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Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen

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Mathe-Team

Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen

In vielen Mathematikaufgaben ist eine bestimmte Größe gesucht, die von einer anderen Größe abhängt. Wenn du zum Beispiel monatlich Geld sparst, hängt die angesparte Summe davon ab, wie viele Monate du gespart hast. Genau solche Aufgaben führen auf Rechenausdrücke mit Variablen. Das Video führt dich anschaulich in die "Kunst", solche Rechenausdrücke aufzustellen. Zuvor wiederholst du kurz, was eine Variable ist. Du bekommst dann ein Rezept an die Hand, das den Weg zum richtigen Rechenausdruck beschreibt. Ein durchgängiges Beispiel zeigt dir, wie du das Rezept anwendest.

Transkript Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um das Aufstellen von Rechenausdrücken mit Variablen. Den Umgang mit Rechenausdrücken kennst du bereits. Terme ist ein anderes Wort für Rechenausdrücke. Du weißt auch, was eine Variable ist. Wir werden das gleich noch einmal wiederholen.

Im Zentrum dieses Videos steht aber die Frage: Wie stelle ich für ein ganz bestimmtes mathematisches Problem, bei dem eine unbekannte Größe gesucht ist, den Rechenausdruck auf, der mich zum Ziel führt? Mathematik ist ja zum Problemlösen da, und die entscheidende Frage ist immer wieder: Wie übersetze ich eine Aufgabe in die Sprache der Mathematik?

Im Folgenden wiederholen wir zunächst, was eine Variable ist und welche Rolle sie in Rechenausdrücken spielt. Dann zeigen wir, wie man für ein gegebenes Problem einen Rechenausdruck mit einer Variablen aufstellt.

Variablen und Rechenausdrücke

Los gehts! Was ist eine Variable in einem Rechenausdruck? Eine Variable in einem Rechenausdruck ist ein Platzhalter, für den du eine Zahl einsetzen kannst. Erst dann kannst du die Rechnung ausführen.

Mit einer Variable hälst du dir eine Größe innerhalb einer Rechenvorschrift sozusagen offen. Variablen werden meistens als kleine Buchstaben - z.B. als ein kleines x - notiert.

In dem Rechenausdruck 4 mal (x-2) steckt also die Variable x. Für sie kannst du irgendeine Zahl einsetzen. Dann kannst du das Ergebnis der Rechnung berechnen. Vorher nicht, denn x ist ja unbekannt. Setzt du beispielsweise für x die Zahl 5 ein, berechne ich 4 mal (5 minus 2) . Das ergibt 4 mal 3 gleich 12. Wie bei jedem Term mit einer Klammer, musst du die Klammer zuerst ausrechnen oder das Distributivgesetz anwenden.

Rechenausdrücke mit Variablen kannst du genauso umformen wie Rechenausdrücke, die nur Zahlen enthalten. 4 mal (x-2) kannst du mit dem Distributivgesetz umformen zu 4 mal x - 4 mal 2 = 4 mal x - 8. Auch jetzt erhälst du das Ergebnis 12, wenn du für x die Zahl 5 einsetzt. Denn 4 mal 5 minus 8 sind gleich 20 minus 8 gleich 12.

Rechenausdrücke aufstellen

So weit, so gut. Der Rechenausdruck, den wir eben betrachtet haben, war ja vorgegeben. In der Praxis möchtest ja bestimmte Aufgaben lösen, indem du selbstständig solche Rechenausdrücke mit Variablen aufstellst und löst. Die entscheidende Frage ist daher: Wie komme ich zu dem Rechenausdruck? Vom Himmel wird er ja nicht fallen …

Ein Beispiel: Angenommen, du brauchst ein neues Fahrrad. Eine wichtige Größe dabei ist die Rahmenhöhe. Immerhin möchtest du kein Fahrrad, dass dein Fahrrad zu klein oder groß ist. Sie wird sicher irgendwie von deiner Körpergröße abhängen.

Bevor ihr zum Fahrradladen loszieht, recherchierst du im Internet: Gibt es eine Rechenvorschrift für Rahmenhöhen? Und richtig, du findest den Hinweis: Rahmenhöhe = Beinlänge minus 25 cm.

Für die Leute, die diese Regel aufgestellt haben, ist die Beinlänge die unbekannte Größe - sie wissen ja nicht, wer da vor dem Computer sitzt. Bezeichnen wir diese unbekannte Größe mit der Variable mit x, so lautet der Rahmenhöhen-Rechenausdruck hinter dieser Regel: Rahmenhöhe = x - 25 cm.

Damit haben wir unseren Job bereits erfüllt: wir haben für ein mathematisches Problem einen Rechenausdruck mit Variable gefunden, für die wir nun Zahlen bzw. die eigene Beinlänge einsetzen können.

Fassen wir die Schritte auf dem Weg zu diesem Rechenausdruck noch mal zusammen.

  1. Zunächst haben wir uns überlegt, für welche Größe wir überhaupt einen Rechenausdruck suchen, nämlich die Rahmenhöhe.
  2. Dann haben wir recherchiert, wovon die gesuchte Größe abhängt, nämlich von der Beinhöhe. Das ist die Variable x.
  3. Die Recherche hat auch ergeben, wie wir die gesuchte Größe berechnen müssen.
  4. Dann haben wir die Variable eingeführt. wir haben festgelegt: x ist die Beinhöhe.
  5. Am Ende haben wir den Rechenausdruck mit der Variable aufgeschrieben.

Anwendungsaufgabe

Versuchen wir diese Strategie nun bei einer Übungsaufgabe anzuwenden: Zu dem neuen Fahrrad musst du auch etwas beisteuern. Sagen wir 200 Euro: Ein Sparplan muss her. 120 Euro hast du bereits gespart, und jeden Monat kannst du 15 Euro auf die Seite legen. Diesen Sparplan wollen wir jetzt mit dem obigen Plan in einen Rechenausdruck umwandeln.

  1. Welche Größe willst du bestimmen? Die angesparte Geldsumme.
  2. Wovon hängt diese Summe ab? Davon, wie lange du schon gespart hast. Genauer: von der Anzahl der Monate. Das ist die Unbekannte des Problems, also die Variable.
  3. Jetzt kommt der zentrale Schritt: Wie berechnet sich die gesuchte Größe? Du startest mit 120 Euro, dann kommen pro Monat 15 Euro hinzu. Die angesparte Summe ist also 120 Euro + (der Anzahl der Monate) mal 15 Euro.
  4. Die Variable ist die Anzahl der Monate. Wir nennen sie x.
  5. Unser Rechenausdruck lautet nun: Geldsumme = 120 Euro plus x mal 15 Euro.

Wenn wir uns merken, dass die gesuchte Größe in Euro angegeben wird, können wir der Einfachheit halber im Rechenausdruck die Einheit Euro auch weglassen: Die gesparte Geldsumme ist gleich 120 Euro plus x mal 15 Euro.

Nun willst du natürlich wissen, wann du genug für das Rad gespart hast. Also setzt du für x nacheinander verschiedene Zahlen ein und schaust, was der Rechenausdruck ergibt. Am besten gehst du mit System vor und machst eine kleine Tabelle.

  • Zu Beginn, also nach 0 Monaten, hast du 120 Euro, denn 120 plus 15 mal null ist 120.
  • Nach einem Monat sind es 120 plus 1 mal 15 gleich 135 Euro.
  • Nach 2 Monaten sind es 120 plus 2 mal 15 = 120 plus 30 = 150 Euro.

Immernoch zu wenig... Wir probieren mal x=5, das ergibt 120 plus 5 mal 15 = 120 plus 75 = 195 Euro. Das reicht noch nicht ganz, aber nach x = 6 Monaten hast du 120 plus 6 mal 15 = 210 Euro zusammen. Das ist genügend. Du hast sogar noch 10 Euro. Dafür kannst du dir ja dann eine Klingel oder ein Schloss kaufen.

Zusammenfassung

Dann sag ich jetzt mal: Herzlichen Glückwunsch zum neuen Fahrrad. Du brauchst gar kein Neues? Na, dann spar eben für etwas anderes, irgendeinen Wunsch wirst du bestimmt haben.

Bevor du aber überlegst, welchen Wunsch du dir gerne erfüllen würdest, fassen wir zusammen:

  • Variablen in Rechenausdrücken sind Platzhalter, für die du Zahlen einsetzen kannst.
  • Bei einer konkreten Aufgabe ist eine Größe gesucht, für die du eine Berechnungsvorschrift aufstellen kannst. Das ist dein Rechenausdruck.
  • In der Aufgabe steckt eine unbekannte Größe, von der dein Rechenausdruck abhängt. Das ist deine Variable x.

Jetzt kannst du den Rechenausdruck mit der Variable x schreiben. Mit diesem Rezept kommst du immer ans Ziel. Viel Spaß beim Aufstellen von Rechenausdrücken!

32 Kommentare

32 Kommentare
  1. Nur mal so... gefühlt 70% der Kommentare besteht aus Quatsch wie lol und jcdwedcer...! Vielleicht einfach mal lassen Sie geben sich so viel Mühe! Vielen Dank!! :)

    Von Fbernardi1217, vor 28 Tagen
  2. 👍👍👍👍👍👍👍

    Von Nicole S., vor 3 Monaten
  3. Ich habe alles verstanden und richtig. Bin gespannt, was in der Mathe KA für eine Note rauskommt...
    SUPER ERKLÄRT!!!

    Von Borchertadrian, vor 5 Monaten
  4. Würde mich mehr über richtige Aufgaben freuen (z.b. 15x–6x(5x–3)–2x(x+1,5)) aber sonst ganz gut erklärt

    Von Tanja P., vor mehr als einem Jahr
  5. Viel zu schwer, das Video hat nicht geholfen und ich habe nur 2 von 5 Aufgaben richtig

    Von Alexander D., vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechenausdrücke mit Variablen aufstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Rahmenhöhe der Fahrräder.

    Tipps

    Die Variable $x$ beschreibt im gegebenen Term die Beinlänge in $\text{cm}$.

    Du kannst die jeweiligen Beinlängen einfach in den Term einsetzen und die Rahmenhöhe berechnen.

    Lösung

    Die Rahmenhöhe eines Fahrrads lässt mit dem folgenden Terms berechnen:

    • Rahmenhöhe in $\text{cm} = x - 25 ~ \text{cm}$
    Dabei beschreibt die Variable $x$ die Beinlänge in $\text{cm}$. Wenn also $x = 103 ~ \text{cm}$ ist, können wir ganz einfach unseren Wert für die Beinlänge in den Term einsetzen. Dann erhalten wir:

    • Rahmenhöhe in $\text{cm} = 103 ~ \text{cm} - 25 ~ \text{cm}$
    Unsere Rahmenhöhe liegt dann bei $78 ~ \text{cm}$. Genauso funktioniert das auch mit den anderen Beinlängen. Es folgt dann:

    • Rahmenhöhe in $\text{cm} = 50 ~ \text{cm} - 25 ~ \text{cm} = 25 ~ \text{cm}$
    • Rahmenhöhe in $\text{cm} = 65 ~ \text{cm} - 25 ~ \text{cm} = 40 ~ \text{cm}$
  • Bestimme, welche Terme den Sparplan darstellen.

    Tipps

    Die Geldsumme hängt von der Anzahl der Monate ab.

    Die Anzahl der Monate ist hier die Variable $x$.

    Lösung

    Wir suchen einen Term, welcher die gesparte Geldsumme bestimmt. Es wurden bereits $120 ~ €$ gespart und jeden weiteren Monat werden $15 ~ €$ dazukommen.

    Das heißt, dass nach einem Monat die gesparte Geldsumme $120 ~ € + 15 ~ € = 135 ~ €$ beträgt, nach zwei Monaten $120 ~ € +15 ~ € + 15 ~ € = 150 ~ €$ und so weiter.

    Wie wir sehen, hängt die gesparte Geldsumme von der Anzahl der Monate ab. Je mehr Monate vergangen sind, desto mehr Geld wurde gespart. Wir benennen nun die Anzahl der Monate mit der Variablen $x$. So brauchen wir nicht ständig $15 ~ €$ addieren, wenn ein weiterer Monat vergangen ist. Mit den folgenden Termen können wir diese Zusammenhang beschreiben:

    • $120 ~ € + x \cdot 15 ~ €$
    • $x \cdot 15 ~ € + 120 ~ €$
    Mit diesem Term können wir ganz leicht berechnen, wie hoch die Geldsumme nach $x$ Monaten ist.

    Für $x = 3$ ergibt sich beispielsweise $120 ~ € + 3 \cdot 15 ~ € = 165 ~ €$. Somit haben wir nach $3$ Monaten $165 ~ €$ gespart.

  • Ermittle, welcher Sparplan nach $9$ Jahren am meisten Geld einbringt.

    Tipps

    Setze $x = 9$ ein und vergleiche die Ergebnisse der Terme.

    Sortiere die Terme nach der Höhe des Ergebnisses. Beginne dabei mit dem kleinsten Betrag.

    Lösung

    Gegeben sind drei verschiedene Sparpläne, die abhängig von der Anzahl vergangener Jahre unterschiedlich günstig sind. Will man wissen, welcher nach $9$ Jahren am meisten Geld erbracht hat, muss man einfach $x = 9$ in die Terme einsetzen und diese dann vergleichen.

    So erhält man mit $x = 9$ folgende Rechnungen:

    • $3000 ~ € + 9 \cdot 950 ~ € = 11550 ~ €$
    • $500 ~ € + 9 \cdot 1250 ~ € = 11750 ~ € $
    • $2000 ~ € + 9 \cdot 1100 ~ € = 11900 ~€$

  • Bestimme den gesuchten Term sowie die gesuchten Werte anhand der Tabelle.

    Tipps

    Führe eine Variable für die Anzahl der Wochen ein und schreibe den Rechenausdruck mit der Variablen auf.

    Setze $10$ in die Variable $x$ im Term ein.

    Setze unterschiedliche Werte in $x$ ein, um die gewünschte Summe von $150 ~ €$ zu erhalten.

    Lösung

    Gegeben ist eine Tabelle, welche einen Sparplan veranschaulicht. Sie verfügt über zwei Spalten, die die Anzahl der Wochen und das gesparte Geld anzeigen.

    Zu Beginn, also nach $0$ Wochen, sind bereits $50 ~ €$ gespart. Dann kommen pro Woche $5 ~ €$ dazu.

    Ein Term, der das darstellt, wäre $50 ~ € + x \cdot 5 ~ €$. Die Variable $x$ zeigt die Anzahl der vergangenen Wochen an.

    Möchte man nun wissen, wie viel nach $10$ Wochen gespart wurde, so setzt man $x = 10$ einfach in den Term ein:

    $50 ~ € + 10 \cdot 5 ~ € = 100 ~ €$.

    Will man dagegen untersuchen, wie viele Wochen gespart werden muss, um $150 ~ €$ anzusparen, so setzt man die Tabelle fort. Nach einigen Versuchen findet man heraus, dass nach $20$ Wochen die gewünschte Summe von $150 ~ €$ erreicht wird.

  • Bestimme mithilfe des Distributivgesetzes den Term, der zu $4 \cdot x - 8$ gleichwertig ist.

    Tipps

    Multipliziere die fünf Terme aus und vergleiche deine Ergebnisse mit $4 \cdot x - 8$.

    Das Distributivgesetz besagt:

    $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $2\cdot (3+x)=2\cdot 3+2\cdot x=6+2x$

    Lösung

    Das Distributivgesetz dient dazu, vorteilhaft zu rechnen. So können wir schwierige Rechnungen in leichtere verwandeln:

    $5 \cdot 23 = 5 \cdot (20 + 3) \stackrel{\mathrm{\text{DG}}}= 5 \cdot 20 + 5 \cdot 3 = 115$.

    Dabei haben wir uns an der Stelle $\stackrel{\mathrm{\text{DG}}}=$ das Distributivgesetz zunutze gemacht. Rechenausdrücke mit Variablen können wir genauso umformen, wie Rechenausdrücke, die nur Zahlen enthalten.

    In unserer Aufgabe besteht die Schwierigkeit darin, dass wir in die andere Richtung umformen. Es ist nämlich kein Klammerausdruck gegeben, sondern der bereits aufgelöste Term $4 \cdot x - 8$.

    Sicher kann man jetzt eine Zahl ausklammern, aber es ist in unserem Fall geschickter, die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zu untersuchen.

    $2 \cdot (x - 4) = 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = 2 \cdot x - 8$. Das ist nicht der gesuchte Term.

    Wir formen also alle weiteren Terme um und erkennen:

    $4 \cdot (x - 2) = 4 \cdot x - 4 \cdot 2 = 4 \cdot x - 8$.

  • Ermittle den gesuchten Wert und Term.

    Tipps

    Stelle einen Term auf, der die gefahrenen Kilometer in Abhängigkeit von der Anzahl vergangener Stunden darstellt. Du kannst die Anzahl vergangener Stunden mit der Variablen $x$ bezeichnen.

    Ermittle mit Hilfe einer Tabelle und durch Einsetzen unterschiedlicher Werte die gesuchte Stundenanzahl.

    Lösung

    Wir suchen einen Term, der uns die bereits zurückgelegten Kilometer angibt. Abhängig ist diese Strecke von der Anzahl der vergangenen Stunden.

    Schauen wir uns an, welche Informationen gegeben sind: Marie ist bereits $3 ~\text{km}$ von den insgesamt $39~\text{km}$ gefahren. Sie legt in einer Stunde $12 ~\text{km}$ zurück. Wir stellen einen Term auf, der uns die zurückgelegte Strecke anzeigt:

    $3 ~\text{km} + (\text{Anzahl der Stunden}) \cdot 12 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Hierbei ist $\text{h}$ die Einheit für Stunde ist. Nun führen wir eine Variable $x$ ein, welche die Anzahl der Stunden beschreibt:

    $3 ~\text{km} + x \cdot 12 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Nach einer Stunde hätte sie $15 ~\text{km}$ mit ihrem Fahrrad zurückgelegt. Uns interessiert aber, nach wie vielen Stunden sie $39 ~\text{km}$ gefahren ist. Wir legen also die zurückgelegten Kilometer fest:

    $39 ~\text{km} = 3 ~\text{km} + x \cdot 12 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Wenn wir hier einige Zahlen einsetzen, finden wir schnell die richtige Lösung. Sie lautet $x = 3$ Stunden.

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