Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (3)

Hallo liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde. Herzlich willkommen zum Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel Teil 3. Die 2 oben in der Überschrift wird am Ende des Videos zu einer 3. Im Video Teil 2 haben wir gelernt, wie man auch bei quadratischen Funktionen, die über keine reellen Nullstellen verfügen, eine Scheitelpunkt-Koordinate xs bestimmt, indem man nämlich eine Hilfsfunktion g von x einführt. Diese Hilfsfunktion ist eine konstante Funktion, die gleich dem konstanten Glied dieser quadratischen Funktion ist. Nach Erhalt des xs-Wertes kann man diesen in die Funktionsgleichung einsetzen, und den ys-Wert erhalten. xs-Wert und ys-Wert ergeben zusammen beide die Koordinaten des Scheitelpunktes. In diesem Video wollen wir einen weiteren Problemfall betrachten, und zwar den Fall, wenn es sich bei der Funktionsgleichung der quadratischen Funktion um keine Normalform handelt. Das heißt, vor dem x² befindet sich keine unsichtbare 1. Ich habe folgende Funktionsgleichung gewählt: f von x = 5x²+25x+40. Wie ist hier nun zu verfahren? Zumindest kann man erst mal - 2. Zeile -, die 5 ausklammern. Man erhält: f von x = 5(x²+5+8). Ihr werdet mir sicher recht geben, dass die Funktion f¹ von x=x²+5x+8, die gleiche xs-Koordinate für den Scheitelpunkt hat, denn sie unterscheidet sich von unserer Funktion f von x eigentlich nur dadurch, dass sie um den Faktor 5 kleinere Werte besitzt. Also bestimmen wir die xs-Koordinate für die Funktion f¹. Wir verwenden dafür, wie im Video 2 schon gezeigt, die Hilfsfunktion g von x. Eine konstante Funktion, die den gleichen Wert hat wie das konstante Glied der Funktion f¹. Wir setzen nun f¹ von x gleich g von x und erhalten:  0=x²+5x=x(x+5), wir klammern x einfach aus. Diese Gleichung ist einfach zu lösen. Jeder der beiden Faktoren kann 0 sein. Also: x1=0 und x2=-5. xs ist dann, wie bereits gezeigt, das arithmetische Mittel aus x1 und x2. Also: xs=x1+x2/2=0+(-5)/2=-5/2=-2,5. Die Koordinate ys des Scheitelpunktes erhalten wir, indem wir den Wert für xs in die Ausgangsgleichung für f von x ist gleich 5x²+25x+40 einsetzen. Wir erhalten, hier mit lila gekennzeichnet: ys=f von xs=f von -5/2=5×(-5/2)²+25(-5/2)+40. Wir bilden nun den Hauptnenner aller 3 Teilterme, der ist 4. Wir erhalten nun in der letzten Zeile: 125/4-250/4+160/4. ys=35/4=8,75. Damit haben wir den Scheitelpunkt unserer Funktion bestimmt. Ich stelle nun das Bild unserer Funktion grafisch dar. Hier gibt es ein kleines Manko, und zwar reicht der Aufnahmeraum nicht aus, um die Schablone anzulegen. Also zeichne ich Freihand. So, und damit sind wir fertig. Schlimmere Fälle für quadratische Funktionen gibt es nicht. Vielleicht mache ich noch ein 4. Video und fasse dort einmal die Ergebnisse in einer Übersicht zusammen. Ich danke für eure Aufmerksamkeit. Na dann sehen und hören wir uns einmal wieder. Alles Gute. Tschüss.