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Was ist ein Maßstab?

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Team Digital
Was ist ein Maßstab?
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Was ist ein Maßstab?

Einleitung

Du hattest bestimmt schon einmal eine Landkarte in der Hand, oder? Dann hast du dich bestimmt gefragt, wie man bestimmen kann, wie weit ein Ort in Wirklichkeit entfernt ist. Um das herauszufinden, brauchst du den Maßstab der Karte. Und was das ist, wollen wir uns heute anschauen.

Der Maßstab

Was ist ein Maßstab?

Wir betrachten zuerst eine Karte, die einen Ausschnitt von Europa zeigt. Wir wollen wissen, wie groß die Distanz zwischen England und Frankreich ist, wenn wir mit einem Schiff der roten Linie auf dem Bild folgen.

Maßstab auf einer Landkarte

Definition Maßstab

Auf der Landkarte messen wir genau $4~\text{cm}$. Außerdem können wir links oben auf der Karte lesen $1:2.500.000$. Das ist der Maßstab der Karte, und man sagt:

$\text{Der Maßstab ist } 1 \text{ zu } 2.500.000$

Das bedeutet, dass $1~\text{cm}$ auf der Karte $2.500.000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit entspricht. Das können wir natürlich noch in Meter umwandeln. Das sind dann genau $25.000~\text{m}$. Und das sind wiederum $25~\text{km}$.

$2.500.000~\text{cm} = 25.000~\text{m} = 25~\text{km}$

Also entspricht $1~\text{cm}$ auf der Karte $25~\text{km}$ in der Wirklichkeit.

Und wie können wir jetzt mit dem Maßstab umrechnen, wie weit die Strecke von $4~\text{cm}$ in Wirklichkeit ist? Das geht ganz einfach, in dem wir beide Seiten umrechnen.

Wir schreiben uns zunächst noch einmal den Maßstab auf, aber benutzen dieses mal ein neues Zeichen. Das neue Zeichen sieht so aus: $\hat{=}$. Es bedeutet entspricht, und wir müssen es statt des Gleichheitszeichens verwenden. Denn $1~\text{cm}$ ist natürlich nicht das gleiche wie $25~\text{km}$, sondern entspricht nur dieser Entfernung in der Wirklichkeit. Also schreiben wir uns auf:

$1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}$

Jetzt wollen wir wissen, wie viele Kilometer $2$ Zentimetern entsprechen. Dazu müssen wir $1$ mit $2$ mal nehmen, und deswegen nehmen wir auch $25$ mit $2$ mal:

$1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}$

$\big\downarrow \cdot 2$

$2~\text{cm } \hat{=} ~50~\text{km}$

Um herauszufinden, wie lang die Strecke von $4~\text{cm}$ in Wirklichkeit ist, müssen wir mit $4$ multiplizieren:

$1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}$

$\big\downarrow \cdot 4$

$4~\text{cm } \hat{=} ~100~\text{km}$

Die Entfernung ist in Wirklichkeit also $100~\text{km}$ lang, und das konnten wir alleine mit hilfe der Kartenstrecke und des Maßstabs ausrechnen.

Wie berechnet man den Maßstab?

Wir können jetzt auch eine Definition für den Maßstab aufschreiben:

Der Maßstab ist gleich die Länge der Kartenstrecke durch die Länge der Originalstrecke. Allgemein bedeutet dies, dass der Maßstab gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original ist.

Du kannst also den Maßstab auch selbst berechnen, wenn du deine Länge auf der Karte und im Original kennst. Du musst nur beide Werte durcheinander teilen.

Maßstab – Beispiele

Schauen wir uns ein paar weitere Beispiele an. Du hast bestimmt schon einmal ein Mikroskop gesehen, oder vielleicht sogar benutzt. Damit kann man kleine Dinge vergrößern, und sich zum Beispiel winzige Bakterien anschauen.

Maßstab einer Vergrößerung im Mikroskop

Das Mikroskop hat eine $1350$-fache Vergrößerung. Du siehst du Bakterien also $1350$ Mal größer, als sie in Wirklichkeit sind. Du kannst dann auch sagen:

$\text{Der Maßstab ist } 1350 \text{ zu } 1.$

Einem Zentimeter im Bild entspricht also ein Eintausendreihunderfünfzigstel in der Wirklichkeit. Weil hier das Bild größer ist, als die Wirklichkeit, spricht man auch von einer Vergrößerung. Bei unserer Karte war es genau andersrum: Das Bild, also die Karte, war viel kleiner als das Original. Das ist eine Verkleinerung. Du kannst beides auch daran erkennen, wo die größere Zahl im Maßstab steht: Ist die größere Zahl im Maßstab links, dann handelt es sich um eine Vergrößerung. Steht sie dagegen rechts, ist es eine Verkleinerung.

Maßstab umrechnen – Beispiele

Wir wollen uns noch ein paar Beispiele dazu anschauen, wie man mit einem Maßstab rechnen kann.

Als erstes betrachten wir ein Modell der Moai Statue, und halten es neben das Original. Die Moai-Statuen sind sehr alte Kunstwerke, die auf den Osterinseln im Pazifik stehen. Auf dem Bild siehst du, dass unser Modell viel kleiner als das Original ist.

Maßstab eines Modells berechnen

Das Modell ist im Maßstab $1 : 21$ gefertigt. Also entspricht $1~\text{cm}$ im Modell $21~\text{cm}$ in der echten Statue. Die echte Statue ist $4,2~\text{m}$, also $420~\text{cm}$ hoch. Um zu berechnen, wie hoch das Modell ist, müssen wir also herausfinden, wie oft die $21$ in die $420$ passt. Dazu teilen wir die Werte einfach:

$420 : 21 = 20$

Das Modell ist also $20~\text{cm}$ hoch.

Wir können aber auch mithilfe des Maßstabs die Größe des Modells in die Größe des Originals umrechnen. Dazu schauen wir uns ein Modell von Stonehenge an, einem sehr alten Bauwerk in England.

Maßstab eines Modells berechnen

Das Modell ist auch $20~\text{cm}$ hoch, aber der Maßstab ist dieses Mal $1 : 32$. Also entspricht $1~\text{cm}$ im Modell $32~\text{cm}$ in der Realität. Wir müssen also $20$ mit $32$ multiplizieren:

$20 \cdot 32 = 640$

Stonehenge ist also $640~\text{cm}$ oder $6,4~\text{m}$ hoch.

Dieses Video

In diesem Video wird der Maßstab für Schülerinnen und Schüler der Grundschule erklärt und mit Beispielen gezeigt, wie man mit Maßstäben rechnet. Außerdem findet ihr zusätzlich interaktive Übungen und Arbeitsblätter zu diesem Thema.

Transkript Was ist ein Maßstab?

Martha Polo möchte mit dem Segelboot von England nach Frankreich segeln. Um ihren Trip zu planen, schaut sie sich verschiedene Karten an. Aber auf dieser Karte sieht die Strecke ja viel länger aus als auf der anderen. Auch wenn wir dies ausmessen, sehen wir, dass es auf der einen Karte 1 cm und auf der anderen Karte 4 cm sind. Aber warum messen wir hier denn zwei verschiedene Längen? Das hat etwas mit dem Maßstab der Karte zu tun. Schauen wir uns dazu doch die erste Karte noch einmal an. Wir sehen hier die Angaben zu dem Maßstab. Man sagt: 1 zu 2.500.000. Das bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 2.500.000 cm in der Wirklichkeit entsprechen. Um es einfacher zu machen, können wir die 2.500.000 cm in m umwandeln, haben also 25.000m und das sind 25km. Also entspricht 1 cm auf der Karte 25km in der Wirklichkeit. Die Karte ist dementsprechend eine Verkleinerung der Wirklichkeit. Misst man auf der Karte 2 cm, so sind das 50km in der Wirklichkeit, 3 cm entsprechen 75 Kilometern und so weiter. Und wie viel würde dann die ausgemessene Entfernung von 4cm in der Realität sein? 1 Zentimeter auf der Karte entsprechen 25 km. Um nun zu erfahren, wie viele Meter in der Wirklichkeit 4 cm auf der Karte entsprechen, multiplizieren wir 1cm mit der 4. Dasselbe machen wir mit den 25 km. So erhalten wir als Ergebnis: 4 cm entsprechen 4 mal 25 km, also 100 km. Der Maßstab ist gleich die Länge der Kartenstrecke durch die Länge der Originalstrecke. Allgemein bedeutet dies, dass der Maßstab gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original ist. Schauen wir uns ein paar andere Beispiele an. Wenn du durch ein Mikroskop schaust, kannst du kleine Dinge vergrößern, so wie diese Bakterien. Das Mikroskop hat eine 1350-fache Vergrößerung. Der Maßstab ist also 1350 zu 1. 1cm im Bild entspricht also ein eintausendreihunderfünfzigstel in der Wirklichkeit. Ist das Bild größer als das Original, also so wie hier, dann spricht man von einer Vergrößerung. Wenn das Bild kleiner als das Original ist, wie zum Beispiel bei der Karte, dann spricht man von einer Verkleinerung. Eine Vergrößerung erkennst du übrigens daran, dass die größere Zahl im Maßstab links steht. Aber zurück zu Martha. Von vielen ihrer Reisen hat sie sich kleine Modelle mitgebracht. Diese sind alle eine Verkleinerung der Originale. Würde man zum Beispiel dieses Modell der Moai Statue neben das Original stellen, erkennt man, wie klein das Modell tatsächlich ist. Das Model ist im Maßstab eins zu 21 angefertigt. Die Moai Statue hat eine Höhe von 4,2 Metern. Ein Zentimeter im Modell entspricht 21cm in der Wirklichkeit. Wie hoch ist sie dann in diesem Modell? Rechnen wir dazu die Höhe doch erst einmal in Zentimeter um. Insgesamt haben wir also 420 cm. Wenn immer 21 cm im Original ein cm beim Modell entsprechen, dann müssen wir lediglich berechnen, wie oft die 21 in die 420 passt. Also teilen wir 420 durch 21 und erhalten 20cm. 20cm beim Modell entsprechen den 4,2 Metern in der Realität. Das Modell ist 20 cm hoch. Wir können aus der Größe eines Modells aber auch die Größe des Originals bestimmen. Schauen wir uns dazu doch dieses Modell vom berühmten Stonehenge in England an. Das Modell ist 20cm hoch. Es hat den Maßstab eins zu 32. Wie groß ist der Stein dann in Wirklichkeit? Wenn 1 cm beim Modell 32 cm in der Realität entsprechen. Dann entsprechen 20 cm beim Modell 32 cm mal 20. Das sind 6,4 Meter. Der Stein ist also 6,4 Meter hoch. Bevor Martha auf die nächste Reise geht, fassen wir zusammen. Der Maßstab ist gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original. Wenn das Bild kleiner als das Original ist, wie zum Beispiel bei der Karte, dann spricht man von einer Verkleinerung. Ist das Bild größer als das Original, wie zum Beispiel bei den Bakterien, dann spricht man von einer Vergrößerung. Und jetzt hat Martha auch verstanden, warum die beiden Karten unterschiedliche Längen aufweisen. Sie haben einen anderen Maßstab. Na dann kann's ja losgehen. Mit diesem Schiff wird sie wohl nicht weit kommen.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. Auch ein gutes Video , aber ein bisschen genauer wäre besser 👍👌
    Trotzdem ist alles ☺️ prima , die Story ist auch gut gelungen 😙😙😙❤️❤️
    Eure Kommi Snopiii ❤️❤️❤️

    Von Snopiii ❤., vor 26 Tagen
  2. Sehr einfach

    Von Cs0 18, vor etwa einem Monat
  3. Genauere Erklärungen wären besser und ich finde das man erstmal eine Aufgabe nehmen sollte ,weil das mehrere Erklärung sind und wenn jemand das Video wählt um den Maßstab zu verstehen kommt man nicht richtig mit weil es zu viele Erklärungen für den Anfang sind .Das wird den Jenigen sicher zu viel und man versteht das nicht.

    Von Rashad Abu, vor 4 Monaten
  4. Super Video ich bin ja schon in der 5 Klasse habe aber alles kapiert vorher habe ich das nicht kapiert obwohl wir bald eine Arbeit scheiben. Vielen Dank!!!!!!😀😊😁 L.

    Von Monteblue, vor 5 Monaten
  5. Hallo Astrid Theiler,
    schau dir doch mal diese Videos an: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/mit-massstaeben-rechnen-2https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/massstab-vergroesserungenhttps://www.sofatutor.com/mathematik/videos/massstab-verkleinerungen
    Ich hoffe, dass dir diese Videos weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 5 Monaten
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Was ist ein Maßstab? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Maßstab? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einem Maßstab versteht.

    Tipps

    Betrachtest du einen Maßstab von $a$ zu $b$ (beziehungsweise $a : b$), so gilt:

    • $a>b$: Vergrößerung
    • $a<b$: Verkleinerung

    Wenn eine Bildstrecke von $1\ \text{cm}$ einer Originalstrecke von $100\ \text{m}$ entspricht, so kannst du wie folgt die Originalstrecke zu einer Bildstrecke von $3\ \text{cm}$ bestimmen:

    $3\cdot 1\ \text{cm}$ Bildstrecke $~\hat{=} ~ 3\cdot 100\ \text{m}$ Originalstrecke

    Lösung

    Du kannst den Lückentext wie folgt vervollständigen:

    „Eine Karte in einem Maßstab von $1:2.500.000$ bedeutet, dass $1\ \text{cm}$ auf der Karte $2.500.000\ \text{cm}$ oder $25\ \text{km}$ in der Wirklichkeit entsprechen. Die Karte ist also eine Verkleinerung der Wirklichkeit.“

    • Betrachtest du einen Maßstab von $a$ zu $b$, so erhältst du für $a>b$ eine Vergrößerung und für $a<b$ eine Verkleinerung. Eine Verkleinerung heißt, dass die Maße im Bild kleiner sind als die Maße im Original.
    „Mit dem Maßstab kann man Entfernungen auf der Karte in Entfernungen in der Wirklichkeit umrechnen. So gelten folgende Zuordnungen:
    • $2\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $50\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.
    • $3\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $75\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.
    • $4\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $100\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.“
    • Wenn eine Bildstrecke von $1\ \text{cm}$ einer Originalstrecke von $100\ \text{m}$ entspricht, so kannst du die Originalstrecke zu einer anderen Bildstrecke durch Multiplikation beider Strecken mit demselben Faktor erhalten.
    „Der Maßstab ist folgendermaßen definiert:

    • Maßstab $=$ Länge der Bildstrecke $:$ Länge der Originalstrecke
    • Hier erkennst du, dass die Zahl, die links vom Doppelpunkt steht, die Länge der Bildstrecke angibt. Demnach handelt es sich um seine Verkleinerung, da die linke Zahl kleiner als die rechte ist.
  • Bestimme die gesuchten Größen.

    Tipps

    Es gilt: $\text{Maßstab}= \dfrac{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Bildstrecke}}{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Originalstrecke}}$

    Achte auf die richtige Umrechnung zwischen den Einheiten.

    Es handelt sich bei den Modellen um Verkleinerungen.

    Lösung

    Es gilt: $\text{Maßstab}= \dfrac{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Bildstrecke}}{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Originalstrecke}}$

    Beispiel 1

    Das Modell der Moai-Statue ist im Maßstab $1:21$ angefertigt. Die originale Moai-Statue hat eine Höhe von $4,2$ Metern.

    Um die Höhe des Modells in Zentimetern zu erhalten, rechnen wir die Höhe des Originals zunächst in Zentimeter um:

    • $4,2\ \text{m}=420\ \text{cm}$
    Nun gehen wir wie folgt vor:

    • $420\ \text{cm}:21=20\ \text{cm}$
    Demnach ist das Modell $20\ \text{cm}$ hoch.

    Beispiel 2

    Das Modell vom Stonehenge in England ist $20\ \text{cm}$ hoch. Es hat den Maßstab $1:32$.

    Wir rechnen wieder zuerst in die jeweilige Einheit um:

    • $20\ \text{cm}=0,2\ \text{m}$
    Nun berechnen wir die Größe des Originals:

    • $0,2\ \text{m}\cdot 32=6,4\ \text{m}$
    Demnach ist das Bauwerk in Wirklichkeit $6,4$ Meter hoch.

  • Entscheide, welche Maßstäbe und Streckenverhältnisse zusammenpassen.

    Tipps

    Du kannst von der Aussage „$30~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $6000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit“ direkt auf einen Maßstab von $30:6000$ schließen. Diese Angabe ist jedoch unüblich: Maßstäbe werden im Allgemeinen so angegeben, dass auf der kleineren der beiden Seiten eine $1$ steht.

    Den Maßstab $30:6000$ kannst du auch wie folgt angeben:

    • $3:600$
    • $1:200$
    • $2:400$
    usw.

    Lösung

    Zur besseren Unterscheidung nutzen wir hier $:$ nur für den Maßstab, für das Dividieren wird im Folgenden $\div$ verwendet.

    • Der Maßstab $2:16000$, der aus der Aussage: „$2~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $16000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit“, folgt, lässt sich besser vergleichen, wenn man ihn so umrechnet, dass links vom Doppelpunkt eine $1$ steht. $2:16000$ lässt sich in den Maßstab $1:8000$ umwandeln, wenn man $ 2 \div 2 = 1$ und $16000 \div 2=8000$ berechnet.
    • Genauso geschieht es mit $1000:1$. Dort erhalten wir $1:0,001$, nachdem wir $1$ durch $1000$ geteilt haben. Allerdings versucht man häufig, Kommazahlen in Maßstäben zu vermeiden. Da die linke Zahl hier größer ist als die rechte, liegt eine Vergrößerung vor, konkret um den Faktor $1000$. Auf einer solchen Karte entspräche $1\,\text{cm}$ genau $0,001\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
    • Aus der Aussage: „$6~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $4200~\text{cm}$ in der Wirklichkeit“. können wir einen Maßstab von $6:4200$ ableiten. Teilen wir nun auf beiden Seiten durch $6$, erhalten wir $1:700$.
    • Die Aussage: „$20~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $1,8~\text{m}$ in der Wirklichkeit“, liefert den Maßstab $20:180$, also $1:9$. Hier rechnen wir $1,8~ \text{m}$ zunächst in Zentimeter um und geben dann den Maßstab an.
  • Bestimme den Maßstab der Schiffsmodelle.

    Tipps

    Rechne die Längen vom Original und zugehörigem Modell zunächst in eine gemeinsame Längeneinheit um.

    Beachte, dass links vom Doppelpunkt eine $1$ steht.

    Lösung

    Beispiel 1:

    Die MS Beere ist $270~\text{m}=27000~\text{cm}$ lang. Ihr Modell hat eine Länge von $75~\text{cm}$. Damit erhalten wir als Verhältnis dieser Längen zunächst $75:27000$. Um auf der linken Seite eine $1$ zu erhalten, teilen wir beide Seiten durch $75$. Als Maßstab ergibt sich damit $1:360$.

    Beispiel 2:

    Da das Modell der MS Sol eine Länge von $25~\text{cm}=0,25~ \text{m}$ hat und das Original $200$ Meter lang ist, erhalten wir hier das Längenverhältnis $0,25:200$. Nachdem wir beide Zahlen jeweils durch $0,25$ teilen (oder mit $4$ multiplizieren), um links wieder eine $1$ zu erhalten, folgt der Maßstab $1:800$.

  • Gib die Eigenschaften des betrachteten Maßstabs wieder.

    Tipps

    Der Maßstab $a:b$ beschreibt eine Vergrößerung, wenn $a>b$ ist.

    Ein Mikroskop dient zur Vergrößerung von Objekten.

    Lösung

    Wenn du durch ein Mikroskop schaust, kannst du kleine Dinge vergrößern. Das Bild eines Mikroskops mit $1350$-facher Vergrößerung hat folgende Eigenschaften:

    • Der Maßstab des Bildes ist $1350$ zu $1$, also $1350:1$.
    • $1\ \text{cm}$ im Bild entspricht $\frac 1{1350}\ \text{cm}$ in der Wirklichkeit.
    • Ist das Bild größer als das Original, so wie hier, dann spricht man von einer Vergrößerung.
    • Eine Vergrößerung erkennst du daran, dass die größere Zahl im Maßstab links steht.
  • Ermittle die Längen der Modelle.

    Tipps

    Nur weil das Original einer Sehenswürdigkeit im Vergleich größer ist, muss das zugehörige Modell nicht auch größer sein. Die Größe des Modells hängt nämlich vom jeweiligen Maßstab ab.

    Ist das Original $1$ Meter groß und das Modell im Maßstab $1:120$ angefertigt, so ist das Modell $\frac{1}{120}$ Meter groß.

    Lösung

    Eiffelturm

    Wir wissen, dass das Original eine Höhe von $324\ \text{m}$ hat und das Modell im Maßstab $1:1800$ angefertigt ist. Damit hat das Modell folgende Höhe:

    • $324\ \text{m}:1800=0,18\ \text{m}=18\ \text{cm}$
    Cheops-Pyramide

    Das Modell ist im Maßstab $1:400$ angefertigt. Das Original hat eine Höhe von $146\ \text{m}$ und damit beträgt die Höhe des Modells:

    • $146\ \text{m}:400=0,365\ \text{m}=36,5\ \text{cm}$
    Berliner Fernsehturm

    Die Originalhöhe beträgt $368\ \text{m}$. Mit einem Maßstab von $1:1600$ beträgt die Höhe des Modells dann:

    • $368\ \text{m}:1600=0,23\ \text{m}=23\ \text{cm}$
    Galataturm

    Das Modell im Maßstab $1:100$ des Galataturms, der $67\ \text{m}$ hoch ist, hat eine Höhe von:

    • $67\ \text{m}:100=0,67\ \text{m}=67\ \text{cm}$
    Damit können wir die Modelle wie folgt absteigend der Größe nach sortieren:

    1. Eiffelturm
    2. Fernsehturm
    3. Cheops-Pyramide
    4. Galataturm
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