Verwenden eines Maßstabes

Verwenden eines Maßstabes Übung

• Gib die Eigenschaften des Maßstabes an.

  Tipps

  Es ist hilfreich, stets ein Beispiel vor Augen zu haben. Liegt bei einer Landkarte eine Vergrößerung der realen Strecke vor oder eine Verkleinerung?

  Lösung

  Der Maßstab berechnet sich als Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke! Man teilt also die Bildstrecke durch die Originalstrecke und erhält einen Maßstab, der verraten kann, welche Länge eine im Modell gemessene Strecke in der Wirklichkeit hat.

  Eine Verkleinerung sagt ja schon, dass etwas kleiner wird und gemeint ist dabei, dass Strecken im Bild kleiner sind als im Original.

  Eine Vergrößerung verrät auch schon, dass etwas größer wird, hier ist damit gemeint, dass Strecken im Bild größer sind als im Original.

  Als Beispiel für eine Bildstrecke bietet sich die Strecke zwischen zwei Punkten auf einer Landkarte an. Die entsprechende Originalstrecke meint dann den Abstand dieser zwei geographischen Punkte in der Realität.

• Berechne den gesuchten Maßstab.

  Tipps

  Berücksichtige, dass die beiden Längen unterschiedliche Einheiten besitzen.

  Die beiden Längen nur ins Verhältnis zu setzen, reicht nicht ganz aus, um einen Maßstab zu erhalten, wie er üblicherweise bei Karten angegeben wird.

  Je nachdem, ob eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung vorliegt, muss entweder der Divisor oder der Dividend $1$ sein.

  Lösung

  Der Maßstab berechnet sich als Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke. Es sind also $10,2~cm$ durch $510~km$ zu teilen. Dabei ist zu beachten, dass die beiden Längen unterschiedliche Maßeinheiten besitzen. $510~km$ sind auch $510000~m$ oder $51000000~cm$. Nun erhalten wir folgenden Bruch:

  $\begin{align} \frac{10,2~cm}{51000000~cm} & =\frac{10,2}{51000000}\\ & = \frac{1}{5000000} \end{align}$

  Dabei wurde zunächst die Einheit und dann durch $10,2$ gekürzt.

  Der Maßstab der Karte ist also $1:5000000$.

• Bestimme Länge und Breite der verschiedenen Maßstäbe.

  Tipps

  Nicht jeder Maßstab hat eine Länge und eine Breite, die ihm zugeordnet werden muss.

  Kannst du eine Regelmäßigkeit zwischen den verschiedenen Maßstäben erkennen?

  Je kleiner die angefertigte Skizze, desto weiter nach rechts ist das Komma in der Längen- und Breitenangabe nach links verschoben.

  Lösung

  Auch wenn nicht alle Maßstäbe eine Breite und eine Länge zugeordnet bekommen haben, bietet es sich an, die Längen und Breiten von den Maßstäben ausgehend zu ermitteln.

  • $1:1$: Die Breite und Länge sind wie im Original! Wir wählen also eine Breite von $8~m$ und eine Länge von $15~m$.

  • $1:10$: Bei diesem Maßstab sind $80~cm$ die korrekte Breite, eine Länge gibt es zu diesem Maßstab nicht zuzuordnen! Sie betrüge $1,5~m$.

  • $1:100$: Das Modell hat hier eine messbare Länge von $15~cm$ und eine Breite von $8~cm$.

  • $1:1000$: $1,5~cm$ ist die Länge, die das Modell mit diesem Maßstab gerade noch erreicht. Die Breite betrüge $0,8~cm$.

• Ermittle die Maße des Hauses in der Wirklichkeit.

  Tipps

  Der Maßstab muss nicht angegeben werden, ist aber wichtig, um die gesuchten Angaben zu berechnen.

  Für einen Maßstab gilt die Formel:

  $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

  Berücksichtige unterschiedliche Längeneinheiten und kürze den Bruch, sodass letztlich im Zähler (oder Nenner) eine $1$ steht.

  Lösung

  Für einen jeden Maßstab gilt:

  $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

  Anhand der Breite der Tür sind uns die nötigen Angaben gegeben. Wir können $\frac{22~cm}{1,10~m} = \frac{22~cm}{110~cm} = \frac15$ rechnen und erhalten so den Maßstab $1:5$. Auf diese Weise können wir ermitteln, dass das Originalhaus $5~m$ hoch ist und das Fenster über eine Streckenlänge von $20~cm \cdot 5 = 100~cm$ verfügt.

• Gib Länge und Breite der Skizze an.

  Tipps

  Achte darauf, ob die richtigen Maße in Länge und Breite vorliegen.

  Berücksichtige auch, ob eine Vergrößerung oder Verkleinerung vorgenommen wurde.

  Lösung

  Die Turnhalle an Max Schule hat eine Länge von $40~m$ und eine Breite von $20~m$. Max möchte eine rechteckige Skizze der Bodenfläche anfertigen, wobei der Maßstab $1:1000$ betragen soll.

  Das bedeutet, dass $1~cm$ in der Skizze $1000~cm=10~m$ in der Realität entspricht. Daher gilt für die Breite: Wenn $1~cm$ in der Skizze $10~m$ in der Wirklichkeit entspricht, dann entsprechen $2~cm$ in der Skizze $20~m$ in der Realität. Da die Turnhalle $20~m$ breit ist, liegt mit $2~cm$ die Breite der Skizze vor.

  Ebenso verhält es sich auch mit der Länge. Diese beträgt in der Skizze $4~cm$.

  Somit liegt eine Skizze vor, welche über eine Länge von $4~cm$ und eine Breite von $2~cm$ verfügt. Es liegt eindeutig eine Verkleinerung vor, da das Bild kleiner ist als das Original.

• Bestimme den Maßstab und die fehlenden Längen.

  Tipps

  Wenn Du zuerst den Maßstab ausrechnest, kannst Du mit ihm auch die Breite des Fußballfeldes berechnen.

  Für einen Maßstab gilt die Formel: $\text{Maßstab}$ $=$ $\Large{\frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}}}$.

  Lösung

  Wir kennen die Länge des Modells von $4,8~cm$ und die Länge des Fußballfeldes in der Realität von $120~m=12000~cm$.

  Der Maßstab lässt sich nun berechnen, indem wir die Werte für Bild- und Originalstrecke eintragen. Es gilt also $\frac{4,8~cm}{12000~cm}=\frac1{2500}$. Dabei wurde durch $4,8 ~cm$ gekürzt. Der Maßstab beträgt also $1:2500$.

  Da die Breite des Fußballfeldes im Original $90~m$ beträgt und die Skizze $2500$ mal so klein ist, können wir $90~m : 2500$ rechnen. Dies ergibt $3,6~cm$. Die Breite der Skizze beträgt also $3,6~cm$.