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Volumen von Kegeln – Übung

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Mathe-Team
Volumen von Kegeln – Übung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Volumen von Kegeln – Übung

Nicht jede Person ist dazu fähig, das Volumen eines Kegels zu berechnen. Das muss auch der Zementwerksleiter in diesem Video einsehen. Wir kommen ihm deshalb zur Hilfe und werden für ihn die notwendigen Berechnungen durchführen. Dabei werde ich dir alles Grundlegende zur Volumenberechnung von Kegeln erklären. Im Video werden wir uns zuerst das Problem des Zementwerkleiters anhören, dann werde ich dir die Formel zur Berechnung des Kegelvolumens vorstellen und mit dir gemeinsam Rechnungen dazu durchführen. Viel Spaß dabei!

Transkript Volumen von Kegeln – Übung

Hallo. In diesem Video geht es um die Volumenberechnung eines Kegels. Und zwar um einen Kegel, wie er im Alltag öfter auftritt: Einen Sandhaufen. Im Alltag begegnen wir oft geometrischen Körpern. Quader dürften die Ranglisten anführen. Man denke nur an Häuser, Schachteln, Pakete, Kisten und so weiter. Kegel sind seltener, aber auch vorhanden. Schultüten, Eiswaffeln, alte Turmdächer, Sektgläser, Bojen. Alles Körper, mit Kegelform. Und eben Sandhaufen, um die es in diesem Video geht. Wir werden zunächst das Problem skizzieren, bei dem der Sandhaufen eine Rolle spielt. Dann werden wir die Formel zur Volumenberechnung eines Kegels wiederholen, um sie schließlich auf unsere Aufgabe anzuwenden. In diesem Video geht es um Sandhaufen, wie sie zum Beispiel in einem Zementwerk mittels Förderbändern aufgeschüttet werden, denn Sand ist eine der Zementzutaten. Eigentlich sollte man von Sandbergen sprechen, so hoch wie die sind. Damit der Leiter des Zementwerks immer weiß, ob sein Sandvorrat groß genug ist, muss er irgendwie das Volumen der Sandberge berechnen. Nur wie? Hier hilft ihm die Geometrie. Denn solche Sandberge haben in etwa die Form eines Kreiskegels. Es gibt keine perfekten, geometrischen Körper in der Natur, aber der Kreiskegel ist eine gute Näherung. Mit der Formel zur Berechnung des Volumens eines Kreiskegels, kann der Leiter des Zementwerks also seinen Sandvorrat berechnen. Wir helfen ihm heute dabei. Das ist unsere erste Aufgabe, denn wir sollen ihm auch bei einem weiteren Problem helfen. Für einen Auftrag braucht er eine bestimmte Menge an Sand. Dieser wird von einem Bagger dem Berg entnommen, und zwar von der Spitze weg. Wir sollen für ihn herausfinden, wie tief er baggern darf, um nicht zu viel Sand abzutragen. Wenn wir hier in diesem Video vom Kegel sprechen, dann meinen wir den geraden Kreiskegel, dessen Grundfläche ein Kreis ist und dessen Achse senkrecht dazu steht. Wir wissen, dass das Volumen eines Kegels nur von der Höhe und der Grundfläche abhängt. V = ⅓ * G * h. Der Flächeninhalt ist wiederum durch den Durchmesser oder den Radius festgelegt. G = π * r². Unsere Formel lautet daher V = ⅓ * π * r² * h. Jetzt können wir die Aufgabe berechnen. Gegeben ist also ein kegelförmiger Sandhaufen. Der Leiter des Zementwerks konnte folgende Werte messen: Den Durchmesser des Sandbergs mit 14 Meter und dessen Höhe mit sechs Meter. Damit ist das Volumen V = ⅓ * π * (7 m)² * 6 m, da der Radius ja der halbe Durchmesser ist. Ausquadriert erhalten wir V = ⅓ * π * 49 m² * 6 m = 1/3 * π * 294 m³. Und das sind gerundet 308 m³. Genauer müssen wir es nicht wissen. Der Sandhaufen enthält also 308 m³ Sand. Damit wäre dem Leiter des Zementwerks schon einmal geholfen. Er weiß jetzt, wie groß sein Sandvorrat ist. Nun soll der Bagger 30 m³ von der Spitze wegbaggern, sodass ein Kegelstumpf übrig bleibt. Wie tief darf er baggern, um nicht zu viel oder auch zu wenig abzutragen? Gesucht ist also jetzt die Höhe hB des weggebaggerten Kegels, mit dem Volumen VB = 30 m³. Wir stellen deshalb die Volumenformel VB = ⅓ * π * rB² * hB, nach dieser Höhe um, indem wir beide Seiten der Gleichung durch 1/3 * π * rB² teilen wir erhalten hB = (3 * VB) / (π * rB²), wobei rB der Radius des weggebaggerten Kegels ist. Doch wie groß ist rB? Betrachten wir den Kegel von der Seite, dann ist, wegen des zweiten Strahlensatzes, das Verhältnis aus r und h gleich dem Verhältnis aus rB und hB. Wir erhalten die Gleichung rB / hB = r / h. Also ist der Radius des Kreiskegels, der weggebaggert werden soll rB = (hB * r) / h. Das setzen wir jetzt in die Formel für rB ein und erhalten hB = (3 * VB) / (π * ((hB * r) / h)²) = (3 * VB) / (π * ((hB² * r) / h)). Indem wir den Bruch mit h² erweitern, vereinfachen wir die Formel zu hB = (3 * VB * h²) / (π * hB² * r²). Jetzt bringen wir noch hB auf eine Seite, indem wir mit hB² multiplizieren. hB³ = (3 * VB * h²) / (π * r²). Bevor wir die dritte Wurzel ziehen, setzen wir die Zahlen ein. hB³ = (3 * 30 m³ * 36 m²) / (π * 49 m²) = 3240 m5 / π * 49 m² = 21,05 m³. Nun noch die dritte Wurzel gezogen und wir erhalten hB = 2,76 m, also etwa 2,80m. Genauer kann der Bagger sicher nicht baggern. Wir fassen die Lösung der Aufgabe nochmal zusammen: A, das Volumen des gesamten Sandberges beträgt rund 308 m³. B, will der Bagger 30 m³ entnehmen, muss er etwa 2,80m von der Spitze wegbaggern. Damit haben wir beide Probleme des Zementwerkleiters lösen können und ihm das richtige Werkzeug zur Hand gegeben, um beim nächsten Mal selbst diese Berechnungen durchzuführen.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. @Gebrekidanketema: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  2. ich check das nicht

    Von Gebrekidanketema, vor etwa 4 Jahren
  3. @Bschmidtjaeger: Was ist in deiner Aufgabe der Winkel alpha? Ist es der eingeschlossene Winkel zwischen dem Radius r und der Seitenlinie s? Wenn ja, dann ist eine Brechnung nicht möglich, da der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt. Der Winkle zwischen der Höhe h und dem Radius r beträgt 90° (rechter Winkel). 90°+100°=190°.
    Also kann es kein rechtwinkliges Dreieck sein und somit kein gerader Kegel.
    Solltest du noch Fragen haben, kannst du dich gerne an der Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17 und 19 Uhr für dich da ist.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  4. wie müsste ich rechnen wenn
    s=15cm und alpha=100grad

    Von Bschmidtjaeger, vor etwa 4 Jahren
  5. @Nilsplathe: Wenn du den Winkel alpha zwischen der Mantel- und Grundfläche gegeben hast, dann gilt: tan(alpha)=h/r.
    Angenommen, dass du den Winkel alpha und die Höhe h kennst, dann kannst du mit der Formel zunächst den Radius r berechnen. Mit der Formel V=1/3*pi*r²*h kannst du dann wieder das Volumen berechnen. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 5 Jahren
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Volumen von Kegeln – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Kegeln – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die in der Skizze gesuchten Angaben im Kegel.

    Tipps

    Überlege, welche der Begriffe du bereits von Kreisen oder Dreiecken kennst.

    Welche Größe muss der gesuchte Winkel in einem geraden Kreiskegel immer haben?

    Lösung

    Die Grundfläche des Kegels ist kreisförmig und bezeichnet eine bestimmte Begrenzungsfläche. Im Regelfall findest du in einer Zeichnung die Grundfläche von Körpern stets unten, also die Fläche, auf der die Figur steht.

    Da die Grundfläche ein Kreis ist, bezeichnet man die Strecke vom Kreis-Mittelpunkt zur Kreislinie als den Radius $r$.

    Die vom Mittelpunkt zur Kegelspitze führende Strecke bezeichnet man als die Höhe $h$. Sie gibt an, wie hoch der Kegel insgesamt ist.

    Die Höhe des geraden Kreiskegels steht immer senkrecht zur Grundfläche, daher ist der gesuchte Winkel ein rechter Winkel, also $90°$ groß.

  • Berechne die gesuchte Höhe.

    Tipps

    Welche Größe ist gesucht?

    Betrachte eine Seite des Querschnitts des gesamten Kegels, um $r_{b}$ zu berechnen.

    Lösung

    Wir schauen uns den Lösungsweg ganz ausführlich an. Um zu bestimmen, wie tief gebaggert werden darf, müssen wir die Höhe des entfernten (blauen) Kegels berechnen. Also stellen wir als Erstes die Volumenformel des entfernten Kegels nach der gesuchten Höhe $h_{b}$ um.

    $ \begin{align*} V_{b} &=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{b}^{2}\cdot h_{b} ~~~~~ |:\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{b}^{2} \\ h_{b} &=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot r_{b}^{2}} \end{align*} $

    Doch wie groß ist $r_{b}$?

    Wir ersetzen den Radius $r_{b}$ des ausgehobenen Kegels durch die Betrachtung des Querschnitts vom gesamten Kegel (siehe Bild):

    Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis von $r$ zu $h$ dem Verhältnis von $r_{b}$ zu $h_{b}$ entspricht. Also können wir folgende Gleichung nach $r_{b}$ umstellen:

    $ \begin{align*} \frac{r_{b}}{h_{b}}&=\frac{r}{h} &|& \cdot h_{b} \\ r_{b}&=\frac{r}{h}\cdot h_{b} \end{align*} $

    $r_{b}=\frac{r}{h}\cdot h_{b}$

    Dies setzen wir nun für $r_{b}$ in die Formel

    $h_{b}=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot r_{b}^{2}}$

    ein und erhalten durch weitere Umformungen:

    $ \begin{align*} h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot (\frac{r}{h}\cdot h_{b})^{2}} \\ h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot \frac{r^{2}}{h^{2}}\cdot h_{b}^{2}} \\ h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}\cdot h^{2}}{\pi\cdot r^{2}\cdot h_{b}^{2}} &|& \cdot h_{b}^{2} \\ h_{b}^{3}&=\frac{3\cdot V_{b}\cdot h^{2}}{\pi\cdot r^{2}} \end{align*} $

    Bevor wir die dritte Wurzel ziehen, setzen wir die Zahlen ein.

    $ \begin{align*} h_{b}^{3}&=\frac{3\cdot 30~m^{3}\cdot 36~m^{2}}{\pi\cdot 49~m^{2}} \\ h_{b}^{3}&=\frac{3240~m^{5}}{\pi\cdot 49~m^{2}} \\ h_{b}^{3} &\approx 21,05~m^{3} &|& \sqrt[3]{~~~} \\ h_{b} &\approx 2,76~m \approx 2,80~m \end{align*} $

    Antwort: Will der Bagger $30~m^{3}$ Sand entnehmen, muss er etwa $2,80~m$ von der Spitze entfernen.

  • Berechne das Volumen des Sandhaufens.

    Tipps

    Welche Angaben benötigst du, um das Volumen des Sandhaufens zu berechnen?

    Der Durchmesser $d$ ist immer doppelt so lang wie der Radius $r$.

    Achte auf die Maßeinheiten.

    Lösung

    Wir berechnen das Volumen des Sandhaufens der Firma Zemti und vergleichen diesen dann mit dem Volumen des bereits berechneten Sandhaufens $V_{1}=308~m^{3}$.

    Der Durchmesser des Sandhaufens beträgt $d_{2}=10~m$. Halbieren wir diesen, so erhalten wir den Radius $r_{2} = 5~m$.

    Nun setzen wir die Höhe $h_{2} = 10~m$ und den Radius $r_{2} = 5~m$ in die Formel zur Berechnung von Volumina von Kegeln ein und berechnen so das Volumen.

    $ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(5~m)^{2}\cdot10~m=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25~m^{2}\cdot10~m=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot250~m^{3}\approx262~m^{3} $

    Der Sandhaufen vom Zementwerk Zemti enthält $262~m^{3}$ Sand. Somit hat der Leiter von Zemti unrecht, da sein Sandhaufen kleiner als $308~m^{3}$ ist.

  • Gib die fehlenden Werte des Kegels an.

    Tipps

    Stelle die allgemeine Volumengleichung für Kegel jeweils nach den gesuchten Größen um.

    In welchem Verhältnis stehen Radius und Durchmesser zueinander?

    Achte auf die Maßeinheiten.

    Lösung

    Um uns die Rechenarbeit zu erleichtern, formen wir zunächst die allgemeine Volumenformel für Kegel nach allen Variablen einmal um.

    Fangen wir an mit der Umformung nach $h$:

    $ \begin{align*} V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& \cdot 3 \\ 3 \cdot V&=\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& :\pi \\ \frac{3\cdot V}{\pi}&= r^{2}\cdot h &|& :r^{2} \\ \frac{3\cdot V}{\pi\cdot r^{2}}&=h \end{align*} $

    Umformung nach $r$:

    $ \begin{align*} V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& \cdot3 \\ 3\cdot V&=\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& :\pi \\ \frac{3\cdot V}{\pi}&= r^{2}\cdot h &|& :h \\ \frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}&=r^{2} &|& \sqrt{~~~} \\ \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}}&=r \end{align*} $

    Beachte: Den negativen Wert $r= - \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}}$ können wir außer Acht lassen, da keine negativen Radien existieren.

    Der Durchmesser $d$ ist doppelt so lang wie der Radius $r$: $d=2 \cdot r$.

    Umgestellt nach $r$ ergibt das: $r=\frac{d}{2}$

    Nun können wir unter Berücksichtigung der Maßeinheiten einfach die Werte jeweils in die Formeln einsetzen und berechnen.

    Kegel $1$:

    $ \begin{align*} r&=\frac{46~cm}{2}=23~cm \\ V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot (23~cm)^{2}\cdot 25~cm=13849~cm^{3} \end{align*} $

    Kegel $2$:

    $ \begin{align*} h&=\frac{3\cdot 324~m^{3}}{\pi\cdot (1~m)^{2}}=309~m \\ d&=2 \cdot 1~m = 2~m \end{align*} $

    Kegel $3$:

    $ \begin{align*} r&=\sqrt{\frac{3\cdot 520~dm^{3}}{\pi\cdot 36~dm}}=4~dm \\ d&=2\cdot 4~dm=8~dm \\ \end{align*} $

    Kegel $4$:

    $ \begin{align*} d&=2\cdot 32~cm = 64~cm \\ h&=6~dm=60~cm \\ V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot (32~cm)^{2}\cdot 60~cm=64340~cm^{3} \end{align*} $

  • Gib an, welche Alltagsgegenstände näherungsweise die Form der geometrischen Figuren besitzen.

    Tipps

    Skizziere die Formen von Quader und Kegel und vergleiche sie mit den Bildern.

    Bedenke, dass die Alltagsgegenstände nur näherungsweise die gesuchte Form haben, also denke dir alles unnötige Drumherum weg.

    Suche gezielt nach markanten Merkmalen der geometrischen Figuren.

    Die Formen können auch ihre Ausrichtung geändert haben, z.B. kann der Kegel mit der Spitze nach unten zeigen.

    Lösung

    Der Quader besteht aus sechs rechteckigen Flächen und hat ausschließlich rechte Winkel. Also suchen wir in den Bildern nach drei sichtbaren Rechtecken, die dies erfüllen und finden: das Hochhaus, den Milchkarton und das Mathe-Buch.

    Ein markantes Merkmal des Kegels ist seine Spitze. Im Unterschied zur Pyramide ist die Grundfläche des Kegels stets ein Kreis. Wir suchen also nach spitzen Gegenständen mit einem kreisförmigen Ende und finden: die Schultüte, das Indianerzelt und den Zauberhut.

  • Berechne das Volumen und den Prozentanteil.

    Tipps

    Wie groß ist der Radius des Glas-Kegels und des Sekt-Kegels?

    Um den Radius des Sekt-Kegels zu bestimmen, benötigst du den zweiten Strahlensatz.

    Es gilt $\frac{G}{100}=\frac{W}{p}$.

    Gesucht ist der Prozentsatz.

    $1~cm^{3}$ entspricht $1~ml$.

    Lösung

    Das Sektglas hat einen Durchmesser von $d = 5~cm$, folglich einen Radius von $r = 2,5~cm$. Die Höhe ist gegeben durch $h = 12,5~cm$. Somit können wir das Gesamtvolumen des Glases berechnen:

    $\begin{align} V_{G} &=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(2,5~cm)^{2}\cdot12,5~cm\\ &\approx 82~cm^{3} \end{align}$

    Ein Kubikzentimeter entspricht einem Millimeter, also ist $ V_{G} = 82~cm^{3} = 82~ml $.

    Um das Volumen des mit Sekt befüllten Kegels zu berechnen, müssen wir den Radius $r_{S}$ des Sektkegels herausfinden. Dafür nutzen wir den zweiten Strahlensatz.

    Das Verhältnis von $r$ zu $h$ entspricht dem Verhältnis von $r_S$ zu $h_S$. Durch Umformen erhalten wir eine Gleichung für $r_S$.

    $ \begin{align*} \frac{r}{h}&=\frac{r_{S}}{h_{S}} &|& \cdot h_{S} \\ \frac{r}{h}\cdot h_{S}&= r_{S} \end{align*} $

    Durch das Einsetzen der gegebenen Werte erhalten wir für $ r_{S}$:

    $r_{S}=\frac{2,5~cm}{12,5~cm}\cdot 10~cm=\frac{25~cm^{2}}{12,5~cm}=2~cm$

    Nun können wir das Volumen des Sekt-Kegels berechnen:

    $ V_{S}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot(2~cm)^{2}\cdot 10~cm = 42~cm^{3}=42~ml$

    Es sind $42~ml$ Sekt im Glas enthalten.

    Wie viel Prozent sind $42~ml$ von insgesamt $82~ml$?

    Dafür nutzen wir die Formel für Prozentrechnung und stellen sie nach dem gesuchten Prozentsatz $p$ um:

    $ \begin{align*} \frac{G}{100}&=\frac{W}{p} &|& \cdot p \\ \frac{G}{100}\cdot p&=W &|& \cdot \frac{100}{G} \\ p&=W\cdot\frac{100}{G} \end{align*} $

    $G$ steht für den Grundwert, in unserem Fall ist der Grundwert das Volumen des gesamten Sektglases $V_{G}=82~ml$. $W$ steht für den Prozentwert und entspricht in unserer Aufgabe dem Sekt-Volumen $V_{S}= 42~ml$. Durch das Einsetzen dieser Werte erhalten wir den gesuchten Prozentsatz:

    $p=42~ml\cdot\frac{100}{82~ml}\approx 51~\%$.

    $42~ml$ Sekt in einem $82~ml$ großen Glas entspricht somit $51~\%$.

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