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Wahrscheinlichkeit – Satz über Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Wahrscheinlichkeit – Satz über Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Wahrscheinlichkeit – Satz über Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen

Im Video erfährst du, was eine Ergebnismenge ist und siehst auch ein paar Beispiele dazu. Danach wird dir erklärt, was Ereignisse sind, damit du gut vorbereitet den Satz über die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen verstehen kannst: DieWahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Zwar ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch einfach der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge, aber oftmals ist es einfacher, zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses den genannten Satz zu verwenden.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Ist ganz ok

    Von Herr S., vor 6 Monaten
  2. Ganz ok erklärt aber nett

    Von Carl, vor 9 Monaten
  3. gut erklärt

    Von s+s=selma+s, vor 10 Monaten
  4. ganz ok

    Von Luca, vor 11 Monaten
  5. War supi dupi dit Video

    Von Kolja die goile sogge , vor 12 Monaten
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Wahrscheinlichkeit – Satz über Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Satz über Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was eine Ergebnismenge und ein Ereignis ist.

    Tipps

    Ein Zufallsversuch ist dadurch gekennzeichnet, dass der Ausgang nicht vorhersehbar ist.

    Zum Beispiel ist das Werfen mit einem Würfel ein Zufallsversuch:

    Die möglichen Ergebnisse sind die Augenzahlen von $1$ bis $6$.

    Ein mögliches Ereignis wäre beim einmaligen Würfeln „Die Augenzahl ist gerade.“

    Lösung

    Gegeben sei ein Zufallsversuch, zum Beispiel das einmalige Werfen eines Würfels. Die möglichen Ergebnisse sind die Augenzahlen von $1$ bis $6$.

    Ein Ereignis ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.

    Beim Beispiel des Würfelwurfs, wäre „Augenzahl gerade“ ein Ereignis, welches die Elemente $2$, $4$ und $6$ enthält.

    Man sagt, dass ein Ereignis eintritt, wenn ein Ergebnis, welches in dem Ereignis liegt, eintritt.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Augenzahl zu würfeln, beträgt also:

    $\frac16+\frac16+\frac16=\frac36=\frac12$.

  • Gib das Ereignis $E$ und dessen Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    In der Ergebnismenge befinden sich alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören.

    Lösung

    Beim einmaligen Werfen mit einem Würfel und Betrachten der oben liegenden Augenzahl ist die Ergebnismenge gegeben durch

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

    Das Ereignis $E$, eine $2$ oder $3$ zu werfen, beinhaltet die Elemente $2$ oder $3$, daher ist $E=\{2;3\}$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Die Wahrscheinlichkeit von $E$ beträgt also:

    $P(E)=\frac16+\frac16=\frac13$.

  • Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse an.

    Tipps

    Beachte, dass sich zehn Kugeln in der Schale befinden, auch wenn es sich nur um drei Farben handelt.

    Wir gehen davon aus, dass alle Kugeln unterscheidbar sind. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer spezifischen Kugel immer gleich.

    Wenn nur die Ergebnisse $e_1,e_2,\dots ,e_n$ auftreten können, dann gilt für die Einzelwahrscheinlichkeiten:

    $P(e_1)=P(e_2)=\dots =P(e_n)=\frac1n$.

    Lösung

    Wir gehen davon aus, dass alle Kugeln unterscheidbar sind. Damit ist die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer spezifischen Kugel immer gleich:

    $P(1)=P(2)=\ldots =P(9)=P(10)=0,1$.

    Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel fragen, dann wollen wir den Anteil der roten Kugeln an der Gesamtanzahl wissen. Damit gilt:

    $P($rot$)=\frac{2}{10}=0,2$.

    Alternativ kann man auch so argumentieren: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören:

    $P($rot$)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{2}{10}=0,2$.

  • Leite die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses her.

    Tipps

    $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Du musst also die Ergebnismenge und die Menge kennen, welche das Ereignis darstellt.

    Lösung

    Beim zweimaligen Ziehen erhält man Farbenpaare. Alle möglichen Zahlenpaare werden in der Ergebnismenge zusammengefasst:

    $\Omega=\{$(rot|rot);(rot|blau);(blau|rot);(blau|blau)$\}$.

    Es befinden sich $4$ Ergebnisse in $\Omega$.

    Jedes Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Man kann sich also fragen, welche der Ergebnisse aus $\Omega$ das Ereignis $E$ „mindestens eine blaue Kugel“ erfüllen. Wir bestimmen

    $E=\{$(rot|blau);(blau|rot);(blau|blau)$\}$.

    Hierin befinden sich $3$ Ergebnisse.

    Wir wenden die folgende Regel an: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören.

    $P($mindestens eine blaue Kugel$)=\frac14+\frac14+\frac14=\frac34=0,75$.

  • Benenne die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes.

    Tipps

    Nimm dir einen Würfel und wirf diesen. Was kannst du beobachten?

    Kannst du die Augenzahl des nächsten Wurfes vorhersagen?

    Lösung

    Wenn man mit einem Würfel würfelt, handelt es sich um einen Zufallsversuch.

    Die möglichen Ausgänge des Zufallexperiments – man nennt diese auch Ergebnisse – sind die oben liegenden Augenzahlen von $1$ bis $6$.

    Dabei kann es durchaus vorkommen, dass bei mehrmaligem Durchführen dieses Experimentes die Augenzahl $2$ mehrmals oder immer vorkommt. Dies ist jedoch nicht gleichbedeutend damit, dass man annehmen kann, dass die $2$ bei jeder Durchführung des Experimentes als Ergebnis käme.

  • Leite die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse her.

    Tipps

    Schreibe dir alle möglichen Paare auf.

    Beachte, dass zwischen (Kopf|Zahl) und (Zahl|Kopf) unterschieden wird.

    Die Wahrscheinlichkeit für jedes Zahlenpaar wird als gleich groß angenommen.

    Lösung

    Beim zweimaligen Werfen einer Münze handelt es sich um einen Zufallsversuch, da der Ausgang des Versuchs nicht vorhersehbar ist. Die Ergebnismenge lässt sich wie folgt darstellen:

    $\Omega=\{$(Kopf|Kopf);(Kopf|Zahl);(Zahl|Kopf);(Zahl|Zahl)$\}$.

    Wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar gleich groß ist, ergibt sich:

    Zweimal „Kopf“ bedeutet (Kopf|Kopf). Dies ist eines von vier Paaren, also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac14=0,25$.

    Einmal „Kopf“ ist entweder (Kopf|Zahl) oder (Zahl|Kopf). Dies sind zwei von vier Paaren. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac24=0,5$.

    Mindestens eimal „Kopf“ ist durch (Kopf|Kopf), (Kopf|Zahl) oder (Zahl|Kopf) gegeben. Dies sind drei von vier Paaren. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac34=0,75$.

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