Hallo, hier ist unsere 4er-Tafel für die Grundlagen der Kombinatorik. Es geht jetzt um diesen Fall. Das ist ziehen mit zurücklegen ohne Reihenfolge. Oder man kann auch sagen: Verteilen von nicht unterscheidbaren Teilchen auf Boxen mit unbegrenztem Fassungsvermögen. Das rechnet man aus mit n+k-1 über k - das ist das, was hier steht. Und n ist in dem Fall die Anzahl der Dinge, die man ziehen kann und k ist die Anzahl der Züge, um in diesem Beispiel mal zu bleiben. Und das ist auch das Erste, was ich hier jetzt kurz vorstellen möchte. Die Formel übrigens, die Formel kann man Beweisen. Ich kenne den Beweis auch. Ich mache ihn jetzt nicht vor. Läuft über vollständige Induktion und ist ziemlich unanschaulich, also nicht besonders schwer zu verstehen. Ist aber intuitiv nicht zugänglich, also wenn Du eine Möglichkeit findest, diese Formel intuitiv nachvollziehbar zu machen, dann würde mich das sehr interessieren. Ich habe bisher noch keine gefunden und mir ist auch noch keine eingefallen. Also dann, worum geht es hier? Wir haben also Dinge in einem Behälter - meistens oder oft sagt man dazu Urne, ich weiß nicht warum muss man da Urne sagen, wenn es ein Behälter ist? - und da kann man jetzt was ziehen, ja, zum Beispiel die 5. Das kann ich aufschreiben, denn, ich muss das aufschreiben, denn, ich lege sie ja wieder zurück. Und jetzt kann ich die 2 ziehen, zum Beispiel. Und dann kann ich noch die 10 ziehen, oder ich sage mal, ich hätte auch noch mal die 5 ziehen können. Und das ist hier jetzt eben die Besonderheit dabei, wenn ich zurücklege, dann kann ich ja dasselbe was ich gerade gezogen habe noch mal ziehen, d. h. hier können mehrere 5-en auftauchen oder mehrere andere Zahlen. Das, was man dann erhält, ist quasi, nicht ganz, aber man könnte sagen ist eine Menge in der auch Elemente öfter vorkommen können. Das geht in Mengen eigentlich nicht, so sind Mengen definiert, aber so kann man sich das vorstellen, was es ist, oder es sind halt Kombinationen mit Wiederholung, wo aber die Reihenfolge nicht interessant ist. Ja, und wie rechnet man das aus? Man rechnet hier: Wir haben 20 Dinge darin, 20+ Anzahl der Züge, also n+k ist es ja. Anzahl der Züge, das sind 3, -1 kommt dazu, über 3.  Und das ist natürlich dann 22 über 3, und das ist gleich 22 - ich schreibe es einmal jetzt aus hier - 22×21×20/3×2×1, und das habe ich heimlich schon mal vorbereitet, das ist: 1540. Es gibt also 1540 Möglichkeiten hier mit zurücklegen zu ziehen, ohne die Reihenfolge zu beachten. Dann gibt es eine andere Grundsituation, nämlich die mit den Boxen. Also, ich habe hier 6 Boxen und die haben in unserem Rahmen hier jetzt mal unbegrenztes Fassungsvermögen und ich möchte 4 Bälle auf diese Boxen verteilen. Diese 4 Bälle. Und es dürfen in die Boxen beliebig viele Bälle rein. So zum Beispiel, dann kann ich den noch nehmen. Es hätten auch alle hier rein gekonnt. Was erhält man dann? Was sind die Ergebnisse eines solchen Zufallversuchs? Man hat ein 6-Tupel, in dem Fall, und schreibt jetzt auf wie viele Bälle da jeweils drin sind. 1 0 1 2 0 0. Also es hätte jetzt hier auch zum Beispiel eine 4 stehen können und sonst überall Nullen usw. Und das rechnet man halt auch aus. Also die Anzahl dieser Möglichkeiten rechnet man aus, in dem man, 6 Boxen haben wir, also das ist das n, n+k-1, steht da ja. N Anzahl der Boxen 6, K ist die Anzahl der Teilchen, die verteilt werden, in dem Fall Anzahl der Bälle, also 4, -1 über 4. 6+4-1 über 4. Das ist also 9 über 4.. Ich denke das kann jetzt weg, das hast Du gesehen. 9 über 4, das schreibe ich jetzt nicht noch einmal aus, das weißt Du mittlerweile, was das bedeutet. Und es kommt - das habe ich auch heimlich vorbereitet hier - 126 raus. Joah, das ist dieser vierte und letzte Fall von unserer Tafel mit den 4 Möglichkeiten, ich zeige sie noch einmal eben, zum Abschluss. Die ist nicht vollständig, es gibt mehr Möglichkeiten etwas zu zählen, aber wenn man die Fälle hier kennt, dann kommt man schon sehr sehr weit. Man kann sehr viele Laplaceversuche damit modellieren und sehr viele Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Viel Spaß damit, tschüss!