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Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln 07:03 min

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Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln

Hallo. Wenn du weißt, was ein Ereignis ist und weißt, was Wahrscheinlichkeit ist, dann können wir uns dazu jetzt mal ein Beispiel angucken. Das hier ist ein Würfel. Damit kann man würfeln. Das Würfeln ist ein Zufallsversuch. Die Ergebnismenge besteht in der Regel aus den Zahlen von eins bis sechs. Wir können uns ein Ereignis vorstellen. Zum Beispiel das Ereignis „es wird eine Primzahl gewürfelt“. Und wir können die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnen. Und dazu habe ich schon mal was vorbereitet. Der Zufallsversuch ist das einmalige Würfeln. Die Ergebnismenge besteht aus den Zahlen von eins bis sechs. Diese geschweiften Klammern hier sind Mengenklammern. Das Ereignis „Primzahl“ entspricht hier Menge {2;3;5}. Und die Wahrscheinlichkeit steht hier. „P“ steht für englisch „probability“. Das liest man „P von Primzahl“. Das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Primzahl“. Und diese Wahrscheinlichkeit ist gleich 3/6. Und das kürzt man natürlich und hat dann hier 1/2 stehen. Das ist so, weil man hier in den Zähler die Anzahl der Ergebnisse in Ereignis „Primzahl“ hinschreibt. Und hier schreibt man die Anzahl aller Ergebnisse hin. Damit berechnet man den Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge. Und das ist die Wahrscheinlichkeit. Wir können uns auch ein anderes Ereignis vorstellen. Zum Beispiel, das Ereignis „2“. Das ist das Ereignis, das nur aus dem Ergebnis „2“ besteht. Ja, das ist kein Problem. Ein Ereignis muss nicht unbedingt aus mehreren Ergebnissen bestehen. Eins reicht auch. Von diesem Ereignis können wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. Und dazu habe ich schon mal was vorbereitet. Der Zufallsversuch ist gleich geblieben, die Ergebnismenge auch. Diese 1 ist die Anzahl der Ergebnisse im Ereignis „2“. Diese 6 ist die Anzahl aller Ergebnisse. Und dieser Bruch gibt den Anteil an, den das Ereignis „2“ an der Ergebnismenge hat. Und das ist die Wahrscheinlichkeit. Mit diesen Informationen kannst du nun fröhlich weiterrechnen und die Aufgaben lösen, die in der Schule gestellt werden. Ich möchte hier aber die Gelegenheit nutzen und die ganze Sache mal kritisch hinterfragen. Wenn du das nicht mitmachen möchtest, ist für dich der Film hier Schluss, aus, Micky Maus. Die kritisch hinterfragende Frage lautet: Woher wissen wir so genau, dass die so einfach ausgerechnete Wahrscheinlichkeit etwas damit zu tun hat, was man normalerweise unter Wahrscheinlichkeit versteht? Also wenn man es ganz genau nimmt, entscheiden wir uns beim Würfeln nicht zufällig für ein Ergebnis, sondern wir entscheiden uns zufällig für einen bestimmten Wurf. Mal wirft man höher, mal weniger hoch, mal dreht man mehr, mal weniger. Dabei können allerkleinste Unterschiede im Werfen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Wenn diese Wahrscheinlichkeitsdefinition irgendetwas damit zu tun haben soll, was wir gefühlsmäßig unter Wahrscheinlichkeit verstehen, dann können wir Folgendes erwarten. Es gibt ja mehrere Wurfmöglichkeiten, die die „2“ zur Folge haben. Es gibt auch mehrere Wurfmöglichkeiten, die die 3 zur Folge haben. Wo also das Ergebnis dann 3 ist. Wir erwarten jetzt, dass es genauso viele Wurfmöglichkeiten mit dem Ergebnis „2“ wie auch mit dem Ergebnis „3“ gibt. Ebenso erwarten wir, dass es genauso viele Wurfmöglichkeiten mit dem Ergebnis „4“ gibt und so weiter. Ob das aber tatsächlich der Fall ist, können wir nicht beweisen. Okay, können wir denn feststellen, ob unsere Wahrscheinlichkeit etwas mit realen Würfeln zu tun hat? Verhalten sich echte Würfel so wie wir das hier ausgerechnet haben? Naja, wir können ja mehrmals würfen und gucken, was passiert. Das sind schon viele Sechsen. Das sind relativ viele Sechsen. So und jetzt ist unsere Wahrscheinlichkeitsdefinition falsch. Nee, der Würfel ist gezinkt. Der ist an der Einer-Seite viel schwerer als an der Sechser-Seite. Und deshalb liegt die sechs so oft oben. Gut, was erwarten wir denn von einem normalen Würfel, wenn wir mehrmals würfeln? Wir erwarten, dass er genauso viele Sechsen würfelt wie er Fünfen würfelt, wie er Vieren würfelt und so weiter. Wir erwarten allerdings auch, dass er das nicht genau macht. Wenn wir zum Beispiel 6000 mal würfeln würden und wir würden genau 1000 mal die sechs haben, genau 1000 mal die fünf haben und genau 1000 mal die vier haben und so weiter – das würde uns schon ein bisschen wundern, oder? Also wir erwarten, dass die relative Häufigkeit für Sechsen, Fünfen, Vieren und so weiter in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegt. Wir erwarten möglicherweise auch, dass die relative Häufigkeit sich bei der Wahrscheinlichkeit einpendelt, wenn man häufiger wirft. Na und was wir da genau erwarten können und was wir nicht erwarten sollten, soll nicht mehr Thema dieses Films sein. Das ist an anderer Stelle schon dargelegt worden. Abschließend kann man sagen, dass wir nicht beweisen können, dass unsere Definition wahr ist. Und wir können auch nicht beweisen, dass diese Rechnung richtig ist. Und wir können nicht beweisen, dass das nicht anders geht und so weiter. Ja, am Verhalten von normalen Würfeln können wir aber sehen, dass Definition und Rechnung sinnvoll sind. Und was das genau heißt, wird uns im weiteren Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung noch beschäftigen. Hier sind wir aber erstmal fertig. Viel Spaß beim damit. Tschüss.

4 Kommentare
  1. :0

    Von Jarne T., vor 9 Monaten
  2. Das ist so spannend :0 Gutes Video :)

    Von Abenaya Sanatharan, vor mehr als einem Jahr
  3. Da bekommt man ja gleich Lust zum lernen! ;)

    Von Ahlefeldt, vor mehr als 3 Jahren
  4. Gut erklärt

    Von Y Oyungerel, vor mehr als 4 Jahren

Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was eine Wahrscheinlichkeit ist.

    Tipps

    Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs werden zusammengefasst zu der Ergebnismenge.

    In einer Gruppe von $10$ Personen befinden sich $4$, die die Lieblingsfarbe rot haben. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person die Lieblingsfarbe rot hat, wenn man diese zufällig auswählt, ?

    Richtig: Die Wahrscheinlichkeit ist $\frac4{10}=0,4=40\%$.

    Es ist eine Aussage zur Wahrscheinlichkeit richtig und eine zu der Erklärung zu einem Ereignis.

    Lösung

    Wie ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erklärt und was ist ein Ereignis?

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.

  • Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine Primzahl zu würfeln.

    Tipps

    Der Anteil eines Ereignisses an der Ergebnismenge ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.

    In der Ergebnismenge $\Omega$ werden alle möglichen Ergebnisse zusammengefasst.

    Wenn die Ergebnismenge endlich ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

    Dabei gibt der Betrag einer Menge die Anzahl aller Elemente in der Menge an.

    Lösung

    Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsversuch, da das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.

    Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, also die Menge der Augenzahlen von $1$ bis $6$:

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

    Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu werfen? Hierfür muss man sich zunächst klarmachen, wie diese Menge aussieht:

    Primzahl$=\{2;3;5\}$.

    Die Anzahl der Elemente in Primzahl$=\{2;3;5\}$ ist $3$, in $\Omega$ befinden sich $6$ Elemente. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Primzahl als Quotient:

    $P($Primzahl$)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac36=\frac12=0,5=50~\%$.

    Der Buchstabe „P“ steht für den englischen Begriff für Wahrscheinlichkeit, „probability“.

  • Ergänze die Erklärung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Beachte, dass Ereignisse Mengen sind, und zwar Teilmengen der Ergebnismenge.

    Diese Menge kann

    • auch leer sein oder
    • nur ein Element enthalten oder
    • die Ergebnismenge selbst sein.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich als Bruch darstellen.

    Lösung

    Wenn die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\{2\}$ berechnet werden soll, wird

    • die Ergebnismenge $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$
    • sowie das Ereignis $\{2\}$
    angegeben.

    Es befinden sich $6$ Elemente in der Menge $\Omega$ sowie ein Element in der Ereignismenge.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge, also

    $P(\{2\})=\frac16$.

    Dabei steht im Zähler die Anzahl der Elemente des Ereignisses $\left( 1 \right)$ und im Nenner die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge $\left( 6 \right)$.

    Diese Berechnung ist allerdings nur möglich, wenn die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge endlich ist.

  • Leite die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses her.

    Tipps

    Welche Zahlenpaare erfüllen, dass die Augensumme größer oder gleich $11$ ist?

    $12$ ist die höchste Summe, welche man durch zwei Würfelwürfe erreichen kann. Dazu müssen zwei Sechsen gewürfelt werden.

    Wenn du gekürzt hast, steht im Zähler eine $1$.

    Da die Ergebnismenge endlich ist, kannst du die Formel nach Laplace verwenden:

    $\large{P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}}$.

    In der Ergebnismenge befinden sich $36$ Elemente.

    Lösung

    Beim zweimaligen Werfen eines Würfels sind die Ergebnisse Paare von Augenzahlen. Somit ist die Ergebnismenge:

    $\Omega=\{(1|1);...;(1|6);...;(6|1);...;(6|6)\}$.

    Es gibt $6^2=36$ solcher Paare.

    Die Summe $S$ der Augenzahlen erfüllt $2\le S\le12$.

    Zu dem Ereignis $E$ gehören also alle Zahlenpaare, deren Summe entweder $11$ oder $12$ ist. Welche sind das?

    $E=\{(5|6);(6|5);(6|6)\}$.

    Die Anzahl der Elemente in $E$ ist $3$.

    Da die Ergebnismenge endlich ist, kann man die Formel nach Laplace verwenden:

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

    Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit von $E$:

    $P(E)=\frac3{36}=\frac1{12}$.

    Es ist bei dieser Aufgabe sehr wichtig, die Ergebnismenge $\Omega$ sowie das Ereignis $E$ richtig zu definieren. Ein Fehler könnte passieren, wenn du als Ergebnismenge $\{2;...;12\}$ (hierin befinden sich $11$ Elemente) verwendest und für das Ereignis $\{11;12\}$. Dann ergäbe sich die falsche Wahrscheinlichkeit $\frac2{11}$. Da wir die Summe $11$ aber durch zwei Paare erhalten, nämlich $(5|6)$ sowie $(6|5)$, und die Summe $12$ durch $(6|6)$, befinden sich in dem Ereignis $3$ Elemente. Da $\Omega = 36$ ist, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit also durch $P(E)=\frac3{36}=\frac1{12}$.

  • Stelle das Ereignis als Menge dar und berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    Die Ergebnismenge beinhaltet alle möglichen Ergebnisse.

    Mit $|E|$ wird die Mächtigkeit einer Menge bezeichnet, also die Anzahl der Elemente in dieser Menge.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei endlicher Ergebnismenge lässt sich berechnen als

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

    Lösung

    Wie sieht die Ergebnismenge beim Werfen eines Tetraeders aus?

    $\Omega=\{1;2,3;4\}$.

    Die Anzahl der Elemente in $\Omega$ ist $|\Omega|=4$.

    Das Ereignis $E$ (Augenzahl gerade) lässt sich wie folgt als Menge schreiben:

    $E=\{2;4\}$.

    Die Anzahl der Elemente in $E$ ist $|E|=2$.

    Somit ist $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|} =\frac24=\frac12$.

  • Überprüfe die folgenden Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Menge, in welcher sich Ergebnisse befinden.

    Es sind drei Aussagen korrekt.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Was ist ein Ereignis?

    Ein Ereignis ist eine Menge, in welcher sich Ergebnisse befinden.

    Da alle Ergebnisse, also die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes, sich in der Ergebnismenge $\Omega$ befinden, ist jedes Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge:

    $E\subseteq \Omega$.

    Dabei kann auch gelten:

    • $E=\emptyset$, also die leere Menge, oder
    • $E=\Omega$.
    Damit ergibt sich, dass die kleinstmögliche Wahrscheinlichkeit $P(\emptyset)=\frac{|\emptyset|}{|\Omega|}=0$ ist, da sich in der leeren Menge kein Element befindet. Die Bedeutung der leeren Menge in der Wahrscheinlichkeitsrechnung könnte man so verstehen: Es passiert nichts. Und wie wahrscheinlich ist es, dass beispielsweise beim Würfelwurf nichts passiert? Dies ist nicht möglich, daher gilt $P(\emptyset)=0$.

    Analog ist die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $P(\Omega)=\frac{|\Omega|}{|\Omega|}=1$.

    Diese beiden Angaben dienen der Veranschaulichung. Sie sind nur möglich, wenn die Ergebnismenge endlich ist. Die Aussage gilt allerdings auch sonst.