30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2)

Bewertung

Ø 3.4 / 7 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2)

Willkommen zu meinem zweiten Video zu den Strahlensätzen. Ich habe die zwei Strahlensätze ja bereits auf eine zentrale Idee heruntergebrochen, indem ich dazu die geometrische Figur des Dreiecks zur Hilfe nehme. Nun möchte ich dir in diesem Video Verhältnisse an Strahlensatzfiguren erklären, in denen Seitenabschnitte vorkommen. Dazu nehmen wir wieder die Figur des Dreiecks zur Hilfe. Viel Spaß nun mit dem Video und viel Erfolg beim Lernen. (Teil 2 von 2)

Transkript Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2)

Hallo. Im letzten Film habe ich gezeigt, was du mit den kleinen Seiten und den Dreiecksabschnitten machen kannst, was die mit dem ersten Strahelnsatz zutun haben. Jetzt möchte ich mal zeigen, wie sich das mit den großen Seiten verhält. Und zwar, wenn ich die Dreiecke so auseinanderlege, da siehst du, hier ist das große Dreieck und wenn ich die jetzt so übereinanderlegen hier, dann haben wir eine große rote Seite und einen Dreiecksabschnitt, das ist hier, das ist der Dreiecksabschnitt. Von da bis da geht die große rote Seite und wir haben eine blaue Seite, eine große blaue Seite von hier bis hier und einen Dreiecksabschnitt, der geht von da bis da. Und weil blau und gelb im letzten Film zu kurz gekommen sind, möchte ich das jetzt mal zeigen. Also jetzt haben wir keine roten Dreiecksabschnitte, denn hier ist eine ganze rote Seite, hier ist auch eine ganze rote Seite, du siehst keine Abschnitte. Aber du siehst hier einen blauen Dreiecksabschnitt, der geht von hier bis hier, der blaue Dreiecksabschnitt und den kannst du teilen durch die große blaue Seite. Und von hier bis da geht die große blaue Seite und du kannst auch den anderen Dreiecksabschnitt, den gelben, das geht von hier bis hier, dass der gelbe Dreiecksabschnitt teilen durch die große gelbe Seite, die von hier nach hier geht. Also beides ist möglich. Du kannst Abschnitt durch Seite teilen, ist gleich Abschnitt durch Seite oder auch hier große Seite durch Abschnitt ist wie große Seite durch Abschnitt. So und das möchte ich noch mal eben aufschreiben. Also, wir haben zum Beispiel, ich fange jetzt mal mit dem Dreiecksabschnitt an, das geht auch, im letzten Film habe ich mit der Seite angefangen, das ist ja egal, du kannst, wenn du eine Bruchgleichung hast, beide Seiten umdrehen und sie bleibt richtig, falls keine 0 vorkommt meine ich natürlich. Ich fange jetzt an mit den Dreiecksabschnitten, und zwar mit dem gelben Abschnitt. Den bezeichne ich mal als gA, den teile ich durch die große gelbe Seite ga/gG, also hier heißt das kleine g-Gelb, beim Zweiten heißt das kleine g groß. Vielleicht zum besseren Verständnis mache ich das g was groß bedeutet auch groß, dann haben wir hier groß G durch groß G, was bedeutet große gelbe Seite und oben steht der gelbe Abschnitt. Das ist gleich dem blauen Abschnitt als bA bezeichnet hier, geteilt durch die große blaue Seite. So sieht das aus: gA/GG = bA/GB. Ich hätte natürlich auch das natürlich auch mit z1 und a2 und so weiter bezeichnen können, ich glaube das wird dann auch nicht klarer. Ich habe mich hier für diese Symbolik entschieden. Es heißt also gelber Abschnitt geteilt durch große gelbe Seite ist wie blauer Abschnitt geteilt durch große blaue Seite. Hier siehst du das Bild dazu und das ist der gelbe Abschnitt geteilt durch die große gelbe Seite, der blaue Abschnitt, geteilt durch die große blaue Seite von da bis da. Das geht auch mit allen anderen Farben, je nachdem, wie du die Dreiecke so zusammenlegst. Was ich aber hier erwähnen möchte, was auch auf keinen Fall geht. Was auf gar keinen Fall geht, ist, das du, wie hier zum Beispiel einen roten Abschnitt durch eine Seite teilst oder umgekehrt und hier, das gleichsetzt dem Kozienten zweier Seiten. Das bedeutet, wenn du Abschnitt durch Seite teilst, zum Beispiel, dann kannst du das nur gleichsetzen Abschnitt durch Seite, du kannst nicht gleichsetzen: Seite durch Seite. Wenn ich einem Bruch ein Abschnitt vorkommt, muss im anderen Bruch auch ein Abschnitt vorkommen. Es geht nicht, dass in dem einem Bruch ein Abschnitt vorkommt und in dem anderen Bruch nur zwei Seiten vorkommen. Ebenso wenn du zwei Seiten teilst, musst du im anderen Bruch auch zwei Seiten haben. Es geht nicht Seite geteilt durch Seite ist wie Abschnitt durch Seite. Das darfst du nicht mischen. Das nur als Warnung, wenn du das beachtest, kann nichts passieren. Also dann viel Spaß mit den weiteren Aufgaben. Bis bald, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ich fand das Video mit den ganzen großA großB usw. total verwirrend.
    Dadurch fand ich die Aufgaben am Schluss total blöd gemacht.
    Ich war mehr damit beschäftigt die Logik hinter dieser unnötig komplizierten Beschriftung zu verstehen, als überhaupt die Strahlensätze vertiefen zu können.
    In der Erklärung mögen diese Bezeichnungen vielleicht hilfreich sein, aber im Rechenvorgang und vor allem in der Beschriftung sind die Kürzel einfach nur blöd.

    Von Juliastandke95, vor mehr als 4 Jahren
  2. Sehr gutes Video. Ich habe alles verstanden.Danke dafür :) :D

    Von Ahjuergens, vor mehr als 6 Jahren

Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu den Strahlensätzen mit den Dreiecksabschnitten.

    Tipps

    Schau dir das obige Bild an:

    • Du siehst ein kleines und ein großes Dreieck.
    • Die beiden Dreiecke sind ähnlich.

    Sowohl die gelbe als auch die blaue Seite wird durch die kleine rote Seite geteilt.

    Wenn man die Längen der kleinen Seite und des zugehörigen Dreiecksabschnittes addiert, erhält man die Länge der großen Seite.

    Lösung

    Wenn man bei ähnlichen Dreiecken das kleinere der beiden Dreiecke in das größere legt, dann erhält man Dreiecksabschnitte.

    Je nachdem, wie die Dreiecke ineinander liegen, können zu zwei Seiten Abschnitte bestimmt werden und für die dritte nicht. Die lange Seite, von welcher man keine Abschnitte erkennen kann, und die kleine Seite liegen nämlich nicht ineinander.

    Man kann dann Seitenverhältnisse von großer oder kleiner Seite zu den zugehörigen Dreiecksabschnitten aufstellen.

  • Stelle die Gleichung mit den großen Seiten und den dazugehörigen Dreiecksabschnitten auf.

    Tipps

    Mache dir zunächst klar, welche Dreiecksabschnitte du in dem obigen Bild sehen kannst.

    Beachte: wenn du auf der einen Seite einen Dreiecksabschnitt durch eine Seite teilst, so musst du dies auf der anderen Seite der Gleichung auch tun.

    Die Zuordnung zu Zähler und Nenner muss auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

    Lösung

    Zu welchen Seiten gibt es in diesem Bild Dreiecksabschnitte?

    Zu der gelben und zu der blauen. Diese sind mit $gA$ und $bA$ gekennzeichnet.

    In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit den großen Seiten und den Dreiecksabschnitten aufzustellen.

    Es gilt, dass die Verhältnisse eines Dreiecksabschnittes zu der entsprechenden großen Seite, egal welche Seite man betrachtet, gleich groß sind.

    Dies bedeutet: $\frac {gA}{GG}=\frac {bA}{GB}$.

    Dabei steht

    • $gA$ ($bA$) für den gelben (blauen) Dreiecksabschnitt und
    • $GG$ ($GB$) für die große gelbe (blaue) Seite.

  • Erkläre, wie man die beschriebene Situation in einer Strahlensatzfigur darstellen kann.

    Tipps

    Es werden die Längen der kleinen Seiten sowie der zugehörigen Dreiecksabschnitte gesucht.

    Die Länge des gelben Dreiecksabschnittes musst du als Differenz der Entfernung von Paul zur Bergspitze und zur Kirchturmspitze berechnen.

    Die Gesamtentfernung von Paul zur Bergspitze musst du nicht eintragen.

    Lösung

    Wenn man Strahlensätze anwenden soll, um fehlende Längen oder Größen zu berechnen, ist es immer gut, eine Skizze anzufertigen. Dabei ist es nicht wichtig, ob die Skizze maßstabgetreu mit der gegebenen Situation übereinstimmt.

    An Hand der Skizze kann man erkennen, dass die beiden kleinen Seiten sowie einer der zugehörigen Dreiecksabschnitte bekannt sind.

    • Die Entfernung von Paul zum Fuß des Kirchturms ist die kleine rote Seite: $400$ Meter.
    • Die Entfernung von Paul zur Spitze des Kirchturms ist die kleine gelbe Seite: $410$ Meter.
    • Die Differenz der Entfernung von Paul zur Spitze des Berges und der Entfernung von Paul zur Spitze des Kirchturms ist der gelbe Dreiecksabschnitt: $1200-410=790$ Meter.
    Gesucht ist die Entfernung des Fußes des Kirchturms zu dem des Berges. Diese Größe ist hier mit $x$ bezeichnet. Dies ist der rote Dreiecksabschnitt.

    Nun kann mit Hilfe eines Strahlensatzes diese Größe berechnet werden.

  • Ermittle die Entfernung des Kirchturms von dem Berg.

    Tipps

    Welche Größe ist unbekannt?

    Beachte:

    • die Reihenfolge der Division muss auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein und
    • wenn du auf der einen Seite durch einen Abschnitt teilst, musst du dies auch auf der anderen Seite tun.

    Du erhältst eine Gleichung mit $x$. Stelle diese nach $x$ um.

    Lösung

    Da hat Paul schon mal alle Größen, welche er kennt, in die Skizze eingetragen.

    Bekannt sind die rote sowie gelbe kleine Seite und der gelbe Dreiecksabschnitt. Gesucht ist also der rote Dreiecksabschnitt.

    Nun kann der folgende Strahlensatz verwendet werden:

    $\frac{kr}{rA}=\frac{kg}{gA}$,

    also mit den hier eingetragenen Werten

    $\frac{400}x=\frac{410}{790}$.

    Nun kann man den Kehrwert auf beiden Seiten bilden

    $\frac x{400}=\frac{790}{410}$

    und mit $400$ multiplizieren

    $x=\frac{790}{410}\cdot 400\approx 770,7$.

    Das bedeutet, dass der Fuß des Kirchturms ungefähr $770,7$ Meter von dem des Berges entfernt ist.

  • Beschreibe, worauf beim Aufstellen der Strahlensatzgleichungen zu achten ist.

    Tipps

    Die Strahlensätze machen Aussagen bezüglich Verhältnissen einander entsprechender Seiten.

    Hier siehst du ein Beispiel für einen Strahlensatz. Dabei steht

    • kr (kg) für die kleine rote (gelbe) Seite sowie
    • rA (gA) für den roten (gelben) Dreiecksabschnitt.

    Du kannst dir Strahlensätze merken durch:

    Teile die längere durch die entsprechend kürzere. Egal welches Paar solcher Strecken du nimmst, der Quotient ist immer gleich.

    In dem Bild nebenan bedeutet dies:

    $\large{\frac fe=\frac ca=\frac db}$.

    Lösung

    Wie kann man sich eigentlich die Strahlensätze merken?

    Wenn man Abschnitt durch Seite teilt, darf man nicht Seite durch Seite teilen.

    Wenn man Abschnitt durch Seite teilt, muss man in dem anderen Bruch auch Abschnitt durch Seite teilen.

    Wenn man zwei Seiten teilt, muss man in dem anderen Bruch auch zwei Seiten teilen.

    Wenn man Seiten oder Seiten und Abschnitte teilt, darf man nicht eine Seite allein vertauschen.

  • Wende die Strahlensätze an, um die gesuchte Entfernung zu berechnen.

    Tipps

    Fertige dir zunächst eine Skizze an.

    Ordne dabei wie folgt von links nach rechts: Punkt, Kirchturm, Berg.

    Überlege dir, was gesucht ist.

    So könnte eine Skizze aussehen. Übertrage diese Skizze auf ein Blatt und trage die bekannten Werte ein.

    Beachte, dass du die eine Länge der großen Seite noch berechnen musst.

    Lösung

    Hier ist eine Skizze der beschriebenen Situation zu sehen.

    Es ist wirklich sinnvoll, sich zunächst einmal eine solche Skizze anzufertigen. Damit geht dann der Rest leichter von der Hand.

    Bekannt sind

    • der gelbe Dreiecksabschnitt, die Entfernung der Kirchturmspitze zu der des Berges, $400$ Meter,
    • die kleine rote Seite, die Entfernung des Punktes zum Fuß des Kirchturms, $450$ Meter,
    • der rote Dreiecksabschnitt, die Entfernung vom Fuß des Kirchturms zu dem des Berges, $300$ Meter.
    • Damit ist auch die Länge der großen roten Seite bekannt: $450+300=750$ Meter.
    Nun kann der folgende Strahlensatz angewendet werden:

    $\frac{GG}{gA}=\frac{GR}{rA}$.

    Durch Einsetzen der bekannten Werte erhält man

    $\frac x{400}=\frac{750}{300}$.

    Nun muss man noch mit $400$ multiplizieren, um die Lösung zu erhalten:

    $x=\frac{750}{300}\cdot 400=2,5\cdot 400=1000$.

    Die Spitze des Berges ist $1000$ Meter von dem Punkt entfernt.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.840

Lernvideos

44.363

Übungen

38.999

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden