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Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2)

Willkommen zu meinem zweiten Teil in der vierteiligen Videoreihe, in der die Anwendung der Strahlensätze geübt wird. Im letzten Teil habe ich gezeigt, welche Längenverhältnisse für die Strecke AE gelten. Die Längenverhältnisse, die ich bereits mithilfe der Strahlensätze ausmachen konnte, möchte ich nun ergänzen. Mir fallen da spontan noch drei weitere Bezüge von Längenverhältnisse ein, die ich mit der Anwendung des Strahlensatzes herstellen kann. m Video zeige ich dir, welche! (Teil 2 von 4)

Transkript Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2)

Hallo! Im letzten Film habe ich gezeigt, dass diese Längenverhältnisse, die die hier stehen, gleich sind, die sind gleich, die sind gleich, das bezieht sich hier auf diese Zeichnung. Und jetzt möchte ich mal zeigen, was da noch alles gilt. Hier kommt das mal erst weg. Und um der Vollständigkeit halber, diese Zeichnung hier sieht so ähnlich aus wie diese beiden Dreiecke, die hier übereinander liegen. Dann kannst du dir also leicht vorstellen, was du teilen kannst, welche Streckenverhältnisse gleich sind, welche Längenverhältnisse gleich sind, mein Thema das, jeweils dasselbe. Und ich hab jetzt mal mit der Seite A E angefangen, also der hier, das heißt in dem Fall hier die kleine Blaue. Das möchte ich jetzt auch mal machen. Also, los geht es. A E ist gleich, also hier ist die Streckenlänge gemeint, mit diesem A E, nicht wahr. Das ist jetzt die kleine blaue Seite, und die möchte ich jetzt durch die große blaue Seite teilen. Hier ist die große blaue Seite, so liegen die übereinander. Dann entsteht ungefähr diese Figur, wenn die so liegen. Die große blaue Seite ist in dem Fall hier die Strecke A D, und das ist gleich. So, also erst mal kommt der Bruchstrich hierhin. Was könnte es sein. Ich nehme hier jetzt mal die kleine gelbe Seite, da ist sie, die kleine gelbe Seite, geteilt durch die große gelbe Seite. Das ist auf jeden Fall gleich. Und wenn die so liegen ist hier die kleine gelbe Seite die Strecke A B. Und das kann ich teilen durch die große gelbe Seite, das ist hier die Strecke A C. Das geht natürlich auch; na, ich kann das hier noch abteilen, so. Das geht natürlich auch mit A E geteilt durch A D, also kleine, blaue Seite geteilt durch große, blaue Seite, hier kleine Blaue durch große Blaue. Das kann ich auch teilen, also dieses Seitenverhältnis hier ist genauso groß wie kleine, rote Seite geteilt durch große rote Seite. Hier heißt die kleine rote Seite B E, geteilt durch große rote Seite, hier ist das also C D. Da sind die Streckenverhältnisse. So, und damit noch nicht genug. Ich habe hier noch nicht von den Dreiecksabschnitten erzählt. Ich kann weiter anfangen mit A E, hier ist A E. Das ist die kleine blaue Seite wieder, die hier. Wenn man das so auseinanderzieht, sieht man das. Und nur, wenn die jetzt so übereinander liegen, dann siehst du hier den blauen Dreiecksabschnitt. Du kannst also auch rechnen: kleine blaue Seite, hier, von da bis da, geteilt durch Dreiecksabschnitt, blauer Abschnitt. Das ist in dem Fall E D. A E durch E D ist wie, und hier gibt es jetzt nur noch 1 Möglichkeit. Die Roten kann ich nicht nehmen, denn die Roten sind hier ganze Dreiecksseiten, die du siehst, die kann ich jetzt hier nicht gleichsetzen, sondern ich muss hier auch eine Dreiecksseite nehmen und einen Dreiecksabschnitt. Das ist also hier die kleine gelbe Seite geteilt durch den gelben Dreiecksabschnitt. Kleine gelbe Seite durch gelber Dreiecksabschnitt. Kleine gelbe Seite heißt hier A B, geteilt durch Dreiecksabschnitt, also B C. Gelber Dreiecksabschnitt, der heißt hier B C. So, damit soll es erst einmal reichen. Es gibt noch mehr Bezüge untereinander, wenn man nämlich nicht mit A E anfängt. Das kommt demnächst. Bis dann. Tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. ich habe eine Frage was ist wenn die strecke CD gesucht ist und man nur AE ED und BE gegeben hat zu welchem verhältniss muss ich es setzen damit ich CD berechnen kann ?

    Von Science123, vor mehr als 8 Jahren
  2. nein

    Von H. B., vor mehr als 11 Jahren
  3. Man kann doch auch den kleinen blauen Dreicksabschnitt geteilt durch die große blaue Seite rechnen, statt kleine blaue Seite geteilt durch blauer Abschnitt, oder ?

    Von Lilia S., vor mehr als 11 Jahren

Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme zwei Seitenverhältnisse, die dem Seitenverhältnis $\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}$ entsprechen.

    Tipps

    Verwende diese ähnlichen Dreiecke, welche der obigen Strahlensatzsituation bei gleicher Bezeichnung der Eckpunkte entsprechen.

    Die Verhältnisse einander entsprechender Seiten ähnlicher Dreiecke stimmen überein.

    Lösung

    Es gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander übereinstimmen.

    Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben Seite jeweils gleich ist:

    $\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{CD}}$.

  • Ermittle ein weiteres Seitenverhältnis, indem du $\frac{\overline{AE}}a=\frac b{\overline{BC}}$ vervollständigst.

    Tipps

    Betrachtet werden hier die Dreiecksabschnitte und deren Verhältnisse zu Dreiecksseiten.

    Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Teilungsverhältnisse überein.

    Lösung

    Das Verhältnis der Seite $\overline{AE}$ zu dem Dreiecksabschnitt $\overline{ED}$ ist gleich dem Verhältnis von $\overline{AB}$ zu dem Dreiecksabschnitt $\overline{BC}$.

    Dies bedeutet:

    $\Large{\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}}=\frac {\overline{AB}}{\overline{BC}}}$.

  • Entscheide, welche der Seitenverhältnisse korrekt sind.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse auch an diesen beiden ähnlichen Dreiecken klarmachen. Die Bezeichnung der Ecken ist angepasst an die Strahlensatzfigur oben.

    Es gilt, dass

    • entweder die Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks mit den Seitenverhältnissen im ähnlichen Dreieck
    • oder die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke
    übereinstimmen.

    Beachte:

    Wenn $\large{\frac gh=\frac lk}$ gilt, dann gilt dies auch für den Kehrwert

    $\large{\frac hg=\frac kl}$.

    Lösung

    Hier sind die ähnlichen Dreiecke zu erkennen, welche durch die oben zu sehende Strahlensatzfigur entstehen. Die Bezeichnungen der Eckpunkte stimmen überein:

    Entweder gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander oder das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks mit dem Verhältnis der entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks übereinstimmt.

    Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben Seite jeweils gleich ist:

    $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{BE}}$.

    Wenn man Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks jeweils mit dem Seitenverhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck vergleicht, gilt:

    • blau zu rot: $\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}$.
    • blau zu gelb: $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.
    • rot zu gelb: $\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$.
    Zusätzlich kann man noch für die Dreiecksabschnitte die folgenden Gleichungen aufstellen:
    • $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}}$ sowie
    • $\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}$.
    Mit jedem dieser Seitenverhältnisse gilt auch Gleichheit bei den jeweiligen Kehrwerten.

  • Prüfe, welche Seite fehlt, damit die Seitenverhältnisse übereinstimmen.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse in den farbigen ähnlichen Dreiecken klarmachen.

    Entweder du bestimmst die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke oder bildest das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck; dieses ist identisch mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck.

    Die Seitenverhältnisse bleiben auch identisch, wenn man den Kehrwert bildet.

    Lösung

    Man kann sich die jeweiligen Seitenverhältnisse in den farbigen Dreiecken anschauen und jeweils aufgrund der Eigenschaften ähnlicher Dreiecke die fehlenden Seiten herleiten.

    Entweder man bestimmt die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke oder bildet das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck; dieses ist identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck:

    • Das Verhältnis der langen gelben zu der kurzen Seite sowie der langen blauen zu der kurzen Seite sowie der langen roten zu der kurzen Seite sind identisch: $\frac fe=\frac db=\frac ca$.
    • Das Verhältnis der roten zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac ba=\frac dc$.
    • Das Verhältnis der roten zu der gelben Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac be=\frac df$.
    • Das Verhältnis der gelben zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen Dreieck: $\frac ea=\frac fc$.
    Jede dieser Gleichungen gilt auch für den Kehrwert.

  • Ergänze die Erklärung zu der Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Schau dir die Strahlensatzfigur an. Was fällt dir bei den roten Geraden auf?

    Wenn du die farbigen Dreiecke in die Strahlensatzfigur schieben würdest, könntest du erkennen, dass diese deckungsgleich sind mit den Dreiecken, welche die gleichen Eckpunkte haben.

    Lösung

    Hier ist eine Strahlensatzfigur zu sehen:

    • Zwei Strahlen $AD$ und $AC$ werden
    • von zwei parallelen Geraden $BE$ und $CD$
    geschnitten.

    Die Strahlensätze beantworten die Frage: Welche Streckenverhältnisse liegen in den resultierenden ähnlichen Dreiecken vor?

    Die Strahlensatzfigur führt zu ähnlichen Dreiecken $\Delta ABE$ und $\Delta ACD$.

    Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich groß sind. Damit können auch die Strahlensätze hergeleitet werden.

  • Bestimme die fehlenden Seiten.

    Tipps

    Die Seitenlängen in dem kleineren Dreieck sind $x$, $25$ und $10$, die in dem äußeren $y$, $33$ und $22$.

    Du kannst jeweils den Quotienten von Seiten gleicher Farben in dem großen und kleinen Dreieck bilden.

    Es gilt dann $\large{\frac{22}{10}=\frac{y}{25}}$.

    Lösung

    Zur Berechnung von $x$ kann man das folgende Verhältnis verwenden: Die längere blaue Seite verhält sich zu der kürzeren blauen wie die längere rote zu der kürzeren roten:

    $\frac{22}{10}=\frac{33}x$.

    Nun wird mit $x$ multipliziert und durch $2,2$ dividiert und man erhält

    $x=\frac{33}{2,2}=15$.

    Ebenso kann $y$ berechnet werden. Die längere blaue Seite verhält sich zu der kürzeren blauen wie die längere grüne zu der kürzeren grünen:

    $\frac{22}{10}=\frac{y}{25}$.

    Nun wird mit $25$ multipliziert und man erhält

    $y=2,2\cdot 25=55$.

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