen wir $n=7$ und $k=4$ ein, so erhalten wir:

    $ \binom{7+4-1}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 220. $

  • Analysiere, welche Situationen korrekt durch die Formel beschrieben werden.

    Tipps

    Übersetze das Spinnen-Szenario in das Urnenmodell.

    Dem Ziehen aus der Urne entspricht beim Hexentresor das Einstellen der Ziffer auf einem Ring.

    Bestimme für das Sockenszenario den Wert von $k$ und überlege, ob es möglich ist, $k$-mal dieselbe Sockenart zu ziehen.

    Lösung

    Wir analysieren die einzelnen Szenarien:

    Falsch ist die Beschreibung der folgenden drei Szenarien im Urnenmodell durch Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:

    • $7$ Spinnen verteilen sich auf $11$ Löcher. Im Urnenmodell entsprechen die Löcher den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen entspricht die Auswahl der Löcher. Jedes Loch reicht gerade für eine Spinne, und wenn es einmal belegt ist, kann es nicht mehr gewählt werden. Alle Schlupflöcher sind gleich gut, die Reihenfolge der Belegung spielt daher keine Rolle. Es handelt sich also um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=7$.
    • Die Zaubersprüche bestehen aus einer zufälligen Aneinanderreihung von Buchstaben. Im Urnenmodell entsprechen die $26$ Buchstaben den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen der Kugeln entspricht das Schreiben der Buchstaben in das Zauberbuch. Die Buchstaben werden hintereinander geschrieben, also ist die Reihenfolge relevant. Das Alphabet wird aber nie leer, jeder Buchstabe kann immer wieder geschrieben werden. Es handelt sich demnach um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge mit $n=26$ und $k=11$.
    • Das Schloss des Hexentresors besteht aus $7$ Ringen mit jeweils $11$ Ziffern. Im Urnenmodell entsprechen die Ziffern den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen der Kugeln entspricht das Einstellen der Ziffer auf den Ringen. Die Ringe sind unabhängig voneinander, daher kann jeder Ziffer immer wieder vorkommen. Die Reihenfolge ist entscheidend, denn die Ringe sind verschieden und haben eine feste Position. Es handelt sich also um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=7$.
    Richtig ist die Beschreibung der übrigen beiden Szenarien im Urnenmodell durch Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:

    • Die Auswahl der Zutaten zu dem Hexentee entspricht genau der Wahl für die Zaubertränke bzw. dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Hexenschülerin wählt $k=2$ Zutaten aus $n=5$ möglichen Zutaten.
    • Aus ihrem Socken-Sammelsurium zieht die Hexenschülerin zufällig $2$ Socken. Da jedes der $11$ Paare vollständig ist, kann sie jede Sockenart zweimal ziehen. Welchen der beiden Socken sie an den linken Fuß zieht und welchen an den rechten, ist unerheblich. Im Urnenmodell entspricht den Kugeln in der Urne die Sockenart, dem Ziehen der Kugeln aus der Urne das Hervorziehen der Socken unter dem Bett. Da jede Sockenart zweimal gezogen werden kann und die Verteilung der Socken auf die Füße egal ist, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=2$. (Zum Glück hat die Hexenschülerin nicht mehr als zwei Füße, sonst würde das Urnenmodell nicht passen).
  • Wende die Formel für die Anzahl möglicher Kombinationen an.

    Tipps

    Bestimme für die angegebenen Werte von $n$ und $k$ den Wert von $n+k-1$ und setze in die Formel ein.

    Um den Wert von $\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$ zu berechnen, multipliziert Du die ersten $k$ Faktoren aus $(n+k-1)!$, beginnend mit der größten Zahl, und dividierst durch $k!$.

    Für $n=8$ und $k=2$ lautet die Anzahl der Möglichkeiten:

    $\binom{8+2-1}{2} = \binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.

    Lösung

    Um die korrekten Zuordnungen zu finden, wenden wir die Formel

    $\binom{n+k-1}{k}$

    an, setzen die angegebenen Werte für $n$ und $k$ ein un erhalten den gesuchten Wert für die Anzahl der Möglichkeiten.

    • Für $n=7$ und $k=4$ ist $\binom{n+k-1}{k} = \binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$.
    • Für $n=8$ und $k=3$ ist $\binom{n+k-1}{k} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
    • Für $n=8$ und $k=4$ ist $\binom{n+k-1}{k} = \binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330$.
    • Für $n=8$ und $k=5$ ist $\binom{n+k-1}{k} = \binom{12}{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.
    • Für $n=7$ und $k=5$ ist $\binom{n+k-1}{k} = \binom{11}{5} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462$.
  • Erschließe die Anzahl der Möglichkeiten.

    Tipps

    Bestimme aus dem Text die Werte für $n$ und $k$.

    Setze die Werte in die Formel $\binom{n+k-1}{k}$ ein und rechne das Ergebnis aus.

    Für $3$ Ringe, verteilt auf $5$ Finger, lautet die Rechnung:

    $\binom{5+3-1}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

    Lösung

    Die $5$ Ratten verkriechen sich in $9$ Schlupflöchern. Jedes Schlupfloch hat Platz für bis zu fünf Ratten. Die Auswahl eines Schlupfloches aus $n=9$ möglichen Löchern für jede der $k=5$ Ratten entspricht daher dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Wir setzen $n=9$ und $k=5$ in die Formel ein und erhalten $1287$ verschiedene mögliche Belegungen.

    Ein Würfelwurf mit drei Würfeln, die jeweils elf Seiten haben, entspricht der Auswahl von $k=3$ Ziffern aus $n=11$ möglichen. Da die Würfel unabhängig voneinander sind, kann jeder Ziffer mehrmals vorkommen. Und da sie gleichzeitig geworfen werden, gibt es keine Reihenfolge zu beachten. Es handelt sich also wieder um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, diesmal mit $n=11$ und $k=3$. Einsetzen in die Formel ergibt $286$ verschiedene Zahlenkombinationen.

    Die Hexenschülerin verteilt fünf Ringe auf zehn Finger (inkl. Daumen). An jedem Finger haben beliebig viele Ringe Platz, und die Reihenfolge der Ringe ist unerheblich. Die Auswahl der Finger für jeden Ring entspricht demnach auch hier dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Diesmal ist $n=10$ und $k=5$. Aus der Formel erhalten wir $2002$ verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.