Stammfunktionen von Wurzelfunktionen

Stammfunktionen von Wurzelfunktionen Übung

• Bestimme die Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=\sqrt{x}$.

  Tipps

  Du kannst Wurzeln in Potenzen umwandeln:

  $\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$

  Die Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel bildet man so:

  $f(x)=a\cdot x^n$

  $F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

  Lösung

  Gehen wir bei dieser Rechnung Schritt für Schritt vor.

  Zunächst ist wichtig, dass eine normale Wurzel immer eine zweite Wurzel ist. Man kann sie also auch so schreiben:

  $\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}$

  Nun lässt sie sich mit Hilfe der Regel

  $\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$

  in die Form einer Potenz bringen. Wir erhalten:

  $f(x)=x^\frac{1}{2}$

  Nun können wir mit Hilfe der Potenzregel die Stammfunktion bestimmen. Der Exponent wird um 1 erhöht und die Funktion wird mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multipliziert.

  $F(x)=\frac{2}{3} \cdot x^\frac{3}{2} + c$

  Wenn man das nun wieder als Wurzel schreiben will, erhält man:

  $F(x)=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} +c$

• Bestimme die Fläche unter dem Graphen.

  Tipps

  Berechne das folgende Integral:

  $\int\limits_0^3 3\cdot \sqrt{x}~ dx$

  Die Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel bildet man so:

  $f(x)=a\cdot x^n$

  $F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

  Für ein Integral über dem Intervall $[a;b]$ gilt:

  $\int\limits_a^b f(x)~ dx=F(b)-F(a)$

  Lösung

  Wir möchten das Integral der Funktion $f(x)=3\cdot \sqrt{x}$ im Intervall $[0;3]$ berechnen. Dazu müssen wir berechnen:

  $\int\limits_0^3 3\cdot \sqrt{x}~ dx$

  Das können wir wieder als Potenz schreiben:

  $=\int\limits_0^3 3\cdot x^\frac{1}{2}~ dx$

  Nutzen wir die Stammfunktion von $x^{\frac{1}{2}}$, erhalten wir.

  $=[3\cdot \frac{2}{3}\cdot x^\frac{3}{2}]_0^3$

  Das fassen wir jetzt noch zusammen, setzen die Grenzen ein und berechnen das Integral:

  $=[2\cdot x^\frac{3}{2}]_0^3$

  $=(2\cdot 3^\frac{3}{2})-(2\cdot 0^\frac{3}{2})$

  $=10,4$ Flächeneinheiten

• Bringe die Wurzeln in die Potenzform.

  Tipps

  Wir können Wurzeln in Potenzen umwandeln:

  $\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$

  Wir können Wurzeln in Potenzen umwandeln:

  $\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}$

  Beachte, dass Wurzeln immer positiv sind.

  Es gilt daher $\sqrt[n]{x^n}=|x|$.

  Bei $\sqrt{\dots }$ handelt es sich immer um die Quadratwurzel $\sqrt[2]{\dots }$.

  Lösung

  Gehen wir die Terme der Reihe nach durch. Dabei beachten wir immer die zwei wichtigen Regeln (Bild).

  Bei $\sqrt{\dots }$ handelt es sich immer um die Quadratwurzel $\sqrt[2]{\dots }$.

  Somit erhalten wir als Potenzen folgende Terme:

  $\begin{align} 2\cdot \sqrt{x} & = 2\cdot x^\frac{1}{2} \\ \sqrt{3\cdot x^4} &= (3\cdot x^4)^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot x^2=\sqrt{3}\cdot x^2 \\ \sqrt{5\cdot x} &= (5\cdot x)^\frac{1}{2} \\ \sqrt[3]{x^4} &= x^\frac{4}{3} \\ 3\cdot \sqrt{x^2} &= 3\cdot |x| \end{align}$

  Beachte, dass Wurzeln immer positiv sind. Wir haben in der letzten Zeile die Gleichung $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ angewendet.

• Berechne die Fläche unter dem Graphen.

  Tipps

  Die Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel bildet man so:

  $f(x)=a\cdot x^n$

  $F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

  Für ein Integral über dem Intervall $[a;b]$ gilt:

  $\int\limits_a^b f(x)~ dx=F(b)-F(a)$

  Wir können Wurzeln in Potenzen umwandeln:

  $\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}$

  Lösung

  Als Funktionsgleichung haben wir $f(x)=\sqrt[4]{x^6}$ gegeben.

  Um die Fläche im Intervall $[1;4]$ zu bestimmen, müssen wir den Term zunächst in die Potenzform bringen.

  $f(x)=x^\frac{6}{4}=x^\frac{3}{2}$

  Wir müssen nun das folgende Integral bestimmen:

  $\int\limits_1^4 x^\frac{3}{2}~dx$

  Die Stammfunktion von $x^{\frac{3}{2}}$ ist folgendermaßen gegeben:

  $F(x)=\frac{2}{5} \cdot x^\frac{5}{2} +c$

  Nun setzen die Grenzen ein und berechnen das Integral:

  $\begin{align} \int\limits_1^4 x^\frac{3}{2}~dx &= \left[\frac{2}{5} \cdot x^\frac{5}{2}\right]_1^4 \\ &=\left(\frac{2}{5} \cdot 4^\frac{5}{2}\right) - \left( \frac{2}{5}\cdot 1^\frac{5}{2}\right) \\ &=12,4 \end{align}$

• Benenne die Integrationsregel, mit der man die Stammfunktion einer Wurzelfunktion berechnen kann.

  Tipps

  Ein Beispiel für das Bilden der Stammfunktion:

  $f(x)=2\cdot \sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$

  $F(x)=2\cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + c$

  Lösung

  Schauen wir uns die Integration an einem Beispiel an:

  $f(x)=2\cdot \sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$

  $F(x)=2\cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + c$

  Dieses Beispiel ist gut gewählt, da wir beim Bilden der Stammfunktion von Wurzelfunktionen auch versuchen, den Term in Potenzform zu bringen.

  Doch was wurde hier im Einzelnen getan? Der Exponent wurde um eins erhöht, der Kehrwert des neuen Exponenten mit dem Term multipliziert.

  Im Allgemeinen sieht das so aus:

  $f(x)=a\cdot x^n$

  $F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

  Dabei ist $c$ nur eine Konstante, die beim Aufleiten hinten angefügt wird.

  Somit wurde für das Bilden der Stammfunktion die Potenzregel verwendet, weshalb alle Wurzelterme zunächst in Potenzform gebracht werden müssen.

• Ermittle die obere Grenze des Integrals.

  Tipps

  Berechne zunächst $\int\limits_0^b f(x)$ und löse im Anschluss die folgende Ungleichung $\int\limits_0^b f(x)~ dx \geq 50$.

  Wir können Wurzeln in Potenzen umwandeln:

  $\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}$

  Die Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel bildet man so:

  $f(x)=a\cdot x^n$

  $F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

  Für ein Integral über dem Intervall $[a;b]$ gilt:

  $\int\limits_a^b f(x)~ dx=F(b)-F(a)$

  Lösung

  Wir berechnen zunächst $\int\limits_0^b f(x)$ und lösen im Anschluss die folgende Ungleichung $\int\limits_0^b f(x)~ dx \geq 50$.

  Gehen wir wieder Schritt für Schritt vor. Als Erstes schreiben wir den Term wieder als Potenz auf:

  $f(x)=4\cdot x^\frac{5}{2}$

  Nun bilden wir die Stammfunktion:

  $F(x)=\frac{2}{7} \cdot 4 \cdot x^\frac{7}{2}$

  Das können wir noch etwas zusammenfassen:

  $F(x)=\frac{8}{7}\cdot x^\frac{7}{2}$

  Nun schreiben wir unser Integral auf; die Variable $b$ ziehen wir in der Rechnung einfach mit:

  $\begin{align} \int\limits_0^b 4\cdot \sqrt{x^5}~dx &=\left[\frac{8}{7} \cdot x^\frac{7}{2}\right]_0^b \\ &=\frac{8}{7} \cdot b^\frac{7}{2} \end{align}$

  Der Wert des Integrals ist schon vorgegeben. Da es mindestens $50$ Flächeneinheiten groß sein soll, können wir schreiben:

  $\begin{align} \frac{8}{7} \cdot b^\frac{7}{2} &\ge 50 \\ b^\frac{7}{2} &\ge 43,75 \\ b &\ge ln(43,75)^{3,5} \\ b & \ge 2,94 \\ \end{align}$

  Unser ganzzahliges $b$ ist also $b=3$. Hierfür beträgt der Wert des Integrals $53,45$ Flächeneinheiten.