Kegel: Volumen und Oberfläche – Übungen

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche. Wir berechnen daher zuerst den Flächeninhalt dieses Kreises:
$$G = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 16\,\text{cm}^2$$
Nun wenden wir die Volumenformel für den Kegel an:
$$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 9\,\text{cm} = 48\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 150{,}80\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $150{,}80\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Zuerst berechnen wir die Grundfläche des Kegels, also den Kreis unten:
$$G = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 36\,\text{cm}^2$$
Dann nutzen wir die Volumenformel:
$$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 120\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 376{,}99\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $376{,}99\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Also:
$$G = \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 6{,}25\,\text{cm}^2$$
Dann berechnen wir das Volumen mit:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 25\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 78{,}54\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $78{,}54\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Zunächst bestimmen wir die Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (7\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 49\,\text{cm}^2$$
Dann berechnen wir das Volumen des Kegels:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 49\,\text{cm}^2 \cdot 14\,\text{cm} = 228\frac{2}{3}\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 718{,}87\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $718{,}87\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Grundfläche berechnen:
$$G = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 9\,\text{cm}^2$$
Dann das Volumen:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} = 15\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 47{,}12\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $47{,}12\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Berechnung der Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 25\,\text{cm}^2$$
Volumen:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 125\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 392{,}70\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $392{,}70\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Berechnung der Kreisfläche:
$$G = \pi \cdot (8\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 64\,\text{cm}^2$$
Dann:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 426\frac{2}{3}\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 1340{,}41\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $1340{,}41\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Kreisfläche berechnen:
$$G = \pi \cdot (1{,}2\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 1{,}44\,\text{cm}^2$$
Dann das Volumen:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}44\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} = 1{,}92\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 6{,}03\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt $6{,}03\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Berechne zuerst die Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 100\,\text{cm}^2$$
Dann folgt das Volumen:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 100\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 400\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 1256{,}64\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $1256{,}64\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Volumen $V$

Rechenweg:
Berechne die Fläche der Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (3{,}6\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 12{,}96\,\text{cm}^2$$
Dann das Volumen:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12{,}96\,\text{cm}^2 \cdot 7\,\text{cm} = 30{,}24\pi\,\text{cm}^3$$ $$V \approx 95{,}00\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $95{,}00\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer Mantelfläche in Form eines Kreisausschnitts.
Wir berechnen daher zuerst die Grundfläche mit der bekannten Formel für einen Kreis:
$$G = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 16\,\text{cm}^2$$

Die Mantelfläche ergibt sich aus dem Produkt von Radius und Mantellinie:
$$M = \pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 24\pi\,\text{cm}^2$$

Die gesamte Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und Mantelfläche:
$$O = G + M = 16\pi\,\text{cm}^2 + 24\pi\,\text{cm}^2 = 40\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 125{,}66\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $125{,}66\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Da die Oberfläche aus Grund- und Mantelfläche besteht, beginnen wir mit der Berechnung der Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 25\,\text{cm}^2$$

Die Mantelfläche entspricht einem Kreisausschnitt mit Bogenlänge gleich dem Umfang der Grundfläche:
$$M = \pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\pi\,\text{cm}^2$$

Addiere beide Flächen, um die gesamte Oberfläche zu erhalten:
$$O = 25\pi\,\text{cm}^2 + 40\pi\,\text{cm}^2 = 65\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 204{,}20\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $204{,}20\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Berechne zunächst die Fläche der runden Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 9\,\text{cm}^2$$

Berechne nun die Mantelfläche als Kreisausschnitt mit Radius $s$:
$$M = \pi \cdot 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 15\pi\,\text{cm}^2$$

Addiere beide Flächen für die Gesamtoberfläche:
$$O = 9\pi\,\text{cm}^2 + 15\pi\,\text{cm}^2 = 24\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 75{,}40\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $75{,}40\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Da die Oberfläche aus Grund- und Mantelfläche besteht, beginnen wir mit dem Kreis unten am Kegel:
$$G = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 36\,\text{cm}^2$$

Die Mantelfläche ergibt sich aus dem Umfang des Kreisbogens der Fläche außen:
$$M = \pi \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 60\pi\,\text{cm}^2$$

Addieren ergibt die Oberfläche:
$$O = 36\pi\,\text{cm}^2 + 60\pi\,\text{cm}^2 = 96\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 301{,}59\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $301{,}59\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Wir starten mit der Kreisfläche unten am Kegel:
$$G = \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 6{,}25\,\text{cm}^2$$

Dann die Mantelfläche, die ausgerollt ein Kreisausschnitt ist:
$$M = \pi \cdot 2{,}5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 10\pi\,\text{cm}^2$$

Gesamte Oberfläche:
$$O = 6{,}25\pi\,\text{cm}^2 + 10\pi\,\text{cm}^2 = 16{,}25\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 51{,}05\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $51{,}05\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Zuerst berechnen wir die Grundfläche unten:
$$G = \pi \cdot (7\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 49\,\text{cm}^2$$

Dann folgt die Mantelfläche, also der „seitliche“ Teil des Kegels:
$$M = \pi \cdot 7\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 84\pi\,\text{cm}^2$$

Beide Flächen zusammen:
$$O = 49\pi\,\text{cm}^2 + 84\pi\,\text{cm}^2 = 133\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 417{,}78\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $417{,}78\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Berechne zunächst die runde Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (3{,}6\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 12{,}96\,\text{cm}^2$$

Dann berechne die Mantelfläche mit Radius und Mantellinie:
$$M = \pi \cdot 3{,}6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 21{,}6\pi\,\text{cm}^2$$

Oberfläche:
$$O = 12{,}96\pi + 21{,}6\pi = 34{,}56\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 108{,}54\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $108{,}54\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Berechne zuerst die Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 100\,\text{cm}^2$$

Nun die Mantelfläche (ausgerollter Mantel des Kegels):
$$M = \pi \cdot 10\,\text{cm} \cdot 14\,\text{cm} = 140\pi\,\text{cm}^2$$

Dann ergibt sich:
$$O = 100\pi + 140\pi = 240\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 753{,}98\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $753{,}98\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Die runde Grundfläche berechnen wir mit:
$$G = \pi \cdot (1{,}5\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 2{,}25\,\text{cm}^2$$

Die seitliche Mantelfläche ergibt sich zu:
$$M = \pi \cdot 1{,}5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 4{,}5\pi\,\text{cm}^2$$

Zusammen ergibt sich die Oberfläche:
$$O = 2{,}25\pi + 4{,}5\pi = 6{,}75\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 21{,}21\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $21{,}21\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche $O$

Rechenweg:
Zuerst berechnen wir den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche:
$$G = \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 81\,\text{cm}^2$$

Dann die Mantelfläche als ausgerollten Bogen:
$$M = \pi \cdot 9\,\text{cm} \cdot 11\,\text{cm} = 99\pi\,\text{cm}^2$$

Insgesamt ergibt sich:
$$O = 81\pi + 99\pi = 180\pi\,\text{cm}^2$$ $$O \approx 565{,}49\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Oberfläche beträgt etwa $565{,}49\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Volumen der Schultüte

Gegeben:
Höhe: $h = 40\,\text{cm}$
Radius der Grundfläche: $r = 9\,\text{cm}$

Rechenweg:
Die Schultüte ist ein Kegel. Das Volumen eines Kegels berechnet sich mit
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$$ Setze die Werte ein:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 \cdot 40\,\text{cm} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81\,\text{cm}^2 \cdot 40\,\text{cm} = 1080\pi\,\text{cm}^3$$
$$V = 1080\pi\,\text{cm}^3 \approx 3392{,}92\,\text{cm}^3$$

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $3392{,}92\,\text{cm}^3$.

Gesucht: Mantelfläche der Schultüte

Rechenweg:
Die Mantelfläche eines Kegels berechnet sich mit
$$M = \pi \cdot r \cdot s$$ Dazu benötigen wir die Mantellinie $s$. Da $r$ und $h$ gegeben sind, berechnen wir $s$ mit dem Satz des Pythagoras:
$$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41\,\text{cm}$$

Jetzt berechnen wir die Mantelfläche:
$$M = \pi \cdot 9\,\text{cm} \cdot 41\,\text{cm} = 369\pi\,\text{cm}^2 \approx 1159{,}73\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die Mantelfläche beträgt etwa $1159{,}73\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Oberfläche der beklebten Schultüte (Mantel + Boden)

Rechenweg:
Zur Mantelfläche $M$ kommt die Grundfläche $G$ hinzu. Die Grundfläche ist ein Kreis mit
$$G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 = \pi \cdot 81\,\text{cm}^2 = 81\pi\,\text{cm}^2$$

Gesamte Oberfläche:
$$O = M + G = 369\pi\,\text{cm}^2 + 81\pi\,\text{cm}^2 = 450\pi\,\text{cm}^2 \approx 1413{,}72\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Die gesamte Oberfläche beträgt etwa $1413{,}72\,\text{cm}^2$.

Gesucht: Anzahl der Süßigkeiten, wenn eine $15\,\text{cm}^3$ Volumen hat

Rechenweg:
Das Volumen der Schultüte beträgt ca. $3392{,}92\,\text{cm}^3$.
Jede Süßigkeit hat $15\,\text{cm}^3$ Volumen.

Teile das Gesamtvolumen durch das Volumen einer Süßigkeit:
$$n = \frac{3392{,}92\,\text{cm}^3}{15\,\text{cm}^3} \approx 226{,}20$$

Man kann natürlich keine halbe Süßigkeit einfüllen, also passen höchstens 226 Stück hinein.

Lösung:
Es passen etwa $226$ Süßigkeiten in die Schultüte.

Gesucht: Volumen des Bechers in $\text{ml}$

Die Becher sind kegelförmig. Das Volumen eines Kegels berechnet sich mit der Formel
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$$ Dabei steht $r$ für den Radius der Grundfläche und $h$ für die senkrechte Höhe des Kegels. In diesem Fall ist $r = 4{,}5\,\text{cm}$ und $h = 12\,\text{cm}$.

Setzen wir die Werte ein:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 20{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = \frac{243}{3}\pi\,\text{cm}^3 = 81\pi\,\text{cm}^3$$ Das ergibt ungefähr:
$$V \approx 254{,}47\,\text{cm}^3$$

Da $1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{m}\ell$ gilt, entspricht dieses Volumen auch $254{,}47\,\text{m}\ell$.

Lösung:
Das Volumen beträgt etwa $254{,}47\,\text{m}\ell$.

Gesucht: Benötigte Pappe für einen Becher in $\text{cm}^2$

Ein solcher Becher besteht in unserem Fall nur aus der Mantelfläche. Die Mantelfläche ist ein Kreisausschnitt, der sich berechnet mit
$$M = \pi \cdot r \cdot s$$ Dabei ist $s$ die Mantellinie, die in dieser Aufgabe gleich der Höhe ist, also $s = 12\,\text{cm}$. Der Radius beträgt $r = 4{,}5\,\text{cm}$.

Setzen wir ein:
$$M = \pi \cdot 4{,}5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 54\pi\,\text{cm}^2 \approx 169{,}65\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Ein Becher benötigt etwa $169{,}65\,\text{cm}^2$ Pappe.

Gesucht: Gesamtmenge an Pappe für $5000$ Becher in $\text{m}^2$

Die Fläche für einen Becher beträgt etwa $169{,}65\,\text{cm}^2$. Für $5000$ Becher multiplizieren wir:
$$A_\text{gesamt} = 5000 \cdot 169{,}65\,\text{cm}^2 = 848\,230\,\text{cm}^2$$

Nun müssen wir $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umrechnen.
Da $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$ ist, ergibt sich:
$$1\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10\,000\,\text{cm}^2$$
Wir teilen also durch $10\,000$:
$$A_\text{gesamt} = \frac{848\,230}{10\,000}\,\text{m}^2 = 84{,}82\,\text{m}^2$$

Lösung:
Für $5000$ Becher werden insgesamt etwa $84{,}82\,\text{m}^2$ Pappe benötigt.

Gesucht: Volumen des Blumentopfes in $\ell$

Der Blumentopf ist ein Kegelstumpf. Wir berechnen sein Volumen, indem wir vom Volumen eines großen Kegels das Volumen eines kleineren Kegels (der abgeschnittenen Spitze) abziehen.

Gegeben sind:

• Großer Kegel: Radius $R = 9\,\text{cm}$, Höhe $H = 18\,\text{cm}$
• Kleiner Kegel: Radius $r = 3\,\text{cm}$, Höhe $h_k = 6\,\text{cm}$
• Kegelstumpf: Höhe $h = 12\,\text{cm}$

Volumen des großen Kegels:
$$V_\text{groß} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 \cdot 18\,\text{cm} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81\,\text{cm}^2 \cdot 18\,\text{cm}$$ $$V_\text{groß} = \pi \cdot 486\,\text{cm}^3 \approx 1526{,}81\,\text{cm}^3$$

Volumen des kleinen Kegels (Spitze):
$$V_\text{klein} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_k = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 6\,\text{cm} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 6\,\text{cm}$$
$$V_\text{klein} = \pi \cdot 18\,\text{cm}^3 \approx 56{,}55\,\text{cm}^3$$

Volumen des Kegelstumpfs:
$$V = V_\text{groß} - V_\text{klein} = 1526{,}81\,\text{cm}^3 - 56{,}55\,\text{cm}^3 = 1470{,}26\,\text{cm}^3$$

Da $1000\,\text{cm}^3 = 1\,\ell$, ergibt sich:
$$V \approx 1{,}47\,\ell$$

Lösung:
In den Blumentopf passen etwa $1{,}47\,\ell$ Blumenerde.

Gesucht: Anzahl der befüllbaren Töpfe mit $60\,\ell$ Blumenerde

Ein Topf fasst etwa $1{,}47\,\ell$. Um die mögliche Anzahl vollständig befüllbarer Töpfe zu berechnen, teilen wir:
$$n = \frac{60\,\ell}{1{,}47\,\ell} \approx 40{,}82$$

Da nur ganze Töpfe befüllt werden können, ergibt sich:

Lösung:
Mit $60\,\ell$ Blumenerde lassen sich vollständig $40$ Blumentöpfe befüllen.