Wo ist der Euro? 07:16 min
Transkript Wo ist der Euro?
Hallo! Es gibt viele mehr oder weniger mathematische Rätsel und aus manchen kann man tatsächlich auch 'was Vernünftiges lernen, wie zum Beispiel aus diesem hier. Hier kannst du erstens lernen, wie du an solche Art von Problemen herangehen kannst, wie du solche Probleme lösen kannst, und zweitens kannst du lernen, welche Zusammenhänge du besser begründen kannst als andere. Also, das Rätsel lautet: Drei Freunde treffen sich in einer Kneipe. Sie trinken etwas, zahlen zusammen dreißig Euro und gehen. Gemeint ist hier, dass sie jeder zehn Euro bezahlen. Nun merkt der Wirt, dass sie nur 25 Euro hätten zahlen müssen und schickt den Kellner mit fünf Euro hinterher. Der gibt jedem einen Euro und behält den Rest. Jetzt mal unabhängig davon, ob der das einfach darf, ja, wir waren jetzt nicht dabei, vielleicht haben sie sich auch geeignet darauf, dass er die zwei Euro behalten darf, muss ich hier aus pädagogischer Sicht halt nochmal sagen. Also, es geht weiter: 10Euro-1Euro=9Euro, das ist sicher, 3•9Euro=27Euro. Die Freunde haben also zusammen 27 Euro ausgegeben, denn letzten Endes hat ja jeder neun Euro ausgegeben, erst hatten sie zehn ausgegeben, einen Euro haben sie wiedergekriegt, sind also neun Euro für jeden. Zwei Euro hat der Kellner. 27Euro+2Euro=29Euro. Ja, und da ist die Frage, wo ist der dreißigste Euro geblieben? So, wir haben jetzt eine widersprüchliche Situation. Wir wissen, der dreißigste Euro kann nicht einfach weg sein, es sieht aber trotzdem so aus. Wenn du Mathematik lernst, kommst du öfter in solche Situationen. Du siehst einen Zusammenhang, weißt aber, dass dieser Zusammenhang nicht sein kann. Du weißt aber nicht genau, warum. Ja, und was macht man in so einer Situation? Genau werden. Die Sache ganz genau nachvollziehen, Schritt für Schritt nachvollziehen, sich genau überlegen, bis zu welchem Schritt bin ich noch sicher und ab welchem Schritt wird die Sache merkwürdig. Du kannst dir dann auch gerne ein Zeichnung dazu machen oder eine einfache Beispielrechnung ganz genau durchrechnen oder du kannst dir die Sache auch rein plastisch angehen und dir in diesem Fall hier zum Beispiel dreißig Euro nehmen und dann mal gucken, wo der dreißigste Euro dann irgendwann geblieben ist. Das sind dreißig Euro, das sind drei Freunde, also zumindest stellen die drei Freunde dar. Ich weiß, manche finden das jetzt ein bisschen albern vielleicht, aber es ist auf jeden Fall sehr genau. Das ist jetzt unser Wirt, das ist unser Kellner. Und jetzt können wir ganz genau nachvollziehen, wo welcher Euro bleibt. Also, diese drei Freunde haben jeweils zehn Euro. Das kriegen die jetzt hier zugeordnet. So, jeder zehn Euro. Am Ende des Abends geben sie alle ihre Euros dem Wirt und der hat jetzt dreißig. Die drei gehen, haben jetzt keine Euros mehr. Jetzt stellt der Wirt den Fehler fest, gibt dem Kellner fünf Euro und der geht jetzt mit diesen fünf Euro hier hinterher, gibt jedem einen Euro und behält selber zwei. So, hier sind jetzt 25 Euro, die hat der Wirt, zwei Euro hat der Kellner und diese Freunde haben wieder jeweils einen Euro. Jetzt hatten wir hier auf der Tafel fast am Ende die Rechnung 27 Euro plus zwei Euro sind 29 Euro und dann war die Frage, wo ist der dreißigste Euro. Also, wie kommen wir auf die 27, wo sind diese? Die 27 Euro sind alle Euros, die drei gezahlt haben. Die sind es nicht, die haben sie ja noch, gezahlt haben sie also diese Euros, die hier und hier liegen. Das hier, sind 27 Euro und hier sind drei Euro, macht zusammen dreißig Euro. Jetzt stand da aber 27 plus zwei Euro. Das würde also bedeuten, wir nehmen hier diese 27 Euro und addieren zwei Euro dazu, also man sagte dann, zwei Euro hat der Kellner. Aber die zwei Euro hier, die der Kellner hat, sind ja schon bei den 27 Euro dabei. Natürlich, wenn man jetzt zu 27 Euro zwei Euro dazu zählt, da kommen 29 Euro raus. Wenn wir jetzt aber aufsummieren wollten und gucken wollten, wie viele Euros sind denn hier auf dem Tisch, dann haben wir hier 25 Euro, da zwei Euro und da drei Euro, macht zusammen 30. Letzten Endes ist es also so, dass die Frage ganz am Ende, wo ist der dreißigste Euro, einfach unsinnig ist. Dieser Zusammenhang ist gar nicht da, von wegen hier 27 Euro + zwei Euro = 29 Euro. Klar, 27+2=29, hat hier mit der Sachlage aber nichts zu tun und mit den Euros, die hier tatsächlich auf dem Tisch liegen. Und das ist halt so ein Zusammenhang, den man schlecht entkräften kann. Ich sage das deshalb, weil ich von Schülern öfter gefragt werde, könnte das nicht so und so sein, müsste man denn hier nicht eine andere Formel anwenden oder ist das nicht alles ganz anders. Und dann muss ich leider oft sagen, nein, es ist nicht anders, es ist so, wie ich das sage, es ist so, wie es hier ist. Was kann man machen, um das zu klären? Man kann eben nur genau gucken, wie ist denn die Sachlage. Und letzten Endes kann man ja nur etwas begründen, was da ist. Ich kann über die Euros reden, die da sind, ich kann nicht über Euros reden, die jetzt zu diesen 27 Euro im Kopf dazu addiert werden und dann sieht man den Zusammenhang, es müssten dreißig sein, sind aber nur 29, dieser Zusammenhang ist einfach nicht da und ich kann nicht begründen, dass er nicht da ist. Ich kann nur begründen, was da ist, nämlich hier 25, da zwei, da drei. Und das geht eben durch möglichst genaue Rechnung. Also einmal haben wir gesehen, an solche vermeintlichen Zusammenhänge geht man am besten dran, indem man genau wird. Zweitens, einen Zusammenhang zu entkräften, der nicht da ist, ist sehr schwierig. Viel einfacher ist es, Zusammenhänge zu sehen, die tatsächlich da sind und die zu begründen. Viel Spaß damit, tschüss.
Videobeschreibung
In diesem Rätsel geht es um drei Freunde, die in einer Kneipe 30 € bezahlen, einen Wirt, der dem Kellner 5 € gibt und um einen Kellner, der den Freunden jeweils 1 € gibt. Und wenn man hinter nachrechnet, fehlt plötzlich ein Euro. Deshalb findet man dieses Rätsel auch unter "Wo ist der Euro?" Oft haben es mathematische Rätsel an sich, dass man entweder auf den "Trick" kommt oder eben nicht und man in beiden Fällen aber nicht viel gelernt hat. Bei dem hier dargestellten Rätsel ist es anders: Du kannst zum einen lernen, wie du bestimmte mathematische Probleme lösen kannst und zum anderen, welche Zusammenhänge man begründen und welche man schlecht widerlegen kann.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Wo ist der Euro?
Wo ist der Euro? Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wo ist der Euro? kannst du es wiederholen und üben.
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Ergänze das Rätsel „Wo ist der Euro?“
Tipps
Dies ist ein Rätsel, in welchem alles richtig gerechnet zu sein scheint. Und doch fehlt am Ende ein Euro.
Wie viel haben die Freunde gemeinsam bezahlt?
Müssen die $2~€$ des Kellners zu diesen addiert oder davon subtrahiert werden?
Der Euro kann ja nicht wirklich weg sein.
Lösung
Drei Freunde treffen sich in einer Kneipe. Sie trinken etwas, bezahlen zusammen $30~€$ und gehen.
Der Wirt stellt fest, dass die drei $5~€$ zu viel bezahlt haben. Er schickt den Kellner hinter ihnen her. Dieser gibt jedem $1~€$ und behält die übrigen $2~€$.
Jeder der Freunde hat also $10~€-1~€=9~€$ bezahlt. Das macht zusammen $3\cdot 9~€=27~€$. $2~€$ hat der Kellner noch.
Das macht zusammen $27~€+2~€=29~€$.
Wo ist der $30.$ Euro hin?
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Beschreibe, ob der Euro tatsächlich verschwunden ist.
Tipps
Schaue dir auf der einen Seite an, was die Freunde bezahlt haben.
Das muss sich ja beim Wirt und beim Kellner befinden.
Es gilt $3\cdot 9~€=25~€+2~€$.
Der Euro ist nicht wirklich verschwunden.
Lösung
Jeder der drei Freunde hat $10$ Euro. Diese geben sie dem Wirt, sodass dieser $30$ Euro hat. Er stellt fest, dass die Freunde $5$ Euro zu viel bezahlt haben. Diese gibt er dem Kellner, welcher das Geld den Freunden geben soll. Er gibt jedem Freund einen Euro.
Die Freunde haben also jeweils $9$ Euro, insgesamt $27$ Euro bezahlt.
Diese $27$ Euro befinden sich beim Wirt und beim Kellner:
- Der Wirt hat noch die $30-5=25$ Euro und
- der Kellner $2$ Euro.
- $3\cdot 9+2=29$ Euro
- $3\cdot 9=25+2$ rechnen müssen.
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Begründe, dass die Aussage „Zwei Hände haben $11$ Finger“ falsch ist.
Tipps
Du kannst das gerne mal Freunden zeigen und sie fragen, wo der Fehler ist.
Zähle
- Daumen $10$,
- Zeigefinger $9$,
- Mittelfinger $8$,
- Ringfinger $7$ und
- kleiner Finger $6$
- kleiner Finger $7$,
- Ringfinger $8$,
- Mittelfinger $9$,
- Zeigefinger $10$ und
- Daumen $11$.
Das obige Bild zeigt zwei Hände: Zähle die Finger. Du wirst auf $10$ kommen.
Lösung
Zähle
- Daumen $10$,
- Zeigefinger $9$,
- Mittelfinger $8$,
- Ringfinger $7$ und
- kleiner Finger $6$
- kleiner Finger $7$,
- Ringfinger $8$,
- Mittelfinger $9$,
- Zeigefinger $10$ und
- Daumen $11$.
Das Zählen bei der einen Hand, wenn man bereits weiß, dass die andere $5$ Finger hat (und das stimmt!), müsste bei $5+1=6$ beginnen und nicht bei $7$.
Hier kann man erkennen, dass der kleine Finger zweimal gezählt wurde. Wenn man das recht geschickt macht, sind alle erst einmal verblüfft.
Grundsätzlich kann man feststellen: Wenn Rätsel gestellt werden, bei denen ein Ergebnis herauskommt, das nicht stimmen kann, dann wurde an irgendeiner Stelle mathematisch getrickst.
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Ermittle den Fehler im Rechnungsweg.
Tipps
Beachte, dass du den Fehler in der Rechnung wählen sollst.
Wenn man Gleichungen lösen muss, führt man Äquivalenzumformungen durch.
Äquivalenzumformungen sind
- Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
- Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung.
- Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
- Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
Eine Äquivalenzumformung ändert an der Lösbarkeit und insbesondere an den Lösungen einer Gleichung nichts.
Lösung
Gelöst werden soll die Gleichung $2x+3=4x-2+5$.
Hierfür werden Äquivalenzumformungen verwendet:
- Termumformung auf der rechten Seite: $2x+3=4x+3$.
- Subtraktion von $3$ auf beiden Seiten: $2x=4x$.
- Subtraktion von $4x$ auf beiden Seiten: $-2x=0$.
- Division durch $-2$: $x=0$.
Wo ist also der Fehler in der obigen Rechnung?
Man darf nicht durch die Variable teilen, da diese ja $0$ sein könnte, was in diesem Beispiel tatsächlich auch die Lösung ist.
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Schildere, welche Überlegungen und Rechnungen Sinn ergeben.
Tipps
Mache dir diese Aufgabe mit $30$ Eurostücken oder $30$ Kugeln oder ähnlichen Dingen zur Veranschaulichung klar.
Auf der einen Seite sind die Freunde, die Geld ausgegeben haben, und auf der anderen Seite der Wirt und der Kellner, die Geld bekommen haben.
Wenn die $2$ Euro des Kellners zu dem Betrag der Freunde addiert werden, bedeutet dies, dass der Kellner auch dem Wirt etwas bezahlt. Das ist sicher nicht der Fall.
Beachte: Der Euro kann wirklich nicht einfach so verschwinden. Irgendwo in der Rechnung muss ein Fehler sein.
Lösung
Tatsächlich haben die drei Freunde $3\cdot9~€=27~€$ bezahlt. Dieses Geld wandert von den Freunden zu dem Wirt und Kellner.
Wenn man nun die $2$ Euro des Kellners zu den $27$ Euro der Freunde addieren würde, würde dies bedeuten, dass die Freunde $29$ Euro bezahlt haben. Das stimmt allerdings nicht.
Man kann sich das Ganze von der Seite des Wirts und des Kellners anschauen: Diese haben insgesamt $25~€+2~€=27~€$. Wo kommen diese her? Das sind genau die $27~€$, welche die drei Freunde bezahlt haben.
Anstatt die $2~€$ des Kellners zu den $27~€$ der Freunde zu addieren, hätte man sie
- entweder von diesen subtrahieren müssen - $27~€-2~€=25~€$ - dies ist der Betrag, den der Wirt hat - oder
- zu dem Wert des Wirts addieren müssen - $25~€+2~€=27~€$. Dies sind gerade die $27~€$, welche die drei Freunde bezahlt haben.
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Prüfe, ob die Rechnungen korrekt sind.
Tipps
Die Lösbarkeit einer Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen nicht verändert.
Äquivalenzumformungen sind
- Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
- Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung.
- Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
- Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
Das Resultat der Rechnung ist $2=1$ und das ist sicher nicht richtig.
Also muss irgendwo ein Fehler sein.
Lösung
Sei $a=b$, dann gilt
- $a^2=a \cdot b$ und damit
- $a^2-b^2=ab-b^2$.
Da mit einer korrekten Aussage begonnen wurde, muss diese Folgerung richtig sein. Also ist $2=1$. Das würde aber die gesamte Mathematik auf den Kopf stellen.
Hier wurde zum einen durch $a-b$ geteilt. Nun ist allerdings $a=b$ und somit $a-b=0$. Durch $0$ darf niemals geteilt werden.
Am Ende steht auch $2b=b$. Dies ist nur erfüllt für $b=0$. Also darf auch hier nicht durch $b$ geteilt werden.
Es wurde also zweimal falsch gerechnet, das heißt: Es wurden keine Äquivalenzumformungen angewendet.
