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Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1)

Willkommen zu meiner vierteiligen Videoreihe, in der die Anwendung der Strahlensätze geübt wird. Du solltest also bereits die Idee der Strahlensätze kennen. Wenn das der Fall ist werde ich dir nun ein paar Beispiele dafür geben, wie mit Strahlensätzen gerechnet wird. Dafür habe ich eine Strahlensatz Figur vorbereitet. An dieser möchte ich nun verschiedene Streckenverhältnisse als Gleichungen ausdrücken. Als erstes möchte ich hieran das Verhältnis der Strecke AE beschreiben. (Teil 1 von 4)

Transkript Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1)

Hallo!
Eine typische Aufgabe, die Strahlensätze betreffend, kannst du hier sehen. Das heißt, nicht die Aufgabe, sondern nur die Zeichnung dazu. So sieht das aus, hier sind 2 rote, parallele Geraden angedeutet, hier sind 2 schwarze Strahlen, die jetzt von A ausgehen, meistens heißt es auch Z, aber ist auch völlig Wurst, wie man es bezeichnet. Und die Frage ist dann meist, welche Streckenverhältnisse gelten in dieser Zeichnung oder in dieser Figur. Damit du das schön nachvollziehen kannst, habe ich hier mal die beiden ähnlichen Dreiecke vorbereitet. Die lege ich jetzt mal so zusammen, und nur mal so zu Demonstrationszwecken hier daneben. Du bemerkst also, die Ähnlichkeit ist verblüffend. Hier diese roten Geraden sind so ähnlich wie diese roten Geraden hier. Ähnlich jetzt nicht im mathematischen Sinne. Die beiden schwarzen Strahlen werden jetzt hier ein blauer Strahl und ein gelber Strahl. So hast du also die Möglichkeit, hier diese Dreiecke dabei zu benutzen, wenn du dir überlegst, welche Längenverhältnisse sind in dieser Zeichnung hier gleich. Ich möchte mal anfangen mit der Strecke AE, es ist die hier. Und wenn ich das jetzt mal vergleiche mit den Dreiecken, die ich hier liegen habe, dann wäre das also die kleine blaue Seite, diese hier, das ist die Strecke AE. Was gilt für die Strecke AE? Ich schreibe das Mal hier auf. Das ist die Strecke AE. Dazu muss ich noch sagen, es gibt mehrere Bezeichnungsweisen für Strecken. Das ist eine davon, da kommt einfach über die beiden Buchstaben ein Strich drüber und gemeint ist die Strecke, die von A zu E führt. Es gibt aber auch mit Betragsstrichen hier. Also, hier meine ich natürlich nicht die Strecke selber, sondern die Länge der Strecke, die ja eine Zahl ist. Manche schreiben dann eben noch die Betragsstriche dazu, manche schreiben auch diesen Querstrich oben nicht und nur die Betragsstriche, womit dann auch die Streckenlänge gemeint ist. Immer ist die Streckenlänge gemeint. Ich werde hier diese Bezeichnung benutzen. Ich hoffe, das bringt dich nicht durcheinander. Dann kann ich also die Strecke AE teilen, das ist hier die kleine blaue Strecke, da ist die Strecke AE. Und die möchte ich jetzt mal rein willkürlich teilen durch die kleine, gelbe Strecke. Das ist also hier die Strecke AB. Da muss ich hier den Bruchstrich natürlich auch entsprechend groß machen, damit man weiß, was gemeint ist. Das teile ich also, AE^- teile ich durch die Strecke AB^-. Und das ist gleich, na ja, wir haben gesagt, kleine Seite durch kleine Seite ist wie große Seite durch große Seite. Also bleibt mir nichts anderes übrig, als hier die große blaue durch die große gelbe Seite zu teilen. Die große Blaue ist in dem Fall AD^- geteilt durch, also AD^-, und ich habe gesagt, durch die große Gelbe, die große gelbe Seite ist also in dem Fall AC^-. Damit haben wir das 1. Längenverhältnis, und es gibt noch mehr Längenverhältnisse, die AE^- betreffen. Ich fange mal wieder mit AE^- an und suche mir was anderes aus. Hier kann ich vielleicht noch mal einen Strich entlang ziehen, damit du weißt, das es hier nicht zusammengehört. Da ist ein roter Strich, das gehört nicht zusammen. Ich hoffe, du siehst das. AE^- könnte ich auch teilen. AE^- ist hier die kleine, blaue Strecke, kann ich teilen durch die kleine, rote Strecke, warum nicht. Die kleine, rote Strecke ist die hier. Entsprechend ist es die Strecke EB^- oder BE^-, ist mir Wurst. Also, ich schreibe mal BE^- hin. Dann habe ich also kleine Strecke durch kleine Strecke, kleine Blaue durch kleine Rote ist wie große Blaue durch große Rote. Also, große, blaue Strecke ist hier AD^- geteilt durch die große rote Strecke, das ist CD^-, also diese hier. Damit haben wir dann 2 Verhältnisse gezeigt. Und im nächsten Film zeige ich noch mehr darüber. Bis dann, tschüss!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. ^^
    #LOL #rofl #xD

    Von Der Jan, vor mehr als 3 Jahren
  2. @Odin Tim: Bitte wende dich mit deinen Fragen an den Mathe-Fachchat, der täglich von 17 bis 19 Uhr online ist. Dort erhältst du am schnellsten Hilfe und kannst konkretere Fragen stellen. Viele Grüße!

    Von Sarah Kriz, vor fast 6 Jahren
  3. Was macht man wenn nicht klar ist welche Strecke kleiner ist?

    Von Odin Tim, vor fast 6 Jahren
  4. Besser hätte es meine Lehrerin nicht erklären können XD

    Von Tina K, vor etwa 6 Jahren
  5. Danke für die tollen Videos.Sogar meine Mutter hats verstanden :D

    Von Lululukas, vor etwa 8 Jahren
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Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie das Verhältnis der Seitenlängen bestimmt werden kann.

    Tipps

    In ähnlichen Dreiecken gilt:

    • Entweder teilt man innerhalb eines der beiden Dreiecke zwei Seiten. Das Ergebnis ist das gleiche wie beim Teilen der beiden entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck.
    • Oder man teilt einander entsprechende Seiten der beiden Dreiecke und erhält immer das gleiche Ergebnis.

    Dadurch, dass die beiden roten Geraden parallel zueinander sind, entstehen zwei ähnliche Dreiecke.

    Zum Beispiel gilt

    $\frac{\overline{CD}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$.

    Lösung

    Um Seitenverhältnisse mit den Strahlensätzen herzuleiten, kann man sich die obige Strahlensatzfigur anschauen:

    Man kann zum Beispiel mit der Strecke $\overline{AE}$ anfangen. Diese kann man durch die Strecke $\overline{AB}$ teilen.

    Da die Division einer kleinen Seite durch eine andere kleine Seite das gleiche Verhältnis ausdrückt wie die Division der entsprechenden großen Seiten, erhält man:

    $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.

  • Ermittle ein weiteres Seitenverhältnis am Beispiel der gegebenen Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Schau dir diese ähnlichen Dreiecke an.

    In ähnlichen Dreiecken gilt, dass das Verhältnis von Seiten innerhalb eines Dreiecks mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck übereinstimmt.

    Zum Beispiel ist

    $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.

    Lösung

    Man kann sich die Seitenverhältnisse auch an den beiden ähnlichen Dreiecken klarmachen. Die Bezeichnungen der Ecken entsprechen denen in der Strahlensatzfigur:

    Die Seite $\overline{AE}$ ist die blaue in dem kleineren Dreieck und $\overline{BE}$ die rote. Das Verhältnis entspricht dem der entsprechenden Seiten in dem größeren Dreieck:

    $\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}$.

  • Entscheide, welche der Seitenverhältnisse korrekt sind.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse auch an diesen beiden ähnlichen Dreiecken klarmachen. Die Bezeichnung der Ecken ist angepasst an die Strahlensatzfigur oben.

    Es gilt, dass

    • entweder die Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck
    • oder die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke
    übereinstimmen.

    Beachte:

    Wenn $\frac gh=\frac lk$ gilt, dann gilt dies auch für den Kehrwert

    $\frac hg=\frac kl$.

    Lösung

    Entweder gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander übereinstimmen oder das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks mit dem der entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks.

    Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben Seite jeweils gleich ist:

    $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{BE}}$.

    Wenn man Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks jeweils mit dem Seitenverhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck vergleicht:

    • blau zu rot: $\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}$.
    • blau zu gelb: $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.
    • rot zu gelb: $\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$.
    Mit jedem dieser Seitenverhältnisse gilt auch Gleichheit bei den jeweiligen Kehrwerten.

  • Prüfe, welche Seitenlänge fehlt, damit die Seitenverhältnisse übereinstimmen.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse an den farbigen, ähnlichen Dreiecken klarmachen.

    Entweder ist das Verhältnis zweier Seiten innerhalb eines Dreiecks gleich zu dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck.

    Oder die Verhältnisse einander entsprechender Seiten in den beiden Dreiecken sind gleich.

    Lösung

    Wenn man sich die jeweiligen Seitenverhältnisse in den farbigen Dreiecken anschaut, kann man jeweils aufgrund der Eigenschaften ähnlicher Dreiecke die fehlenden Seiten herleiten:

    • $\frac ac=\frac bd$
    • $\frac fe=\frac db$
    • $\frac be=\frac df$

  • Ergänze die Erklärung zu der Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Deckungsgleiche Dreiecke sind auch ähnlich. Umgekehrt gilt dies nicht.

    Schau dir die Strahlensatzfigur an. Was fällt dir bei den roten Geraden auf.

    Diese beiden Dreiecke sind ähnlich aber nicht deckungsgleich.

    Lösung

    Hier ist eine Strahlensatzfigur zu sehen:

    • Zwei Strahlen werden
    • von zwei parallelen Geraden
    geschnitten.

    Die Strahlensätze beantworten die Frage: Welche Streckenverhältnisse liegen in den resultierenden ähnlichen Dreiecken vor?

    Die Strahlensatzfigur führt zu ähnlichen Dreiecken $\Delta ABE$ und $\Delta ACD$.

    Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich groß sind. Damit können auch die Strahlensätze hergeleitet werden.

  • Arbeite die Länge der Seite $x$ heraus.

    Tipps

    Schau dir in dem obigen Bild die einander entsprechenden Seiten an: Du kannst entweder jeweils die längere durch die kürzere oder die kürzere durch die längere teilen.

    Du erhältst eine Gleichung, in welcher die Unbekannte $x$ vorkommt.

    Forme diese Gleichung nach $x$ um.

    Lösung

    In dem Dreieck sind die Längen der längeren blauen mit $25$ Längeneinheiten und der kürzeren mit $10$ Längeneinheiten bekannt. Ebenso ist die Länge der längeren roten Strecke bekannt: $50$ Längeneinheiten. Gesucht ist die Länge der kürzeren roten Strecke.

    Mit Hilfe der Strahlensätze kann man die Gleichung

    $\frac{25}{10}=\frac{50}x$

    herleiten.

    Diese kann wie folgt nach $x$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} \frac{25}{10}&=\frac{50}x\\ 2,5&=\frac{50}x&|&\cdot x\\ 2,5x&=50&|&:2,5\\ x&=20. \end{align*}$

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