Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze sind essenzielle Rechenregeln, die dir helfen, Wurzeln korrekt zu multiplizieren, zu dividieren, und sogar zu potenzieren. Lerne die Unterschiede zwischen Quadrat- und Kubikwurzeln kennen und entdecke, wie sich Wurzeln in Potenzen umwandeln lassen. Interessiert? Entdecke in unserem Text alles über das Zusammenfassen von Wurzeln und das teilweise Wurzelziehen!

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Inhaltsverzeichnis zum Thema Wurzelgesetze

Grundlagen & Definition der Wurzel
Rechenregeln für Wurzeln – die wichtigsten Wurzelgesetze
Wurzeln und Potenzen – Zusammenhang und Umwandlung
Teilweises Wurzelziehen (Radizieren)
Übungsaufgaben zu den Wurzelgesetzen
Ausblick – das lernst du nach Wurzelgesetze
Zusammenfassung – Wurzelgesetze
Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzelgesetze

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Lerntext zum Thema Wurzelgesetze

Grundlagen & Definition der Wurzel

Wurzeln sind eng mit Potenzen verwandt, sie sind gewissermaßen ihre Umkehrung. Die häufigste Wurzel ist die Quadratwurzel, bei der eine Zahl gesucht wird, die mit sich selbst multipliziert genau den Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) ergibt:

$$\sqrt{16}=4$$

Hier heißt $16$ Radikand und $4$ ist der entsprechende Wurzelwert.

Neben der Quadratwurzel gibt es noch weitere Wurzeln, zum Beispiel die Kubikwurzel $\sqrt[3]{x}$.

Die allgemeine Form einer Wurzel ist: $$\sqrt[n]{a}$$ Dabei ist $n$ der Wurzelexponent und $a$ der Radikand. Man spricht von der „n-ten Wurzel“.

Rechenregeln für Wurzeln – die wichtigsten Wurzelgesetze

Damit du mit Wurzeln sicher rechnen kannst, solltest du diese Wurzelgesetze kennen und verstehen:

Wurzelgesetze – Multiplikation von Wurzeln

Das Produkt zweier Wurzeln kannst du zu einer Wurzel zusammenfassen, wenn beide Wurzeln denselben Exponenten haben:

$$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$$

Beispiel:

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$$

Wurzelgesetze – Division von Wurzeln

Bei der Division zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten darfst du Zähler und Nenner unter eine Wurzel schreiben:

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}},\quad b\neq0$$

Beispiel:

$$\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[4]{\frac{32}{2}}=\sqrt[4]{16}=2$$

Wurzelgesetze – Addition und Subtraktion von Wurzeln

Hier gilt eine wichtige Einschränkung: Du kannst nur Wurzeln addieren oder subtrahieren, die gleichnamig sind (gleicher Radikand und gleicher Wurzelexponent):

$$a\sqrt{x}+b\sqrt{x}=(a+b)\sqrt{x}$$

Beispiel:

$$3\sqrt[3]{7}+2\sqrt[3]{7}=5\sqrt[3]{7}$$

Aber Vorsicht: Unterschiedliche Wurzeln kannst du nicht einfach zusammenfassen:

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$$

Wurzeln und Potenzen – Zusammenhang und Umwandlung

Wurzeln kannst du auch als Potenzen schreiben, wobei der Wurzelexponent dann im Nenner des Exponenten steht:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Beispiele:

$$\sqrt{16}=16^{\frac{1}{2}}=4$$

$$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}=2$$

Teilweises Wurzelziehen (Radizieren)

Beim teilweisen Wurzelziehen ziehst du Faktoren aus dem Radikanden heraus, wenn sie quadratisch (oder höher) vorliegen:

$$\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$$

Beispiel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$$

Übungsaufgaben zu den Wurzelgesetzen

Berechne: $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}$

Fasse zusammen: $4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

Ziehe teilweise die Wurzel aus $\sqrt{32}$

Ausblick – das lernst du nach Wurzelgesetze

Nachdem du nun die Wurzelgesetze beherrschst, kannst du deine Kenntnisse durch weiterführende Themen wie Wurzelfunktionen erweitern. Insbesondere wirst du sehen, wie hilfreich diese Gesetze beim Vereinfachen komplexer mathematischer Ausdrücke sind.

Zusammenfassung – Wurzelgesetze

Wurzelgesetz	Allgemeine Formel	Beispiel	Einschränkungen
Multiplikation	$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$	$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$	gleicher Wurzelexponent
Division	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$	$\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[4]{16}=2$	gleicher Wurzelexponent, $b\neq0$
Addition & Subtraktion	$a\sqrt{x}+b\sqrt{x}=(a+b)\sqrt{x}$	$3\sqrt[3]{7}+2\sqrt[3]{7}=5\sqrt[3]{7}$	gleicher Radikand und Wurzelexponent
Potenzen und Wurzeln	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$	$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}=2$	–
Teilweises Wurzelziehen	$\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$	$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$	Faktoren quadratisch oder höher vorhanden