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Strahlensätze – Einführung (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensätze – Einführung (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensätze – Einführung (1)

In jeder Strahlensatzfigur sind zwei Dreiecke enthalten. Wenn du diese sehen kannst, ist es bis zur Lösung der Aufgabe nicht mehr weit. Deshalb sehen wir uns in diesem Video die Strahlensatzfiguren mit den enthaltenen Dreiecken an. Gerechnet wird dabei nicht so viel, weil sich viele solcher (Strahlensatz-)Aufgaben (fast) schon durch Hingucken erledigen.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Schönes Video, taucht leider nicht direkt auf, wenn man nach Strahlensätze sucht, der erste Treffer war ein Video, in dem mit den komplizierten Streckenbezeichnungen gearbeitet wurde. Das verleitet so manchen Schüler sicher zum Auswendiglernen. Dieses Video sorgt hingegen für wirkliches Verständnis.

    Von Eschemann Schule, vor 3 Monaten

Strahlensätze – Einführung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze – Einführung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften von Strahlensatzfiguren an.

    Tipps

    Wenn du ein Dreieck mittels zentrischer Streckung vergrößerst oder verkleinerst, so sind Originalfigur und Bildfigur ähnliche Dreiecke.

    Eine Strahlensatzfigur kann sich auch aus vier Geraden zusammensetzen. Allerdings dürfen nur zwei dieser Geraden parallel zueinander sein. Alle anderen müssen sich jeweils einmal schneiden. Hierbei müssen fünf unterschiedliche Schnittpunkte vorliegen.

    Hier siehst du eine Strahlensatzfigur.

    Lösung

    Die Strahlensätze ermöglichen uns oftmals eine einfache Bestimmung fehlender Längen. Hierzu ist es allerdings sehr wichtig, die Beziehung der Längen zueinander korrekt festzulegen, sodass eine Strahlensatzfigur vorliegt. Strahlensatzfiguren haben folgende Eigenschaften:

    • Sie setzen sich aus zwei Strahlen (rot und gelb), die denselben Anfangspunkt haben, und zwei zueinander parallelen Geraden (grün), die diese Strahlen schneiden, zusammen. Allerdings kann eine Strahlensatzfigur auch aus vier Geraden bestehen, von denen genau zwei parallel zueinander sein müssen. Alle anderen müssen sich jeweils in einem Punkt schneiden. Hierbei müssen fünf unterschiedliche Schnittpunkte vorliegen.
    • Eine Strahlensatzfigur enthält demnach zwei ähnliche Dreiecke. Stell dir ein Dreieck vor, das du mittels zentrischer Streckung vergrößern möchtest. Als Streckzentrum wählst du einen Eckpunkt des Dreiecks. Das Ergebnis der zentrischen Streckung mit positivem Streckfaktor liefert dann eine Strahlensatzfigur. Figuren, die du zentrisch streckst, sind ähnliche Figuren.
    • Die Seitenverhältnisse der Seiten ähnlicher Dreiecke sind stets gleich.
  • Bestimme, bei welchen Figuren es sich um Strahlensatzfiguren handelt.

    Tipps

    Eine Strahlensatzfigur enthält zwei ähnliche Dreiecke.

    Dreiecke sind ähnlich, wenn die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten gleich sind und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

    Lösung

    Strahlensatzfiguren besitzen folgende Eigenschaften:

    • Sie setzen sich aus zwei Strahlen, die denselben Anfangspunkt haben, und zwei zueinander parallelen Geraden, die diese Strahlen schneiden, zusammen. Hier liegen insgesamt fünf Schnittpunkte vor.
    • Sie besteht aus vier Geraden, von denen genau zwei parallel zueinander sind. Alle anderen müssen sich jeweils in einem Punkt schneiden. Hierbei müssen insgesamt fünf unterschiedliche Schnittpunkte vorliegen.
    • Eine Strahlensatzfigur enthält zwei ähnliche Dreiecke. Das heißt, dass die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten gleich sind und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind. Demnach stellen folgende Bilder Strahlensatzfiguren dar:
    Strahlensatzfigur nach der ersten Definition von oben
    • Reihe 1 Bild 1
    • Reihe 2 Bild 2
    • Reihe 2 Bild 3
    Strahlensatzfigur nach der zweiten Definition von oben
    • Reihe 2 Bild 1
    Keine Strahlensatzfiguren
    • Reihe 1 Bild 2
    Die beiden in gelb eingezeichneten Geraden sind nicht parallel zueinander.
    • Reihe 1 Bild 3
    Die beiden Strahlen (gelb und grün) sind parallel, haben also keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
  • Ermittle die ähnlichen Dreiecke in der gegebenen Figur.

    Tipps

    Ähnliche Dreiecke besitzen folgende Eigenschaften:

    • Die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten sind gleich.
    • Einander entsprechende Winkel sind gleich groß.

    In jeder Figur mit zwei Strahlen, die denselben Anfangspunkt haben, und zwei zueinander parallelen Geraden, die die Strahlen schneiden (nicht im Anfangspunkt der Strahlen), sind zwei ähnliche Dreiecke versteckt.

    Beachte, dass die Reihenfolge der Buchstaben keine Rolle spielt. Demnach bezeichnet $\Delta EIF$ dasselbe Dreieck wie $\Delta FEI$ oder $\Delta IFE$.

    Lösung

    Ähnliche Dreiecke besitzen folgende Eigenschaften:

    • Die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten sind gleich.
    • Einander entsprechende Winkel sind gleich groß.
    In jeder Figur mit zwei Strahlen, die denselben Anfangspunkt haben, und zwei zueinander parallelen Geraden, die die Strahlen schneiden (nicht im Anfangspunkt der Strahlen), sind zwei ähnliche Dreiecke versteckt.

    In der hier betrachteten Abbildung sind drei Strahlen mit dem Anfangspunkt $A$ dargestellt. Diese werden von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten, sodass wir zunächst die folgenden ähnlichen Dreiecke erhalten:

    • $\Delta ABG$ und $\Delta ACD$
    • $\Delta AGF$ und $\Delta ADE$
    • $\Delta ABF$ und $\Delta ACE$
    Beachte, dass die Reihenfolge der Buchstaben keine Rolle spielt. Demnach bezeichnet $\Delta ABG$ dasselbe Dreieck wie $\Delta GAB$ oder $\Delta BGA$.

    Nun erkennen wir noch, dass sich im Punkt $H$ zwei Geraden schneiden, welche ebenfalls von den zueinander parallelen Geraden geschnitten werden. Dieser Teil der Figur liefert und ebenfalls zwei ähnliche Dreiecke, nämlich:

    • $\Delta HFG$ und $\Delta HID$

  • Bestimme, welche der Dreiecke ähnlich sind.

    Tipps

    Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Zudem sind die einander entsprechenden Winkel gleich groß. Du könntest mit Zirkel und Lineal also diese Dreiecke zeichnen und anhand der Winkel die Ähnlichkeit prüfen.

    Sei ein Dreieck mit den Seiten $a_1$, $b_1$ und $c_1$ und ein weiteres Dreieck mit den Seiten $a_2$, $b_2$ und $c_2$ gegeben. Sind diese ähnlich, so müssen folgende Zusammenhänge gelten:

    • $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$
    • $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{a_2}{c_2}$
    • $\dfrac{b_1}{c_1}=\dfrac{b_2}{c_2}$

    Lösung

    Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Sei zum Beispiel ein Dreieck mit den Seiten $a_1$, $b_1$ und $c_1$ und ein weiteres Dreieck mit den Seiten $a_2$, $b_2$ und $c_2$ gegeben, so sind diese dann ähnlich, wenn folgende Zusammenhänge erfüllt sind:

    • $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$
    • $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{a_2}{c_2}$
    • $\dfrac{b_1}{c_1}=\dfrac{b_2}{c_2}$
    Das überprüfen wir nun für die gegebenen Dreiecke. Zunächst bestimmen wir die Seitenverhältnisse der Dreiecke 1 und 2:

    Dreieck 1

    Mit $a=12\ \text{cm}$, $b=4\ \text{cm}$ und $c=10\ \text{cm}$ folgt:

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{12\ \text{cm}}{4\ \text{cm}}=3$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{12\ \text{cm}}{10\ \text{cm}}=\dfrac 65$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{4\ \text{cm}}{10\ \text{cm}}=\dfrac 25$
    Dreieck 2

    Mit $a=4\ \text{cm}$, $b=8\ \text{cm}$ und $c=6\ \text{cm}$ folgt:

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{4\ \text{cm}}{8\ \text{cm}}=\dfrac 12$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{4\ \text{cm}}{6\ \text{cm}}=\dfrac 23$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{8\ \text{cm}}{6\ \text{cm}}=\dfrac 43$
    Nun berechnen wir die Verhältnisse der zu überprüfenden Dreiecke:

    Beispiel 1: $~a=6\ \text{cm}, ~b=12\ \text{cm}, ~c=9\ \text{cm}$

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{6\ \text{cm}}{12\ \text{cm}}=\dfrac 12$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{6\ \text{cm}}{9\ \text{cm}}=\dfrac 23$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{12\ \text{cm}}{9\ \text{cm}}=\dfrac 43$
    Also ist dieses Dreieck ähnlich zu Dreieck 2.

    Beispiel 2: $~a=2\ \text{cm}, ~b=4\ \text{cm}, ~c=3\ \text{cm}$

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2 \text{cm}}{4\ \text{cm}}=\dfrac 12$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{2\ \text{cm}}{3\ \text{cm}}=\dfrac 23$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{4\ \text{cm}}{3\ \text{cm}}=\dfrac 43$
    Also ist dieses Dreieck ebenfalls ähnlich zu Dreieck 2.

    Beispiel 3: $~a=3\ \text{cm}, ~b=1\ \text{cm}, ~c=3,5\ \text{cm}$

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3\text{cm}}{1\ \text{cm}}=3$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{3\ \text{cm}}{3,5\ \text{cm}}=\dfrac 67$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{1\ \text{cm}}{3,5\ \text{cm}}=\dfrac 27$
    Dieses Dreieck ist weder zu Dreieck 1 noch zu Dreieck 2 ähnlich.

    Beispiel 4: $~a=3\ \text{cm}, ~b=1\ \text{cm}, ~c=2,5\ \text{cm}$

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3\ \text{cm}}{1\ \text{cm}}=3$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{3\ \text{cm}}{2,5\ \text{cm}}=\dfrac 65$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{1\ \text{cm}}{2,5\ \text{cm}}=\dfrac 25$
    Also ist dieses Dreieck ähnlich zu Dreieck 1.

    Beispiel 5: $~a=8\ \text{cm}, ~b=16\ \text{cm}, ~c=10\ \text{cm}$

    • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{8\ \text{cm}}{16\ \text{cm}}=\dfrac 12$
    • $\dfrac{a}{c}=\dfrac{8\ \text{cm}}{10\ \text{cm}}=\dfrac 45$
    • $\dfrac{b}{c}=\dfrac{16\ \text{cm}}{10\ \text{cm}}=\dfrac 85$
    Dieses Dreieck ist weder zu Dreieck 1 noch zu Dreieck 2 ähnlich.

  • Gib die Eigenschaften von Geraden, Strahlen und Strecken an.

    Tipps

    Stell dir einen Sonnenstrahl vor. Dieser hat seinen Ursprung bei der Sonne. Wo ist das Ende?

    Wenn du eine Länge messen möchtest, brauchst du sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt.

    Lösung

    Hier ist eine Gerade (rot) und ein Strahl (blau) abgebildet. Diese beiden gehören zu den Grundelementen der Geometrie und haben folgende Eigenschaften:

    • Ein Strahl besitzt einen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Die Länge eines Strahls kannst du also nicht messen. Dieser ist nämlich unendlich lang.
    • Eine Gerade besitzt keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Die Länge einer Geraden kannst du also ebenfalls nicht messen. Denn wenn du eine Länge messen möchtest, brauchst du sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt.
    • Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Sie besitzt sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt. Die Länge einer Strecke kannst du daher messen.
  • Ermittle die fehlenden Seiten der ähnlichen Dreiecke.

    Tipps

    Ist die Seite $a$ des ähnlichen Dreiecks doppelt so groß wie die Seite des ursprünglichen Dreiecks, so musst du auch die übrigen Seiten jeweils verdoppeln.

    Lösung

    Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Sei zum Beispiel ein Dreieck mit den Seiten $a_1$, $b_1$ und $c_1$ und ein weiteres Dreieck mit den Seiten $a_2$, $b_2$ und $c_2$ gegeben, so sind diese dann ähnlich, wenn folgende Zusammenhänge erfüllt sind:

    • $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$
    • $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{a_2}{c_2}$
    • $\dfrac{b_1}{c_1}=\dfrac{b_2}{c_2}$
    Man kann aber auch die Seiten der beiden Dreiecke ins Verhältnis setzen also:
    • $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}$
    • $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$
    • $\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$
    Das bedeutet: Ist die Seite $a_2$ des ähnlichen Dreiecks doppelt so groß wie die Seite $a_1$ des ursprünglichen Dreiecks, so musst du auch die übrigen Seiten $b_1$ und $c_1$ jeweils verdoppeln, um $b_2$ und $c_2$ zu erhalten. Und genauso gehen wir nun vor:

    Beispiel 1

    Wir kennen die Seite $a_1=4\ \text{cm}$ des ähnlichen Dreiecks. Das ist halb so groß wie die Seite $a$ des gegebenen Dreiecks mit den Seiten $a_0=8\ \text{cm}$, $b_0=16\ \text{cm}$ und $c_0=12\ \text{cm}$. Also müssen wir auch die übrigen Seiten halbieren und erhalten so die fehlenden Seiten des ähnlichen Dreiecks:

    • $b_1=\frac{b_0}{2}=\frac{8\ \text{cm}}{2}=8\ \text{cm}$
    • $c_1=\frac{c_0}{2}=\frac{12 \text{cm}}{2}=6\ \text{cm}$
    Beispiel 2

    Gegeben ist die Seite $b=4\ \text{cm}$. Da $\frac {16}4=4$ gilt, müssen wir also die übrigen Seiten ebenfalls durch $4$ teilen.

    • $a_2=2\ \text{cm}$
    • $c_2=3\ \text{cm}$
    Beispiel 3

    Wir kennen die Seite $c=18\ \text{cm}$. Das entspricht dem $1,5$-fachen von $12\ \text{cm}$. Also multiplizieren wir auch die übrigen Seiten mit $1,5$:

    • $a_3=a_0\cdot1,5= 8\ \text{cm}\cdot1,5=12\ \text{cm}$
    • $b_3=b_0\cdot1,5= 16\ \text{cm}\cdot1,5=24\ \text{cm}$

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