Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

Hallo liebe Zuschauer, in diesem Video geht es um die Stammfunktion von ganzrationalen Funktionen. Fangen wir mal mit einer ganz einfachen Potenzfunktion an, nämlich mit x. In die Richtung wollen wir also integrieren und in diese Richtung wollen wir ableiten und wir wissen ja schon, dass beim Ableiten Potenzen immer um 1 kleiner werden, deswegen müssten sie ja eigentlich beim Integrieren 1 größer werden. Und deswegen probier ich mal als Stammfunktion hier x². Die Ableitung ist 2x. D.h. wenn wir den Faktor ½ noch davor hätten, dann würde es stimmen und den Faktor können wir einfach übernehmen für die Stammfunktion, weil Faktoren darf ich ja aus dem Integral rausziehen. Dann ist die Ableitung also wirklich x, kann man noch mal schnell nachrechnen und die Stammfunktion ist dann also ½x²+C. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und nehmen die Funktion x². Da probieren wir es wieder mit der Potenz, deren Exponent 1 größer ist, also x³ und leiten die ab und das ergibt 3x². Da müsste ich also den Faktor 1/3 noch ergänzen, damit wirklich x² rauskommt. Und 1/3x³ hat wirklich die Ableitung x². 3×1/3×x². Und die Stammfunktion ist dann also 1/3x³+C. Jetzt sind wir so weit, dass wir das mal allgemein probieren können. Für xⁿ mit einem natürlichen Exponenten n. Wir probieren  einfach mal xⁿ⁺¹ abzuleiten und das ergibt (n+1)×xⁿ. Der Exponent wird 1 kleiner und der alte Exponent kommt nach vorne. Und da muss ich dann also noch durch n+1 teilen, damit der Faktor vorne wegfällt. Die Stammfunktion von xⁿ ist dann also (1/(n+1))×xⁿ⁺¹+C. Also ich merke mir als Faustregel immer, mach den Exponenten 1 größer und schreib den Kehrwert dieses neuen Exponenten als Faktor davor. Jetzt können wir damit also schon alle Potenzfunktionen integrieren. Und ganzrationale Funktionen sind ja eigentlich nur Summen vom vielfachen von Potenzfunktionen. Und da hatten wir beim letzten Mal die Summenregel und die Faktorregel. Und mit diesen beiden Regeln und den Potenzregeln können wir dann eigentlich alle ganzrationalen Funktionen integrieren. Nehmen wir als Erstes mal die Funktion 3x³+5x⁵. Da kann ich also die Summe der Einzelintegrale bilden, nach der Summenregel und dann kann ich auch jeweils noch die konstanten Faktoren rausziehen, nach der Faktorregel. Und der Rest geht mit der Potenzregel. Wir haben also 3×, dann ist der Exponent 2, der wird um 1 größer und kommt als Kehrwert als Faktor davor, also 1/3×x³. Dann +5×, jetzt ist der Exponent 5, dann ist die neue Potenz also x⁶ und die 6 kommt wieder als Kehrwert davor. So, +C dürfen wir nicht vergessen und das ergibt dann x³+5/6x⁶+C. Jetzt können wir noch mal nachprüfen, ob das stimmt. Wir leiten also mal ab. x³ ergibt 3x², das stimmt. 5/6x⁶, da nehme ich also 5/6×6, das ist 5, der Exponent wird 1 kleiner, also x⁵, das stimmt auch und das C fällt weg. Nächstes Beispiel. 3/7x⁵+½x+4 schreiben wir wieder als Summe der Einzelintegrale, dann ziehen wir die Faktoren jeweils raus und dann haben wir 3/7×(1/6x⁶+Integrationskonstante C1, das habe ich in dem Beispiel eben nicht gemacht, da habe ich die nur ganz am Schluss hinzugefügt und ich will jetzt hiermit noch mal zeigen, dass das wirklich reicht, die ganz am Schluss dazuzufügen.)+½(½x²+C2)+4x+C3. Das ergibt 1/14x⁶+3/7C1+¼x²+½C2+4x+C3. Jetzt sehen wir, dass die ganzen Konstanten sich einfach nur zusammenfügen zu einer neuen Konstanten. Und die nennen wir dann eben C. Und wenn man das ein paarmal gemacht hat, dann kann man sich auch die Zwischenschritte mit der Summe und dem Vielfachen sparen, dann nimmt man sich einfach sofort die Summe der Vielfachen von den Potenzfunktionen, die man hat.  Also hier z.B. 2/3×1/8x⁸-4^×1/3×x³+C. Damit sind wir fertig und beim nächsten Mal schauen wir uns negative Exponenten an und Wurzeln.