Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (Übungsvideo)

Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (Übungsvideo) Übung

• Gib an, wie du allgemein eine quadratische Ungleichung lösen kannst.

  Tipps

  Was muss getan werden, um die p-q-Formel auf eine quadratische Gleichung anzuwenden?

  Willst du die p-q-Formel anwenden, muss der Vorfaktor bei x² eine Eins sein.

  Du kannst $x^2 + px + q$ durch Faktorisierung auch als ein Produkt schreiben.

  Lösung

  Es soll an einem Beispiel die Schrittfolge verdeutlicht werden. Hierzu wollen wir die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $3x^2 - 3x - 6 < 0$ bestimmen. Es ist $a = 3$.

  1. Im ersten Schritt teilen wir also durch 3 und erhalten die Ungleichung $x^2 - x - 2 < 0$.

  2. Im zweiten Schritt wollen wir die Gleichung $x^2 - x - 2 = 0$ faktorisieren. Dazu bestimmen wir mit der p-q-Formel die Lösungen. Es sind $p = -1$ und $q = -2$.

  $\begin{align} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}\\ &=0{,}5 \pm 1{,}5 \end{align}$

  Dementsprechend sind die Lösungen $x_1 = 0,5 + 1,5 = 2$ oder $x_2 = 0,5 - 1,5 = -1$ und die Faktorisierung lautet $(x - 2)\cdot (x + 1) = 0$.

  3. Im dritten Schritt schreiben wir die Gleichung in eine Ungleichung zurück, also erhalten wir

  $\begin{align}(x - 2)\cdot(x + 1) < 0.\end{align}$

  4. Im vierten Schritt bestimmen wir das Vorzeichen des Produktes. Das Produkt ist echt kleiner als Null, also besitzt es ein negatives Vorzeichen. Damit entstehen zwei Fälle für die Faktoren.

  Fall 1 (erster Faktor negativ, zweiter Faktor positiv):

  $\begin{align} x - 2 < 0 ~~&\wedge~~ x + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x < 2 ~~&\wedge~~ x > -1 \end{align}$

  Fall 2 (erster Faktor positiv, zweiter Faktor negativ):

  $\begin{align} x - 2 > 0 ~~&\wedge~~ x + 1 < 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x > 2 ~~&\wedge~~ x < -1 \end{align}$

  Aus dem ersten Fall folgt $-1 < x < 2$ und aus dem zweiten Fall folgt $2 < x < -1$, was jedoch für keine reelle Zahl x zutreffend ist. Somit erfüllen nur alle x zwischen -1 und 2 die quadratische Ungleichung.

  5. Wir können also im fünften und letzten Schritt die Lösungsmenge angeben. Diese ist

  $\begin{align}\mathbb{L}=\{x~|~x\in{]-1,2[}\}.\end{align}$

• Berechne die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung.

  Tipps

  Forme die Ungleichung zunächst so um, dass vor dem x² eine Eins als Vorfaktor steht.

  Mit welcher Formel löst man quadratische Gleichungen?

  Das Produkt zweier Zahlen ist negativ, wenn ein Faktor positiv und der andere negativ ist.

  Lösung

  1. Die Ungleichung $-x^2 + 5x - 6 > 0$ soll gelöst werden. Hierfür dividieren durch -1, um eine „unsichtbare” 1 vor dem $x^2$ zu bekommen.

  $\begin{align} -x^2+5x-6&>0 \quad &|& :(-1)\\ \Leftrightarrow \quad x^2-5x+6&<0 \end{align}$

  Wichtig hierbei ist, dass sich das Relationszeichen umdreht, da wir durch eine negative Zahl geteilt haben.

  2. Die Ungleichung fassen wir nun als Gleichung auf, d.h. $x^2 - 5x + 6 = 0$. Diese quadratische Gleichung können wir mit der p-q-Formel lösen. Dabei sind $p = -5$ und $q = 6$.

  $\begin{align} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=-\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\frac{(-5)^2}{4}-6}\\ &=\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}}\\ &=2{,}5\pm 0{,}5 \end{align}$

  Folglich lösen $x_1 = 2,5 + 0,5 = 3$ oder $x_2 = 2,5 - 0,5 = 2$ die quadratische Gleichung.

  3. Nun faktorisieren wir die Gleichung, womit gilt:

  $\begin{align} x^2-5x+6=0 ~~\Leftrightarrow~~ (x-3)\cdot(x-2)=0 \end{align}$

  Jetzt machen wir aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit $(x-3) \cdot (x-2) < 0$.

  4. Ein Produkt ist echt kleiner als Null, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Somit betrachten wir den Fall 1 (erster Faktor positiv, zweiter Faktor negativ)

  $\begin{align} x-3>0 ~~&\wedge~~ x-2<0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x>3 ~~&\wedge~~ x<2 \end{align}$

  und den Fall 2 (erster Faktor negativ, zweiter Faktor positiv)

  $\begin{align} x-3<0 ~~&\wedge~~ x-2>0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x<3 ~~&\wedge~~ x>2 \end{align}$

  Aus dem ersten Fall folgt $3 < x < 2$, was für keine reelle Zahl x zutreffen kann. Die Lösung erhalten wir also aus dem zweiten Fall. Es folgt $2 < x < 3$.

  5. Die Lösungsmenge ist damit $\mathbb{L}=\{x~|~x\in {]2,3[} \}$. Somit erfüllen alle reellen Zahlen aus dem offenen Intervall $]2,3[$ die Ungleichung $-x^2 + 5x - 6 > 0$.

• Arbeite den Lösungsweg zur Bestimmung der Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung heraus.

  Tipps

  Es sind a = -2, b = 10 und c = 28.

  Lösen $x_1$ und $x_2$ die quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$, dann gilt $x^2 + px + q = (x - x_1)\cdot (x - x_2)$. Damit erhältst du die nebenstehende Gleichung.

  Gilt sowohl $x>a$ und $x>b$, so kannst du das kurz als $x>a$ für $a>b$ schreiben.

  Lösung

  Die quadratische Ungleichung $-2x^2 + 10x + 28 < 0$ soll gelöst werden.

  1. Im ersten Schritt dividieren wir beide Seiten durch $-2$ und fassen die resultierende Ungleichung $x^2-5x-14>0$ (Achtung: das Relationszeichen ändert sich bei der Division mit einer negativen Zahl) als Gleichung auf. Dann erhalten wir also $x^2 - 5x - 14 = 0$.

  2. Jetzt können wir als Alternative zur Anwendung der p-q-Formel eine quadratische Ergänzung vornehmen. Es ist dann:

  $\begin{align} x^2 - 5x - 14= (x - 2{,}5)^2 - 6{,}25 - 14 = 0 \Longleftrightarrow (x-2{,}5)^2 = 20{,}25 \end{align}$

  Hieraus kann man die Lösungen der Gleichung ebenfalls „ablesen”. Es gilt nämlich $(-2 - 2,5)^2 = (-4,5)^2 = 20,25$ und $(7 - 2,5)^2 = 4,5² = 20,25$. Also lösen $x_1 = -2$ und $x_2 = 7$ die quadratische Gleichung, womit die Faktorisierung $(x + 2)\cdot (x - 7) = 0$ lautet.

  3. Umgeschrieben zur Ungleichung erhalten wir $(x + 2)\cdot (x - 7) > 0$. Das Relationszeichen hat sich „umgedreht”, da wir zu Beginn durch eine negative Zahl bzw. durch $-2$ dividiert haben.

  4. Das Produkt ist positiv, womit beide Faktoren das gleiche Vorzeichen besitzen müssen. Es ergeben sich zwei Fälle.

  Fall 1:

  $\begin{align} x+2>0 ~~&\wedge~~ x-7>0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x>-2 ~~&\wedge~~ x>7 \end{align}$

  Fall 2:

  $\begin{align} x+2<0 ~~&\wedge~~ x-7<0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x<-2 ~~&\wedge~~ x<7 \end{align}$

  Aus Fall 1 folgt $x > 7$ und aus Fall 2 folgt $x < -2$. In der Lösungsmenge sind also alle reellen Zahlen, die echt größer als 7 oder echt kleiner als $-2$ sind. Formalisiert bedeutet das:

  $\begin{align} \mathbb{L}=\{ x~|~x\in {(-\infty, -2)} \cup {(7, +\infty)} \} \end{align}$

• Ermittle die Lösungsschritte zur Lösung zweier Ungleichungen.

  Tipps

  Nutze die p-q-Formel, um quadratische Gleichungen der Form $x^2 + px + q = 0$ zu lösen.

  Mit der Schreibweise $\mathbb{R}\backslash[2,5]$ sind alle reellen Zahlen ohne die reellen Zahlen aus dem abgeschlossenen Intervall $[2,5]$ gemeint.

  Die Ungleichungskette $2 < x < -3$ ist für keine reelle Zahl x gültig, da keine Zahl existiert, die echt größer als 2 und gleichzeitig echt kleiner als $-3$ ist.

  Lösung

  Wir betrachten zuerst die Ungleichung $2x^2 + 2x - 12 < 0$.

  1.1. Wir dividieren durch den Vorfaktor $a = 2$ und erhalten die Ungleichung $x^2 + x - 6 < 0$.

  1.2. Jetzt soll die Gleichung $x^2 + x - 6 = 0$ gelöst werden. Hierfür verwenden wir die p-q-Formel. Es sind $p = 1$ und $q = -6$.

  $\begin{align} x_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+6}=-0{,}5 \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{4}}=-0{,}5 \pm 2{,}5\end{align}$

  Die Lösungen sind damit $x_1 = 2$ oder $x_2 = -3$.

  1.3. Es folgt somit $(x - 2)\cdot (x + 3) < 0$ und damit die Fallunterscheidung ($x - 2 < 0$ und $x + 3 > 0$) oder ($x - 2 > 0$ und $x + 3 < 0$). Es ergeben sich dadurch die äquivalenten Ungleichungen ($x < 2$ und $x > -3$) oder ($x > 2$ und $x < -3$). Letzterer Fall muss nicht betrachtet werden, da dieser zu einem Widerspruch führt, denn es existiert keine reelle Zahl x, die echt größer als 2 und gleichzeitig echt kleiner als $-3$ ist.

  1.4. Aus den beiden Ungleichungen $x < 2$ und $x > -3$ folgt $-3 < x < 2$, was wir dann ebenfalls zur Ungleichung zuordnen können. Alle reellen Zahlen x, die diese Bedingung erfüllen, gehören also zur Lösungsmenge: $\mathbb{L}=(-3,2)$.

  Wir lösen nun die zweite quadratische Ungleichung $-3x^2 - 15x - 12 < 0$:

  2.1. Dividiert man die Ungleichung $-3x^2 - 15x - 12 < 0$ durch den Vorfaktor $a = -3$, dann erhält man $x^2 + 5x + 4 > 0$.

  2.2. Es ist $(-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ und $(-4)^2 + 5 \cdot (-4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$, womit $x_1 = -1$ oder $x_2 = -4$ die Gleichung $x^2 + 5x + 4 = 0$ lösen. Also gilt auch $(x + 1)\cdot (x + 4) > 0$.

  2.3. Da das Produkt positiv ist, folgen die beiden Fälle ($x + 1 > 0$ und $x + 4 > 0$) oder ($x + 1 < 0$ und $x + 4 < 0$) und damit die äquivalenten Ungleichungen ($x > -1$ und $x > -4$) oder ($x < -1$ und $x < -4$). Hieraus lassen sich die Elemente ($x + 1 > 0 \wedge x + 4 > 0$) und ($x < -1 \wedge x < -4$) entnehmen.

  2.4. Außerdem folgt aus den Ungleichungen $x > -1$ oder $x < -4$, d.h., alle reellen Zahlen echt größer als $-1$ und echt kleiner als $-4$ erfüllen die Ungleichung. Die Zahlen zwischen $-4$ und $-1$ erfüllen die Ungleichung nicht. Also „schneiden” wir das abgeschlossene Intervall $[-4,-1]$ aus der Menge der reellen Zahlen heraus und erhalten als Lösungsmenge $\mathbb{L}=\mathbb{R}\backslash[-4,-1]$.

• Stelle dar, wie du die quadratische Ungleichung lösen kannst.

  Tipps

  Die allgemeine Form lautet: $ax^2+bx+c=0$.

  Die p-q-Formel kann nur angewendet werden, wenn der Vorfaktor a vor x² gerade eins ist.

  Die Lösungen x$_1$ und x$_2$ von x² + px + q = 0 liefern die Faktorisierung.

  Lösung

  Die Ungleichung $-x^2 + 5x - 6 > 0$ soll gelöst werden.

  1. Im ersten Schritt musst du die Ungleichung durch $a = -1$ teilen. Dann entsteht die Ungleichung $x^2 - 5x + 6 < 0$. Also gehören

  „Die Ungleichung durch den Vorfaktor teilen.” und

  „Es gilt dann: $-x^2 + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 < 0$” zusammen.

  2. Den Term $x^2 - 5x + 6$ müssen wir jetzt faktorisieren, weshalb wir $x^2 - 5x + 6 = 0$ betrachten. Mit der p-q-Formel lässt sich diese quadratische Gleichung lösen. Hier sind $p = -5$ und $q = 6$.

  $x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-6} = 2{,}5 \pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}} = 2{,}5 \pm 0{,}5$

  Die Lösungen sind daher $x_1 = 3$ oder $x_2 = 2$, womit $(x - 2)\cdot(x - 3) = 0$ ist. Also gehören

  „Der quadratische Term soll faktorisiert werden” und „Somit ist dann: $(x - 2)\cdot(x - 3) = 0$” zusammen.

  3. Nun schreiben wir die quadratische Gleichung wieder zu einer quadratischen Ungleichung zurück. Wir erhalten $(x - 2)\cdot(x - 3) < 0$. Also gehören

  „Die Gleichung wieder in eine Ungleichung überführen.” und

  „Es entsteht also die Ungleichung: $(x - 2)\cdot(x - 3) < 0$” zusammen.

  4. Das Produkt $(x - 2)\cdot(x - 3)$ soll negativ sein. Folglich muss ein Faktor positiv und der andere Faktor negativ sein. Wir erhalten also zwei Fälle.

  Fall 1 (erster Faktor positiv, zweiter Faktor negativ):

  $\begin{array}{llll} & x-3>0 & \wedge & x-2<0 \\ \Leftrightarrow & x>3 & \wedge & x<2 \end{array}$

  Fall 2 (erster Faktor negativ, zweiter Faktor positiv):

  $\begin{array}{llll} & x-3<0 & \wedge & x-2>0 \\ \Leftrightarrow & x<3 & \wedge & x>2 \end{array}$

  Also gehören

  „Das Vorzeichen des Produktes bestimmen.” und

  „Fallunterscheidung: $(x - 2 > 0 \wedge x - 3 < 0)$ oder $(x - 2 < 0 \wedge x - 3 > 0)$” zusammen.

  5. Aus Fall 1 folgt $3 < x < 2$, was unmöglich ist. Fall 2 liefert $2 < x < 3$, d.h. in der Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen x, die zwischen 2 und 3 liegen. Die Zahlen 2 und 3 gehören allerdings nicht dazu. Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\{x~|~x\in{]2,3[}\}$. Also gehören

  „Die Lösungsmenge mit der Bezeichnung $\mathbb{L}$ angeben.” und

  „Damit ist also $\mathbb{L}=\{x~|~x\in{]2,3[}\}$.” zusammen.

• Ermittle die Menge an reellen Zahlen, die die folgende Bedingung erfüllt.

  Tipps

  Wenn du eine Zahl $x$ quadrierst und dazu das Vierfache von $x$ addierst, dann ergibt sich eine Zahl, die größer als Null ist.

  Dies ist die zu lösende Ungleichung.

  Wann ist das Produkt zweier Zahlen positiv?

  Die Mengen $(-\infty , -8) \cup (4, +\infty )$ und $\mathbb{R}\backslash[-8,4]$ sind gleich.

  Lösung

  Formalisieren wir zunächst den Satz „Das Quadrat einer Zahl, vermehrt um das Vierfache dieser Zahl, soll positiv sein.”. Die gesuchte Zahl nennen wir x und vermehren steht für die Addition. Also ergibt sich $x^2 + 4x > 0$. Diese quadratische Ungleichung müssen wir lösen.

  1. Es ist bereits $a = 1$, weshalb wir die Ungleichung nicht mehr durch 1 dividieren müssen.

  2. Wir brauchen die Ungleichung in diesem Fall auch nicht zwingend als Gleichung umschreiben, denn wir können ganz einfach das x ausklammern.

  $\begin{align} x^2+4x>0 \Longleftrightarrow x\cdot(x+4) >0 \end{align}$

  3. Das Produkt ist positiv, weshalb beide Faktoren das gleiche Vorzeichen besitzen müssen. Wir können also folgende Fallunterscheidung machen.

  Fall 1 (beide Faktoren positiv) :

  $\begin{align} x>0 ~~&\wedge~~ x+4>0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x>0 ~~&\wedge~~ x>-4 \end{align}$

  Fall 2 (beide Faktoren negativ):

  $\begin{align} x<0 ~~&\wedge~~ x+4<0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x<0 ~~&\wedge~~ x<-4 \end{align}$

  Daraus ergeben sich zum einen $x > 0$ und zum anderen $x < -4$. Also erfüllen alle positiven reellen Zahlen x und alle reellen Zahlen x echt kleiner als -4 die Ungleichung und damit die Bedingung.

  4. Die Lösungsmenge lautet folglich

  $\begin{align} \mathbb{L}=\left\{x~|~x\in(-\infty, -4) \cup (0, +\infty)\right\} \end{align}$ Sie kann auch in der veränderten aber äquivalenten Schreibweise $\mathbb{L}=\mathbb{R}\backslash[-4,0]$ angegeben werden.