Stammfunktionen von Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen mit negativem Exponenten

Hallo! In diesem Video geht es um die Stammfunktionen von Wurzeln und von Potenzen mit negativem Exponenten. Und da schauen wir uns erst die Regeln an und danach üben wir noch ein bisschen, die Regeln anwenden. Links schreiben wir immer die Funktion auf, die wir integrieren wollen, und rechts die Stammfunktion. Legen wir mal los mit ?(1/x²)dx. Da bietet es sich zuerst mal an, das als Potenz zu schreiben, also x^-2, dann kann man sich nämlich überlegen, dass die Hochzahl beim Integrieren um 1 größer wird, weil sie ja beim Ableiten um 1 kleiner wird. Das heißt, wir könnten zum Beispiel mal probieren x^-1 abzuleiten, um zu gucken, was rauskommt. Das ist -1×x^-2, das heißt, wenn wir -x^-1 ableiten, dann haben wir links auch ein Minus mehr und das hebt sich dann auf, sodass wir genau den Integrand als Ableitung haben. Also ist -x^-1 Stammfunktion von x^-2 und das kann man ja schreiben als -1/x. Als Nächstes probieren wir ?(1/x⁵)dx, das schreiben wir dann als (x^-5)dx. Okay, und wenn der Exponent 1 größer ist, dann ist das also x^-4. Die Ableitung von x^-4 ist -4×x^-5, da müsste ich also noch mit -¼ multiplizieren, damit wirklich x^-5 rauskommt, also muss ich auch die Stammfunktion mit -¼ multiplizieren. Denn Faktoren darf ich ja beim Ableiten rausziehen und beim Ableiten auch. Die Stammfunktion ist dann also -¼×x^-4+C. So, vielleicht ist es euch schon aufgefallen, wir hatten ja letztes Mal die Regel für Potenzen mit natürlichen Exponenten und die Regel, die wir da rausgekriegt haben, scheint hier genauso zu gelten, ja? Also der Exponent wird um 1 größer, -5+1=-4, und kommt dann als Kehrwert als Faktor vor die Potenz. Und oben ist es genauso, -2+1=-1 und 1/(-2+1)=-1. Man erwartet eigentlich auch, dass die gleiche Potenzregel für beliebige Exponenten gilt, weil beim Ableiten sind die beiden Regeln ja auch gleich, egal ob es natürliche oder reelle Exponenten sind. Jetzt testen wir mal noch einen gebrochenen Exponenten ?(\sqrtx)dx=?(x^½)dx. Wenn ich da den Exponenten 1 größer mache, komme ich auf x^3/2. Die Ableitung davon ist (3/2)×x^½, das heißt, ich müsste noch mit 2/3 multiplizieren, um auf x^½ zu kommen. Dann mache ich das also auch mit der Stammfunktion. Und 2/3 kann ich ja auch schreiben als 1/(3/2), also selbst hier scheint die Potenzregel, die wir kennen, zu gelten. Und so ist das tatsächlich, das ?(x^q)dx, für alle q, außer -1, =1/(q+1)×x^q+1+C. Und was ist bei q=-1 jetzt los? Das wäre also das ? von x^-1, also von 1/x. Da bekommen wir bei dem Vorfaktor 1/(-1+1), also 1/0, okay, und das geht natürlich nicht. Wir wissen aber, dass die Funktion lnx, die Ableitung 1/x hat, also ist die Stammfunktion von 1/x: ln|x|+C. Jetzt können wir also wirklich alle Potenzfunktionen integrieren, wichtig ist nur, dass man daran denkt, dass man Wurzeln und Potenzen, die im Nenner stehen, so aufschreibt, als Potenz, dass man die Regel halt wirklich anwenden kann. Zum Beispiel beim ?(2/\sqrtx⁵)dx. Da kommt als Erstes mal die Faktorregel zum Zug, also wir ziehen die 2 raus, dann schreiben wir die Wurzel als x^5/2 und dann lassen wir noch den Bruch weg und schreiben stattdessen x^-(5/2), das ist also 2×, jetzt kommt die Potenz, die Hochzahl ist -5/2, wenn ich dazu 1 addiere, habe ich -3/2, also haben wir x^-(3/2), und als Faktor kommt -2/3 davor, also der Kehrwert von -3/2. Das ergibt dann -(4/3)×x^-(3/2). Und wem das lieber ist, der kann das Ganze dann wieder als Wurzel schreiben. Und am Schluss +C nicht vergessen. Beim ?((1/4x)- 7. Wurzel aus x⁵ )dx, wenden wir wieder erst mal die Summenregel an und schreiben 1/4x als ¼×(1/x). Dann ziehen wir den Faktor raus und schreiben die Wurzel als x^5/7, die Stammfunktion von 1/x ist ln|x|, dann haben wir als Exponenten 5/7, das ergibt also 12/7, wir haben also x^12/7 und das Ganze ×(7/12) und dann noch +C. Und wer mag, kann das Ganze dann wieder als Wurzel schreiben. Gut, das war das letzte Beispiel. Ihr habt schon gemerkt, es ist ganz nützlich, die Potenzgesetze gut zu beherrschen, und ihr könnt ja hier noch ein bisschen üben und beim nächsten Mal schauen wir uns dann die Exponentialfunktionen und Sinus und Kosinus an. Bis dann!