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Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen 08:44 min

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Transkript Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen

Gleich immer nur gleich nur der Pöbel möchte alles gleichmachen. Aber Graf Graph weiß, dass im Leben und in der Mathematik so einiges ungleich ist. Deshalb sucht er eine neue Herausforderung in den Lösungen quadratischer Ungleichungen. Bei diesen quadratischen Ungleichungen gibt es ganz schön viele verschiedene Fälle. Aber: Was sind eigentlich quadratische Ungleichungen? Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen, die mindestens einen quadratischen Term enthalten. Eine quadratische Ungleichung liegt in allgemeiner Form vor, wenn alle Glieder des quadratischen Terms auf einer Seite der Ungleichung versammelt sind und auf der anderen Seite eine Null steht. Wir machen uns das Leben aber etwas leichter, wenn wir die quadratischen Ungleichungen in der Normalform betrachten. Du kannst jede Ungleichung von der allgemeinen Form in die Normalform bringen, indem du durch a teilst. Denk aber dran: wenn a negativ ist, musst du dabei das Vergleichszeichen umdrehen. Wir ersetzen den Bruch 'b durch a' durch p und 'c durch a' durch q. Für das Vergleichszeichen gibt es vier Möglichkeiten: "größer als", "größer gleich", "kleiner als" oder "kleiner gleich". Und was für Lösungen kann so eine Ungleichung haben? Dazu müssen wir zunächst die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Funktion ermitteln. Die Lage und Anzahl der Nullstellen bestimmt dann die Lösungsmenge der Ungleichung. Eine Quadratische Funktion hat bekanntlich entweder keine Nullstellen, oder genau eine Nullstelle, oder zwei Nullstellen. Da unsere Funktionen immer in Normalform gegeben sein werden, sind ihre Funktionsgraphen stets nach oben geöffnete Parabeln. Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Nehmen wir an, die Funktion 'f von x gleich x Quadrat plus 1' gehört zu unserer Ungleichung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle - sein tiefster Punkt liegt über der x-Achse. Damit können wir die Lösungsmengen der vier möglichen Ungleichungen zu dieser Funktion bestimmen. Lautet die Ungleichung 'x Quadrat plus 1 kleiner als 0' oder 'kleiner gleich 0', suchen wir alle x-Werte, für die die Funktionswerte negativ oder 0 sind. Dann muss die Lösungsmenge also leer sein. Denn wie wir am Graphen sehen, werden nur Funktionswerte größer gleich 1 angenommen. Wenn die Ungleichungen 'größer' oder 'größer gleich' lauten erfüllen alle reellen Zahlen die Ungleichungen. Schließlich liegt für alle x-Werte der Funktionsgraph in den positiven y-Werten. Damit wäre der erste Fall schonmal durch, aber wie viele mögen da noch kommen? Was können wir denn über eine quadratische Ungleichung aussagen, wenn ihre zugehörige Funktion 'f von x gleich x Quadrat' lautet? Der Graph ist die Normalparabel und die besitzt eine Nullstelle. Lautet die Ungleichung also 'x Quadrat ist kleiner als 0', dann gibt es keine Lösung denn der Graph der Funktion ist nirgendwo negativ! Für 'x Quadrat kleiner gleich 0' gibt es aber eine Lösung – nämlich das "gleich": bei 'x gleich 0' besitzt der Funktionsgraph eine Nullstelle! Wie sieht es mit 'größer als 0' aus? Der Funktionsgraph ist überall positiv, außer bei 'x gleich 0'. Also ist die Lösungsmenge dieser Ungleichung gegeben durch alle reellen Zahlen ohne die 0. Und zu guter Letzt noch der Fall 'x Quadrat größer gleich 0'. Da nun auch der Funktionswert 0 mit zur Ungleichung gehört, ist die Lösungsmenge gleich ganz R. Aber das waren immer noch nicht alle Fälle! Zum Beispiel könnte die zur Ungleichung gehörige Funktion 'f von x gleich x Quadrat minus 1' lauten. Du ahnst es schon – ihr Funktionsgraph hat zwei Nullstellen. Die liegen bei 'x eins' gleich 'minus eins' und bei 'x zwei' gleich 'plus eins'. Lautet das Vergleichszeichen der Ungleichung 'kleiner als', suchen wir diejenigen x-Werte, deren Funktionswerte auch kleiner als 0 sind. Das sind alle reellen Zahlen zwischen den beiden Nullstellen 'minus 1' und 1 aber ohne die beiden Nullstellen selbst. Für 'kleiner gleich 0' kommen die beiden Nullstellen noch hinzu — wir schreiben hier also in der Lösungsmenge auch kleiner gleich. Lautet die Ungleichung 'x Quadrat minus 1 größer als 0', suchen wir nach x-Werten, deren Funktionswerte positiv sind. Das erfüllen alle reellen Zahlen kleiner als 'minus 1', also links der ersten Nullstelle und größer als 'plus 1', also rechts der zweiten Nullstelle. Wäre das Vergleichszeichen 'größer gleich 0', kämen zur Lösungsmenge noch die beiden Nullstellen selbst hinzu. Na, das waren jetzt aber alle Fälle – Zeit für die Zusammenfassung. Um die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung zu bestimmen, bringen wir sie zuerst auf Normalform. Dann betrachten wir die zur Ungleichung gehörende Funktion und ihren Graphen. Wenn der Graph zwei Nullstellen besitzt, liegen die Lösungen der Ungleichung entweder innerhalb oder außerhalb der beiden Nullstellen. Innerhalb liegen sie, wenn das Vergleichszeichen 'kleiner als' lautet, denn für diese x-Werte nimmt der Graph der zugehörigen Funktion negative y-Werte an. Das sind dann alle x-Werte zwischen den beiden Nullstellen x1 und x2. Außerhalb liegen sie, wenn das Vergleichszeichen 'größer als' lautet. Denn für diese x-Werte nimmt der Graph der zugehörigen Funktion positive y-Werte an. Und das sind dann alle x-Werte kleiner x1 und größer x2. Bei größer gleich beziehungsweise kleiner gleich sind die Nullstellen selbst auch Teil der Lösungsmenge. Besitzt die zugehörige Funktion nur eine Nullstelle, sind die möglichen Lösungsmengen etwas überschaubarer. Für eine Ungleichung mit 'kleiner als 0' gibt es gar keine Lösungen, da der Funktionsgraph nie unterhalb der x-Achse verläuft. Für 'kleiner gleich 0' enthält die Lösungsmenge der Ungleichung genau die Nullstelle der Funktion. Größer als 0' erfüllen alle x-Werte außer der Nullstelle – denn überall sonst verläuft der Funktionsgraph im positiven Bereich. Der Ungleichung mit 'größer gleich' genügen schließlich alle reellen Zahlen: der Funktionsgraph ist nämlich nie negativ. Die letzte Möglichkeit lautet, dass der Funktionsgraph gar keine Nullstelle besitzt. Da er nach oben geöffnet ist, liegt er komplett im positiven Bereich. Also wird eine solche Ungleichung keine Lösung besitzen, wenn das Vergleichszeichen 'kleiner' oder 'kleiner gleich' lautet. Für eine Ungleichung mit 'größer als' oder 'größer gleich' sind hingegen alle reellen Zahlen Lösungen. Merk dir also immer: - zugehörigen Funktionsgraph zeichnen und herausfinden, wo positive und wo negative Funktionswerte angenommen werden. - Ob die Nullstellen mit zur Lösungsmenge gehören, kannst du immer schnell am Vergleichszeichen ablesen: - Wenn es ein 'gleich' enthält, sind die Nullstellen Teil der Lösung. Wenn nicht, dann gehören die Nullstellen auch nicht zur Lösungsmenge. Das war ja fast schon unangenehm strapaziös. Graf Graph widmet sich dann vielleicht doch lieber seinem guten Käse. Mince alors! Da hat aber jemand beim Käse ganz schön zugelangt. Eh bien, dann muss Graf Graph eben Kuchen essen.

1 Kommentar
  1. Ich bin der erste Kommentar ✌️🙃

    Von Katjastanger, vor 4 Monaten

Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Lösungsmenge.

    Tipps

    Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird von den Lösungen der quadratischen Gleichung begrenzt.

    Die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 + 4 < 0$ ist leer.

    Eine Gleichung der Form $x^2 + c > 0$ mit $c \neq 0$ hat entweder keine oder zwei Lösungen.

    Lösung

    Beispiel 1:

    Um die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 +1 \leq 0$ zu finden, bestimmt Graf Graph zuerst die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 +1 = 0$. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen der Funktion

    $f(x) = x^2+1$.

    Da $1 > 0$ ist und $ x^2 \geq 0$ ist für alle $x \in \mathbb R$, ist auch $x^2 +1 > 0$. Die Funktion $f(x) = x^2+1$ hat also keine Nullstellen. Es gibt auch keine $x \in \mathbb R$ mit $f(x) \leq 0$, daher ist die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 + 1 \leq 0$ leer, also:

    $\mathbb L = \emptyset$.

    Da $f(x) \geq 1 > 0$ für alle $x \in \mathbb R$ gilt, ist die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 +1 > 0$:

    $\mathbb L = \mathbb R$.

    Beispiel 2:

    Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $x^2 - 1 \leq 0$ wird durch die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Die Lösungsmenge der Gleichung $x^2-1=0$ sind die Nullstellen der quadratischen Funktion:

    $f(x) =x^2-1$.

    Diese Funktion hat zwei Nullstellen, nämlich $x_1=-1$ und $x_2=1$. Um die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 \leq 0$ zu finden, sucht Graf Graph alle reellen Zahlen $x$, für die $x^2-1$ kleiner oder gleich $0$ ist. Dies sind alle $x \in \mathbb R$, für die $x^2 \leq 1$ gilt, also alle $x \in \mathbb R$ zwischen $x_1$ und $x_2$. Die Lösungsmenge ist demnach:

    $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -1 \leq x \leq 1\}$.

    Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 > 0$ besteht aus allen reellen Zahlen $x$, für die $x^2 > 1$ gilt, also alle Zahlen $x$, die größer als $1$ oder kleiner als $-1$ sind. Daher findet Graf Graph hier die Lösungsmenge:

    $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x < -1 \text{ oder } x > 1\}$.

  • Gib die Lösungsmengen an.

    Tipps

    Die Lösungsmenge einer Ungleichung der Form $x^2 -c > 0$ mit $c \neq 0$ ist nicht leer.

    Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 < 0$.

    Die Lösungsmenge einer Ungleichung mit dem Vergleichszeichen $\geq$ oder $\leq$ enthält auch das Vergleichszeichen $\geq$ oder $\leq$.

    Lösung

    Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird durch die Lösungsmenge der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Bei den Vergleichszeichen $\geq$ und $\leq$ gehören die Lösungen der quadratischen Gleichung zu der Lösungsmenge der Ungleichung, bei den Vergleichszeichen $>$ und $<$ nicht. Hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen, so liegen die Lösungen der Ungleichung entweder zwischen diesen beiden Lösungen oder außerhalb der Lösungen.

    Konkret ergeben sich folgende Zuordnungen:

    • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 -1 >0$ ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x < -1 \text{ oder } x>1\}$.
    • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 < 0$ ist $\mathbb L = \{ x \in \mathbb R\,|\, -1 < x < 1\}$.
    • Für die Ungleichung $x^2-1 \leq 0$ ergibt sich die Lösungsmenge $\mathbb L= \{x \in \mathbb R\,|\, -1 \leq x \leq 1 \}$.
    • Die Ungleichung $x^2 < 0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L = \emptyset$.
    • Für die Ungleichug $x^2 > 0$ findet Graf Graph die Lösungsmenge $\mathbb L = \mathbb R \backslash \{0\}$.
  • Charakterisiere die Lösungsmengen.

    Tipps

    Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind auch Lösungen der Ungleichung mit den Vergleichszeichen $\geq$ bzw. $\leq$.

    Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 -9 \leq 0$ ist:

    $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -3 \leq x \leq 3 \}$.

    Die Zahl $x=5$ ist keine Lösung der Ungleichung $x^2 -25 > 0$.

    Lösung

    Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird durch die Lösungsmenge der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Bei den Vergleichszeichen $\geq$ und $\leq$ gehören die Lösungen der quadratischen Gleichung zu der Lösungsmenge der Ungleichung, bei den Vergleichszeichen $>$ und $<$ nicht. Hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen, so liegen die Lösungen der Ungleichung entweder zwischen diesen beiden Lösungen oder außerhalb der Lösungen.

    Aus diesen allgemeinen Überlegungen ergeben sich folgende Zuordnungen:

    • Die Ungleichung $x^2-4 >0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L=\{x \in \mathbb R\,|\, x < -2 \text{ oder } x > 2\}$.
    • Für die Ungleichung $x^2-4 \leq 0$ finden wir die Lösungsmenge $\mathbb L= \{x \in \mathbb R\,|\, -2 \leq x \leq 2\}$.
    • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-\pi^2 \leq 0$ ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -\pi \leq x \leq \pi\}$.
    • Die Ungleichung $x^2 -\pi \geq 0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x \leq -\sqrt{\pi} \text{ oder } x \geq \sqrt{\pi} \}$.
  • Analysiere die Ungleichungen.

    Tipps

    Ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung nicht leer, so ist auch die Lösungsmenge der Ungleichungen mit dem Vergleichszeichen $\geq$ bzw. $\leq$ nicht leer.

    Lösungen einer quadratischen Gleichung sind keine Lösung der quadratischen Ungleichungen mit den Vergleichszeichen $<$ bzw. $>$.

    Aus der binomischen Formel $(x-2)^2 = x^2 -4x +4$ kannst Du ablesen, dass die Ungleichung $x^2 - 4x + 4 < 0$ keine Lösungen hat.

    Lösung

    Für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$. Daher hat die Gleichung $x^2 < 0$ keine Lösungen. Das gleiche gilt für die Ungleichungen $x^2 + c <0$ und $x^2 + c \leq 0$, wenn $c>0$ ist.

    Die Ungleichung in der Normalform $x^2 + px +q < 0$ hat keine Lösungen, wenn $q > \frac{p^2}{4}$ ist. Das kannst Du an der $pq$-Formel für die Lösungen der quadratischen Gleichung ablesen. Unter der Wurzel steht dann eine negative Zahl, daher hat die quadratische Gleichung keine Lösungen. Mit der quadratischen Ergänzung kannst Du auch leicht sehen, dass die Ungleichung keine Lösungen hat. Es ist nämlich:

    $x^2 + px + q = (x-\frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})$.

    Ist der zweite Term positiv, so kann die Ungleichung keine Lösungen haben.

    Im einzelnen ergeben sich die folgenden Aussagen.

    Leer sind die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

    • $x^2 + 3 < 0$: $\quad$ Da $3 > 0$, gilt für alle $x \in \mathbb R$ auch $x^2 + 3 \geq 3 > 0$.
    • $x^2 + 2x + 1 < 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ ist $x^2 + 2x +1 = (x+1)^2 >0$. Die zugehörige quadratische Funktion hat zwar eine Nullstelle, aber die gehört wegen des $\lt$-Zeichens in der Ungleichung nicht zur Lösungsmenge.
    • $-x^2 - \pi > 0$: $\quad$ Wegen $\pi > 0$ ist für alle $x \in \mathbb R$ hier $-x^2 - \pi \leq -\pi < 0$.
    Nicht leer sind die Lösungsmengen für die folgenden Ungleichungen:

    • $x^2 -2 \leq 0$: $\quad$ Die Lösungsmenge ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R \,|\, -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\}$.
    • $x^2 - 2x +1 \leq 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ gilt: $x^2-2x+1 = (x-1)^2\geq 0$. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung, also $\mathbb L = \{1\}$. Es handelt sich dabei um die Nullstelle der zugehörigen quadratischen Funktion. Wegen des $\leq$-Zeichens in der Ungleichung gehört diese auf jeden Fall zur Lösungsmenge dazu.
    • $x^2 +1 \geq 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ ist $x^2 \geq 0$. Daher ist auch $x^2 + 1 > 0$. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L = \mathbb R$.
  • Gib die korrekten Aussagen über Lösungen quadratischer Gleichungen an.

    Tipps

    Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 = -1$.

    Hat eine quadratische Gleichung keine Lösung, so ist $\mathbb L = \emptyset$.

    Es gibt keine quadratische Gleichung mit drei oder mehr Lösungen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind wahr:

    • „Es gibt quadratische Gleichungen mit genau einer Lösung.“ Die Gleichung $x^2 =0$ hat die einzige Lösung $x=0$.
    • „Die Gleichung $x^2 -1 =0$ hat zwei Lösungen.“ Die beiden Lösungen sind $x_1=-1$ und $x_2 = 1$.
    • „Die Ungleichung $x^2+1 <0$ ist in Normalform.“ Die Normalform einer quadratischen Ungleichung ist $x^2 + px + q <0$. Hier kann auch ein anderes Vergleichszeichen stehen, aber der Koeffizient von $x^2$ ist in der Normalform immer $1$.
    • „Jede quadratische Gleichung hat eine Lösungsmenge.“ Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung ist die Menge $\mathbb L$ aller Lösungen der Gleichung. Diese Menge gibt es immer. Hat die Gleichung keine Lösungen, so ist $\mathbb L = \emptyset$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine quadratische Gleichung hat mindestens zwei Lösungen.“ Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen; sie kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Andere Fälle sind nicht möglich.
    • „Jede quadratische Gleichung hat eine Lösung $x \in \mathbb R$.“ Die Gleichung $x^2 +1 = 0$ hat keine Lösung $x \in \mathbb R$, denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$ und daher $x^2 +1 \geq 1 >0$.
    • „Die Ungleichung $ax^2 + bx +c >0$ ist in Normalform.“ Die Aussage ist falsch, wenn $a\neq 1$ ist, denn bei quadratischen Ungleichungen in Normalform ist der Koeffizient von $x^2$ stets $1$.
  • Erschließe die Ungleichungen.

    Tipps

    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $a b$.

    Lösung

    Folgende Beschreibungen sind korrekt:

    • „Graf Graph zeichnet ein Koordinatensystem und zieht mit dem Zirkel einen Kreis mit Radius $r$ um den Ursprung. Für Punkte auf der $x$-Achse, die innerhalb des Kreises liegen und nicht auf der Kreislinie selbst, findet er die Ungleichung $x^2 < r^2$.“ Die Punkte auf der $x$-Achse, die im Inneren des Kreises liegen und nicht auf dem Rand, haben einen Abstand zum Mittelpunkt, der kleiner ist als $r$. Der Abstand ist der Betrag der $x$-Komponente. Für alle diese Punkte gilt daher die Ungleichung $x^2 < r^2$.
    • „Graf Graph zeichnet im Koordinatensystem gleichseitige Dreiecke mit Kantenlänge $x$. Er interessiert sich nur für Dreiecke mit einem Flächeninhalt von mindestens $2$. Dies führt ihn auf die Ungleichung $x^2 - \frac{4}{\sqrt{3}} \geq 0$.“ Der Flächenihalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes aus der Grundseite und der Höhe. Hier ist die Grundseite $x$. Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Höhe zugleich die Mittelsenkrechte. Das halbierte gleichseitige Dreieck ist rechtwinklig: die Hypotenuse ist eine Seite $x$ des gleichseitigen Dreiecks, die Katheten sind die Höhe $h$ und die halbierte Seite $\frac{x}{2}$. Der Satz des Pythagoras liefert die Gleichung $\frac{x^2}{4} + h^2 = x^2$. Umgestellt nach $h$ ergibt sich $h = \sqrt{\frac{3}{4}} x^2$. Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ist dann $A=\frac{1}{2} x \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$. Die Ungleichung für den Flächeninhalt lautet also $\frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \geq 1$ bzw. in Normalform $x^2 - \frac{4}{\sqrt{3}} \geq 0$.

    Die folgenden Beschreibungen sind falsch:

    • „Graf Graph zeichnet ein Quadrat der Kantenlänge $q$. Dann zeichnet er ein Rechteck. Die eine Seite ist $p$, die andere Seite nennt er $x$. Sie soll so groß sein, dass die Fläche des Rechtecks größer ist als die des Quadrates. Diese Forderung an die Seite $x$ beschreibt er durch die Ungleichung $x^2 + px + y > 0$.“ Der Flächeninhalt des Quadrates ist $q^2$, der des Rechtecks $px$. Die korrekte Bedingung wäre $px > q^2$ bzw. $px - q^2 > 0$. Dies ist keine quadratische Ungleichung für $x$.
    • „Im Koordinatensystem sucht Graf Graph alle Punkte, für die die Differenz der Koordinaten mindestens $1$ ist. Die Menge dieser Punkte beschreibt er als Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 >10$.“ Die Diffferenz der Koordinaten ist $x-y$ bzw. $y-x$, die Ungleichung wäre daher $x-y \geq 1$ oder $y-x \geq 1$. Beides sind keine quadratischen Ungleichungen für $x$.