Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2)

Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2) Übung

• Bestimme zwei Seitenverhältnisse, die dem Seitenverhältnis $\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}$ entsprechen.

  Tipps

  Verwende diese ähnlichen Dreiecke, welche der obigen Strahlensatzsituation bei gleicher Bezeichnung der Eckpunkte entsprechen.

  Die Verhältnisse einander entsprechender Seiten ähnlicher Dreiecke stimmen überein.

  Lösung

  Es gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander übereinstimmen.

  Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben Seite jeweils gleich ist:

  $\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{CD}}$.

• Ermittle ein weiteres Seitenverhältnis, indem du $\frac{\overline{AE}}a=\frac b{\overline{BC}}$ vervollständigst.

  Tipps

  Betrachtet werden hier die Dreiecksabschnitte und deren Verhältnisse zu Dreiecksseiten.

  Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Teilungsverhältnisse überein.

  Lösung

  Das Verhältnis der Seite $\overline{AE}$ zu dem Dreiecksabschnitt $\overline{ED}$ ist gleich dem Verhältnis von $\overline{AB}$ zu dem Dreiecksabschnitt $\overline{BC}$.

  Dies bedeutet:

  $\Large{\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}}=\frac {\overline{AB}}{\overline{BC}}}$.

• Entscheide, welche der Seitenverhältnisse korrekt sind.

  Tipps

  Du kannst dir die Seitenverhältnisse auch an diesen beiden ähnlichen Dreiecken klarmachen. Die Bezeichnung der Ecken ist angepasst an die Strahlensatzfigur oben.

  Es gilt, dass

  • entweder die Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks mit den Seitenverhältnissen im ähnlichen Dreieck
  • oder die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke

  übereinstimmen.

  Beachte:

  Wenn $\large{\frac gh=\frac lk}$ gilt, dann gilt dies auch für den Kehrwert

  $\large{\frac hg=\frac kl}$.

  Lösung

  Hier sind die ähnlichen Dreiecke zu erkennen, welche durch die oben zu sehende Strahlensatzfigur entstehen. Die Bezeichnungen der Eckpunkte stimmen überein:

  Entweder gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander oder das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks mit dem Verhältnis der entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks übereinstimmt.

  Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben Seite jeweils gleich ist:

  $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{BE}}$.

  Wenn man Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks jeweils mit dem Seitenverhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck vergleicht, gilt:

  • blau zu rot: $\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}$.
  • blau zu gelb: $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.
  • rot zu gelb: $\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$.

  Zusätzlich kann man noch für die Dreiecksabschnitte die folgenden Gleichungen aufstellen:

  • $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}}$ sowie
  • $\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}$.

  Mit jedem dieser Seitenverhältnisse gilt auch Gleichheit bei den jeweiligen Kehrwerten.

• Prüfe, welche Seite fehlt, damit die Seitenverhältnisse übereinstimmen.

  Tipps

  Du kannst dir die Seitenverhältnisse in den farbigen ähnlichen Dreiecken klarmachen.

  Entweder du bestimmst die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke oder bildest das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck; dieses ist identisch mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck.

  Die Seitenverhältnisse bleiben auch identisch, wenn man den Kehrwert bildet.

  Lösung

  Man kann sich die jeweiligen Seitenverhältnisse in den farbigen Dreiecken anschauen und jeweils aufgrund der Eigenschaften ähnlicher Dreiecke die fehlenden Seiten herleiten.

  Entweder man bestimmt die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke oder bildet das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck; dieses ist identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck:

  • Das Verhältnis der langen gelben zu der kurzen Seite sowie der langen blauen zu der kurzen Seite sowie der langen roten zu der kurzen Seite sind identisch: $\frac fe=\frac db=\frac ca$.
  • Das Verhältnis der roten zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac ba=\frac dc$.
  • Das Verhältnis der roten zu der gelben Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac be=\frac df$.
  • Das Verhältnis der gelben zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac ea=\frac fc$.

  Jede dieser Gleichungen gilt auch für den Kehrwert.

• Ergänze die Erklärung zu der Strahlensatzfigur.

  Tipps

  Schau dir die Strahlensatzfigur an. Was fällt dir bei den roten Geraden auf?

  Wenn du die farbigen Dreiecke in die Strahlensatzfigur schieben würdest, könntest du erkennen, dass diese deckungsgleich sind mit den Dreiecken, welche die gleichen Eckpunkte haben.

  Lösung

  Hier ist eine Strahlensatzfigur zu sehen:

  • Zwei Strahlen $AD$ und $AC$ werden
  • von zwei parallelen Geraden $BE$ und $CD$

  geschnitten.

  Die Strahlensätze beantworten die Frage: Welche Streckenverhältnisse liegen in den resultierenden ähnlichen Dreiecken vor?

  Die Strahlensatzfigur führt zu ähnlichen Dreiecken $\Delta ABE$ und $\Delta ACD$.

  Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich groß sind. Damit können auch die Strahlensätze hergeleitet werden.

• Bestimme die fehlenden Seiten.

  Tipps

  Die Seitenlängen in dem kleineren Dreieck sind $x$, $25$ und $10$, die in dem äußeren $y$, $33$ und $22$.

  Du kannst jeweils den Quotienten von Seiten gleicher Farben in dem großen und kleinen Dreieck bilden.

  Es gilt dann $\large{\frac{22}{10}=\frac{y}{25}}$.

  Lösung

  Zur Berechnung von $x$ kann man das folgende Verhältnis verwenden: Die längere blaue Seite verhält sich zu der kürzeren blauen wie die längere rote zu der kürzeren roten:

  $\frac{22}{10}=\frac{33}x$.

  Nun wird mit $x$ multipliziert und durch $2,2$ dividiert und man erhält

  $x=\frac{33}{2,2}=15$.

  Ebenso kann $y$ berechnet werden. Die längere blaue Seite verhält sich zu der kürzeren blauen wie die längere grüne zu der kürzeren grünen:

  $\frac{22}{10}=\frac{y}{25}$.

  Nun wird mit $25$ multipliziert und man erhält

  $y=2,2\cdot 25=55$.