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Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4)

Willkommen zu meinem vierten und letzten Teil in der vierteiligen Videoreihe, in der die Anwendung der Strahlensätze geübt wird. Im letzten Film haben wir bereits begonnen Streckenverhältnisse für den Dreiecksabschnitt, der Strecke EB, zu benennen. Es gibt allerdings noch viel mehr Bezüge zu dieser Strecke. Um diese herauszufinden, werde ich dir eine neue Methode vorstellen, wie du schnell neue Gleichungen aufstellen kannst. Ich hoffe, du hattest Spaß mit meiner Videoserie und hast das Thema nun besser verstanden! (Teil 4 von 4)

Transkript Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4)

Hallo! Hier ist wieder die Zeichnung, die du, glaube ich, schon kennst aus den vorherigen Filmen. Hier ist das Referenzmodell dazu mit den beiden auseinandernehmbaren Dreiecken. Und jetzt möchte ich mal zeigen, wie du noch zu neuen Streckenverhältnissen kommen kannst, die hier in dieser Zeichnung gleich sind. Und zwar fange ich jetzt mal an, wie im letzten Film auch, mit ED^-/AD^-. Das ist also blauer Dreiecksabschnitt / große blaue Seite. ED^-/AD^-, und das ist so groß wie, naja ... Jetzt muss ich im anderen Bruch natürlich auch mit einem Dreiecksabschnitt anfangen. Es gibt hier nur noch diesen einen. Den roten gibt es nicht. Wir haben hier keinen Dreiecksabschnitt in dieser Figur. Da ist ein gelber Dreiecksabschnitt, der heißt BC^- und wird geteilt durch die große gelbe Seite. Hier haben wir also Abschnitt / große Seite und hier auch Abschnitt / große Seite. Die große gelbe Seite hier heißt AC^-. So und das kennst du schon aus dem letzten Film, dass das wichtig ist. Da ist die Gleichung. Jetzt kommst du rein rechnerisch zu weiteren Gleichungen, indem du nämlich Äquivalenzumformungen anwendest. Zum Beispiel kannst du hier teilen durch die Strecke ED^-. Nur noch einmal der Vollständigkeit halber: Gemeint ist natürlich mit ED^- die Länge der Strecke. Das heißt, die Zahl ist gemeint. Manche schreiben dann noch Betragsstriche dran, ich mache das jetzt nicht. Da ist man sich noch nicht ganz einig geworden, wie man das bezeichnen soll. Also: Wenn du jetzt hier auf dieser linken Seite durch ED^- teilst, dann kannst du ED^- kürzen. Und dann bleibt natürlich nicht AD^- stehen, sondern 1/AD^-. Wenn du 2/3 kürzt, wenn du 2/3 durch 2 teilst, bleibt ja auch nicht 3 stehen, sondern 1/3. Hier ist also das ED^- weggekürzt, 1/AD^- bleibt übrig. Und hier: Du weißt, du kannst einen Bruch teilen durch eine Zahl, indem du die Zahl in den Nenner schreibst und multiplizierst. Also haben wir hier AC^-×ED^-. Diese Gleichung ist auch richtig. Und zwar wegen der Äquivalenzumformungen, so wie hier, wenn man auf beiden Seiten durch das Gleiche teilt. Äquivalenzumformungen führen dazu, dass die Lösungsmenge gleich bleibt und die Gleichung also weiterhin richtig ist. Das bedeutet also, wenn sie hier richtig ist, ist sie auch da richtig und umgekehrt, wenn sie da richtig ist, ist sie hier richtig. Ja, was kannst du jetzt noch machen? Du könntest zum Beispiel mit AC^- multiplizieren. Du kannst auch mit etwas anderem multiplizieren, das bleibt dir völlig unbenommen. Du bist ein freier Mensch, du darfst multiplizieren, womit du möchtest, kein Problem. Also hier kannst du mit AC^- multiplizieren. Ich möchte das mal vormachen. Dann taucht hier wieder ein Zähler AC^- auf: AC^-/AD^-. AC^- tritt dann auch hier im Zähler auf. AC^- kannst du dann kürzen. Übrig bleibt also BC^-/ED^-. So und jetzt haben wir uns nicht darum gekümmert, was das alles bedeutet, aber man kann das ja jetzt machen. Und zwar steht hier AC^-, das ist die Strecke von da bis dort, also hier im Modell die große gelbe Strecke. Die wird geteilt durch AD^-. Also AD^-, das ist die Strecke, das ist hier in dem Modell die große blaue Strecke. Wir haben also große gelbe Strecke / große blaue Strecke = wie BC^- (gelber Abschnitt) / ED^- (blauer Dreiecksabschnitt). Aha! Wie du siehst, du kannst auch die Dreiecksabschnitte durcheinander teilen, wie hier BC^-/ED^-. Gelber Abschnitt / blauer Abschnitt = wie große gelbe Seite / große blaue Seite. Nur der Vollständigkeit halber: Das geht auch dafür, wenn hier die beiden kleinen Seiten stehen. Also gelber Abschnitt / blauer Abschnitt = wie kleine gelbe Seite / kleine blaue Seite. Und damit mag es für diese Zeichnung genügen. Alle Streckenverhältnisgleichungen werde ich nicht aufschreiben. Dafür sind es zu viele. Ich hoffe, du hast genug gesehen. Viel Spaß im Bett, bis dahin. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ich mag dich <3

    Von M Schubert, vor mehr als 6 Jahren

Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (4) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie das Verhältnis der Seitenlängen bestimmt werden kann.

    Tipps

    Das Verhältnis eines Dreiecksabschnittes zu der langen (oder kurzen) Seite ist gleich dem des anderen Dreiecksabschnittes zu der langen (oder kurzen) Seite.

    Die beiden Dreiecke $\Delta ABE$ sowie $\Delta ACD$ sind ähnlich.

    Lösung

    Man kann den Dreiecksabschnitt $\overline{ED}$ durch die entsprechende große Seite $\overline{AD}$ teilen. Dies kann man ebenso mit dem anderen Dreiecksabschnitt und der dazugehörenden langen Seite machen und erhält damit:

    $\frac{\overline{ED}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$.

  • Gib an, wie die Gleichung umgeformt werden kann.

    Tipps

    Wenn eine Gleichung gültig ist, so bleibt die Gültigkeit erhalten, sofern Äquivalenzumformungen durchgeführt werden.

    Äquivalenzumformungen sind

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines beliebigen Terms auf beiden Seiten der Gleichung
    • die Multiplikation mit einer beliebigen Zahl oder einem beliebigen Term ungleich $0$ oder die Division durch eine beliebige Zahl oder einen beliebigen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

    Du kannst dir auch die neue Gleichung anhand der Strahlensatzfigur klarmachen.

    Lösung

    Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

    Man kann durch die Strecke $\overline{ED}$ teilen. Dies führt zu

    $\frac{1}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}\cdot\overline{ED}}$.

    Nun kann man mit $\overline{AC}$ multiplizieren und erhält

    $\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{ED}}$.

    Dies ist eine weitere Gleichung, welche mithilfe der Strahlensätze hergeleitet werden kann.

  • Prüfe, welche der Umformungen die Gleichungen in ihrer Gültigkeit nicht verändern.

    Tipps

    Man darf mit jeder Zahl oder mit jedem Term ungleich $0$ multiplizieren.

    Man darf durch jede Zahl oder durch jeden Term ungleich $0$ dividieren.

    Überlege dir, welche Bedeutung zum Beispiel $\overline{AA}$ hat.

    Lösung

    Man kann diese Gleichung äquivalent umformen, indem man auf beiden Seiten

    • mit einer beliebigen Zahl oder einem beliebigen Term ungleich $0$ multipliziert oder
    • durch eine beliebige Zahl oder einen beliebigen Term ungleich $0$ dividiert.
    Man kann auf beiden Seiten
    • mit $\overline{BC}$ zu $\overline{AB}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{BC}}{\overline{ED}}$ oder
    • mit $\overline{ED}$ zu $\frac{\overline{AB}\cdot \overline{ED}}{\overline{BC}}=\overline{AE}$
    multiplizieren. Man kann auch auf beiden Seiten
    • durch $\overline{AB}$ zu $\large\frac{1}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}\cdot \overline{AB}}$ oder
    • durch $\overline{AE}$ zu $\large\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}\cdot \overline{AE}}=\frac{1}{\overline{ED}}$
    dividieren.

    Sowohl die Multiplikation mit oder die Division durch, zum Beispiel, $\overline{AA}$ ist nicht möglich, da eine Multiplikation mit oder eine Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

    Sicher kann man auch mit Zahlen multiplizieren, nur geht es in diesem Zusammenhang um Umformungen der Gleichung.

  • Leite eine Gleichung zur Bestimmung von $\overline{AD}$ her.

    Tipps

    Du darfst nur Äquivalenzumformungen durchführen.

    Äquivalenzumformungen sind

    • das Multiplizieren mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ oder
    • das Dividieren durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$.

    Am Ende steht $\large\overline{AD}$ auf einer der beiden Seiten der Gleichung alleine.

    Lösung

    Diese Gleichung soll nach $\overline{AD}$ umgeformt werden.

    Hierfür kann man zunächst mit $\overline{AD}$ multiplizieren zu

    $\overline{ED}=\frac{\overline{BC}\cdot \overline{AD}}{\overline{AC}}$.

    Nun kann mit $\overline{AC}$ multipliziert werden zu

    $\overline{ED}\cdot\overline{AC}=\overline{BC}\cdot \overline{AD}$.

    Zu guter Letzt wird durch $\overline{BC}$ dividiert zu

    $\frac{\overline{ED}\cdot\overline{AC}}{\overline{BC}}=\overline{AD}$.

    Dieses Umformen ist wichtig, wenn einige Größen bekannt sind und nach der unbekannten Größe aufgelöst werden soll.

  • Fasse die Bedeutung der umgeformten Gleichung zusammen.

    Tipps

    Sind $\overline{BC}$ und $\overline{BD}$ ganze Dreiecksseiten?

    Die beiden Dreiecke $\Delta ABE$ sowie $\Delta ACD$ sind ähnlich zueinander.

    Die Verhältnisse stimmen auch dann überein, wenn die jeweils kürzeren Seiten betrachtet werden.

    Eine Möglichkeit, sich die Strahlensätze klarzumachen, ist die, dass Verhältnisse farblich gleicher Seiten zueinander übereinstimmen.

    Lösung

    Was sagt diese Gleichung aus?

    Wenn man die Dreiecksabschnitte teilt, so ist das Verhältnis das gleiche wie das der entsprechenden langen Seiten und dies ist auch das gleiche wie das der entsprechenden kleinen Seiten.

  • Bestimme den Umfang des kleinen sowie des großen Dreiecks.

    Tipps

    Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der einzelnen Seiten.

    Du kannst die grüne Seite, bei welcher alle Größen bekannt sind, zur Bestimmung der Seitenverhältnisse verwenden.

    Von beiden Dreiecken sind bereits zwei Seiten bekannt.

    Lösung

    Es gilt, dass das Verhältnis der langen grünen Seite zu der kurzen ebenso groß ist wie das Verhältnis der langen blauen Seite zu der kurzen. Die lange blaue Seite ist unbekannt, diese sei $x$. Damit erhält man die Gleichung

    $\frac{20+10}{20}=\frac{x}{10}$.

    Durch Multiplikation mit $10$ gelangt man zu $x=\frac32\cdot10=15$.

    Damit kann bereits der Umfang des großen Dreiecks berechnet werden. Dieser ist

    $30+15+39=84$.

    Nun fehlt noch die kurze rote Seite, diese sei $y$. Es gilt, mit der gleichen Argumentation wie oben,

    $1,5=\frac{39}y$.

    Nun muss mit $y$ multipliziert und durch $1,5$ dividiert werden zu

    $y=\frac{39}{1,5}=26$.

    Damit kann auch der Umfang des kleineren Dreiecks berechnet werden. Dieser ist

    $20+10+26=56$.

    Übrigens: Das $1,5$fache des Umfangs des kleinen Dreiecks ist der des großen.

    $~$

    Dies ist nur ein Beispiel, um auf die gesuchten Seitenlängen zu kommen. Du kannst auch andere Strahlensätze nutzen, zum Beispiel gilt auch:

    $\frac{\text{grüne Abschnitt des kleinen Dreiecks}}{\text{blaue Seite des kleinen Dreiecks}} = \frac{\text{grüne Seite des großen Dreiecks}}{\text{blaue Seite des großen Dreiecks}}$

    Also:

    $\frac{20}{10} = \frac{30}{x}$. Wobei $x$ die Länge der blauen Seite des großen Dreiecks ist.

    Damit gilt:

    $\begin{align} 2 &= \frac{30}{x} &\vert& \cdot x\\ x \cdot 2 &= 30 &\vert& :2\\ x &= 15 &~&\\ \end{align}$

    Somit beträgt die Länge der blauen Seite des großen Dreiecks 15 Längeneinheiten.

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