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Verwenden eines Maßstabes

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Mathe-Team
Verwenden eines Maßstabes
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Verwenden eines Maßstabes

In diesem Video wirst du sehr viel mit dem Maßstab arbeiten. Zunächst wird noch einmal wiederholt, was der Maßstab überhaupt ist. Danach wirst du den Maßstab aus vorgegebenen Größen berechnen. Anschließend wirst du aus einer maßstabsgetreuen Skizze die Werte ablesen und die Originalmaße bestimmen. Zum Schluss machst du das Umgekehrte. Du fertigst eine maßstabsgetreue Skizze an.

Transkript Verwenden eines Maßstabes

Hallo, schön dass du mal wieder da bist. Heute möchten wir uns wieder mit dem Thema Maßstab beschäftigen. Zuerst wollen wir wiederholen, was ein Maßstab überhaupt ist. Danach wollen wir verschiedene Aufgaben zum Maßstab lösen.

Wiederholung Maßstab

Wie rechnet man aber mit einem Maßstab? Den Maßstab wird gebildet, indem man den Quotienten aus der Streckenlänge im Bild und der Streckenlänge im Original berechnet. Ist eine Strecke im Bild größer als im Original, so haben wir eine Vergrößerung. Ist eine Strecke im Bild kleiner als im Original, dann haben wir eine Verkleinerung.

Wenn wir den Maßstab eins zu einhundert haben, so gilt folgendes: ein Zentimeter im Bild entspricht einhundert Zentimeter, also einem Meter, in der Wirklichkeit.

1. Aufgabe zum Maßstab

Nun wollen wir den Maßstab einer Karte bestimmen. Julia möchte von München nach Berlin fliegen. Die Entfernung beträgt 510 Kilometer. Auf der Landkarte misst sie die Entfernung der beiden Städte. Es sind zehn Komma zwei Zentimeter. Welchen Maßstab besitzt die Karte?

Um den Maßstab der Karte zu bestimmen, ziehen wir die Formel heran:

Maßstab ist gleich die Streckenlänge in der Karte durch die Streckenlänge im Original.

Nun müssen wir die Zahlenwerte in die Formel einsetzen. Maßstab gleich zehn Komma zwei Zentimeter durch 510 Kilometer.

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass im Zähler Zentimeter, im Nenner aber Kilometer stehen. Wir müssen also zunächst beide Streckenmaße angleichen. Dazu rechnen wir 510 km in cm um. 510km, das sind 510.000 Meter, das sind 51.000.000 cm.

Dann dividieren wir Zähler und Nenner des Bruches durch zehn Komma zwei, dass heißt wir kürzen den Bruch mit zehn Komma zwei. Wir erhalten den Bruch ein Zentimeter durch 5.000.000 cm. Nun können wir die cm im Zähler und Nenner kürzen und erhalten 1 durch 5.000.000.

Der Maßstab der Karte ist also 1 zu 5.000.000. Ein Zentimeter auf der Karte entspricht 5.000.000 cm oder auch 50 km in der Wirklichkeit.

2. Aufgabe zum Maßstab

Betrachten wir eine weitere Aufgabe. Hier ist die Skizze eines Fußballfelds. Der Maßstab soll eins zu 4000 betragen. Der Arbeitsauftrag lautet: Bestimme die wahren Streckenmaße der Länge und Breite des Fußballfeldes.

Wie gehen wir bei dieser Aufgabe vor? Der Maßstab eins zu 4000 bedeutet, dass ein Zentimeter in der Zeichnung 4000 Zentimeter in der Wirklichkeit beträgt.

Die 4000 Zentimeter wandeln wir in Meter um. Dann müssen wir nicht mit so großen Zahlen rechnen. 4000 Zentimeter sind vierzig Meter.

Und nun? Wir messen mit dem Lineal die Länge und die Breite des Fußballfeldes aus und können dann mithilfe des Maßstabs die Streckenlänge im Original berechnen.

Wir sehen, dass das Bild des Fußballfeldes zwei Komma fünf Zentimeter lang und zwei Zentimeter breit ist. Beginnen wir mit der Länge: Wir haben herausgefunden, dass ein Zentimeter im Bild vierzig Meter in der Wirklichkeit entspricht. Um herauszufinden, wie breit das Spielfeld in der Realität ist, multiplizieren wir mit 2,5. 2,5 cm im Bild entsprechen demnach 2,5 mal 40 Meter. Dies ergibt einhundert Meter.

Genauso verfahren wir mit der Breite. ein cm im Bild entsprechen 49 Meter in der Realität. Also entsprechen zwei cm zwei mal 40 Meter, also 80 Meter. Das Fußballfeld ist demnach einhundert Meter lang und achtzig Meter breit.

3. Aufgabe zum Maßstab

Zum Schluss betrachten wir einmal eine ganz andere Aufgabe. Die hier abgebildete Turnhalle ist zwanzig Meter breit und 40 Meter lang. Der Arbeitsauftrag lautet: Zeichne die rechteckige Bodenfläche. Auf die Linien kannst du verzichten. Deine Skizze soll allerdings maßstabsgetreu mit dem Maßstab soll eins zu tausend sein.

Dies bedeutet, dass ein Zentimeter im Bild eintausend Zentimeter in der Wirklichkeit beträgt. Eintausend Zentimeter sind umgewandelt zehn Meter.

Beginnen wir mit der Berechnung, wie breit die Turnhalle in unserer Skizze sein soll: 1 cm im Bild sollen zehn Meter in der Realität entsprechen. Die Turnhalle ist 20 Meter breit. Wie viele cm sind das in unser Skizze? Um von 10 auf 20 zu kommen, muss mit der zwei multipliziert werden. Also multiplizieren wir auch den einen cm mit der zwei und erhalten 2 cm im Bild entsprechen 20 Meter in der Realität.

Unsere Skizze muss also 2 cm breit sein. Jetzt die Länge der Turnhalle. Diese beträgt in der Wirklichkeit 40 Meter. 1 cm im Bild sollen zehn Meter in der Realität entsprechen.

Um von 10 auf 40 zu kommen, muss mit der 4 multipliziert werden. Also multiplizieren wir auch den einen cm mit der 4und erhalten 4 cm im Bild entsprechen 40 Meter in der Realität. Unsere Skizze muss also 4 cm lang sein.

Nun können wir unsere rechteckige Bodenfläche zeichnen. Sie muss 2 cm breit und 4 cm lang sein. So. Fertig! Hübsch nicht war.

So das war es mal wieder für heute. Ich denke, du hast dir jetzt eine Erholung verdient. Vielleicht gehst du raus Fahrradfahren. Am Ende des Tages kannst du ja auf einer Karte abmessen, wie weit du gefahren bist. Tschüss!

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. Ich hab es sehr gut verstanden und hab auch dank der guten Vidios eine gute note bekommen

    Von Derya.Rashidy , vor 9 Monaten
  2. Was ist das denn für eine Stimme 😂

    Von Schneider 11, vor 10 Monaten
  3. Gut Erklärt und Danke dafür, aber ich verstehe es immer noch nicht so richtig

    Von Rashad Abu, vor 11 Monaten
  4. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 12 Monaten
  5. wirklich sehr toll erklärt hat mir sehr geholfen

    Von Th Xperia, vor 12 Monaten
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Verwenden eines Maßstabes Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verwenden eines Maßstabes kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften des Maßstabes an.

    Tipps

    Es ist hilfreich, stets ein Beispiel vor Augen zu haben. Liegt bei einer Landkarte eine Vergrößerung der realen Strecke vor oder eine Verkleinerung?

    Lösung

    Der Maßstab berechnet sich als Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke! Man teilt also die Bildstrecke durch die Originalstrecke und erhält einen Maßstab, der verraten kann, welche Länge eine im Modell gemessene Strecke in der Wirklichkeit hat.

    Eine Verkleinerung sagt ja schon, dass etwas kleiner wird und gemeint ist dabei, dass Strecken im Bild kleiner sind als im Original.

    Eine Vergrößerung verrät auch schon, dass etwas größer wird, hier ist damit gemeint, dass Strecken im Bild größer sind als im Original.

    Als Beispiel für eine Bildstrecke bietet sich die Strecke zwischen zwei Punkten auf einer Landkarte an. Die entsprechende Originalstrecke meint dann den Abstand dieser zwei geographischen Punkte in der Realität.

  • Berechne den gesuchten Maßstab.

    Tipps

    Berücksichtige, dass die beiden Längen unterschiedliche Einheiten besitzen.

    Die beiden Längen nur ins Verhältnis zu setzen, reicht nicht ganz aus, um einen Maßstab zu erhalten, wie er üblicherweise bei Karten angegeben wird.

    Je nachdem, ob eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung vorliegt, muss entweder der Divisor oder der Dividend $1$ sein.

    Lösung

    Der Maßstab berechnet sich als Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke. Es sind also $10,2~cm$ durch $510~km$ zu teilen. Dabei ist zu beachten, dass die beiden Längen unterschiedliche Maßeinheiten besitzen. $510~km$ sind auch $510000~m$ oder $51000000~cm$. Nun erhalten wir folgenden Bruch:

    $\begin{align} \frac{10,2~cm}{51000000~cm} & =\frac{10,2}{51000000}\\ & = \frac{1}{5000000} \end{align}$

    Dabei wurde zunächst die Einheit und dann durch $10,2$ gekürzt.

    Der Maßstab der Karte ist also $1:5000000$.

  • Bestimme Länge und Breite der verschiedenen Maßstäbe.

    Tipps

    Nicht jeder Maßstab hat eine Länge und eine Breite, die ihm zugeordnet werden muss.

    Kannst du eine Regelmäßigkeit zwischen den verschiedenen Maßstäben erkennen?

    Je kleiner die angefertigte Skizze, desto weiter nach rechts ist das Komma in der Längen- und Breitenangabe nach links verschoben.

    Lösung

    Auch wenn nicht alle Maßstäbe eine Breite und eine Länge zugeordnet bekommen haben, bietet es sich an, die Längen und Breiten von den Maßstäben ausgehend zu ermitteln.

    • $1:1$: Die Breite und Länge sind wie im Original! Wir wählen also eine Breite von $8~m$ und eine Länge von $15~m$.
    • $1:10$: Bei diesem Maßstab sind $80~cm$ die korrekte Breite, eine Länge gibt es zu diesem Maßstab nicht zuzuordnen! Sie betrüge $1,5~m$.
    • $1:100$: Das Modell hat hier eine messbare Länge von $15~cm$ und eine Breite von $8~cm$.
    • $1:1000$: $1,5~cm$ ist die Länge, die das Modell mit diesem Maßstab gerade noch erreicht. Die Breite betrüge $0,8~cm$.
  • Ermittle die Maße des Hauses in der Wirklichkeit.

    Tipps

    Der Maßstab muss nicht angegeben werden, ist aber wichtig, um die gesuchten Angaben zu berechnen.

    Für einen Maßstab gilt die Formel:

    $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

    Berücksichtige unterschiedliche Längeneinheiten und kürze den Bruch, sodass letztlich im Zähler (oder Nenner) eine $1$ steht.

    Lösung

    Für einen jeden Maßstab gilt:

    $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

    Anhand der Breite der Tür sind uns die nötigen Angaben gegeben. Wir können $\frac{22~cm}{1,10~m} = \frac{22~cm}{110~cm} = \frac15$ rechnen und erhalten so den Maßstab $1:5$. Auf diese Weise können wir ermitteln, dass das Originalhaus $5~m$ hoch ist und das Fenster über eine Streckenlänge von $20~cm \cdot 5 = 100~cm$ verfügt.

  • Gib Länge und Breite der Skizze an.

    Tipps

    Achte darauf, ob die richtigen Maße in Länge und Breite vorliegen.

    Berücksichtige auch, ob eine Vergrößerung oder Verkleinerung vorgenommen wurde.

    Lösung

    Die Turnhalle an Max Schule hat eine Länge von $40~m$ und eine Breite von $20~m$. Max möchte eine rechteckige Skizze der Bodenfläche anfertigen, wobei der Maßstab $1:1000$ betragen soll.

    Das bedeutet, dass $1~cm$ in der Skizze $1000~cm=10~m$ in der Realität entspricht. Daher gilt für die Breite: Wenn $1~cm$ in der Skizze $10~m$ in der Wirklichkeit entspricht, dann entsprechen $2~cm$ in der Skizze $20~m$ in der Realität. Da die Turnhalle $20~m$ breit ist, liegt mit $2~cm$ die Breite der Skizze vor.

    Ebenso verhält es sich auch mit der Länge. Diese beträgt in der Skizze $4~cm$.

    Somit liegt eine Skizze vor, welche über eine Länge von $4~cm$ und eine Breite von $2~cm$ verfügt. Es liegt eindeutig eine Verkleinerung vor, da das Bild kleiner ist als das Original.

  • Bestimme den Maßstab und die fehlenden Längen.

    Tipps

    Wenn Du zuerst den Maßstab ausrechnest, kannst Du mit ihm auch die Breite des Fußballfeldes berechnen.

    Für einen Maßstab gilt die Formel: $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

    Lösung

    Wir kennen die Länge des Modells von $4,8~cm$ und die Länge des Fußballfeldes in der Realität von $120~m=12000~cm$.

    Der Maßstab lässt sich nun berechnen, indem wir die Werte für Bild- und Originalstrecke eintragen. Es gilt also $\frac{4,8~cm}{12000~cm}=\frac1{2500}$. Dabei wurde durch $4,8 ~cm$ gekürzt. Der Maßstab beträgt also $1:2500$.

    Da die Breite des Fußballfeldes im Original $90~m$ beträgt und die Skizze $2500$ mal so klein ist, können wir $90~m : 2500$ rechnen. Dies ergibt $3,6~cm$. Die Breite der Skizze beträgt also $3,6~cm$.

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