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Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen 07:24 min

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Transkript Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen

Das supergeheime Geheimlabor der Abteilung für dubiose Machenschaften ist das ideale Ziel für Dr. Evils wöchentliche Gemeinheit. Er bereitet sich gerade darauf vor, mit einem Roboter in den streng abgesicherten Komplex einzudringen, um dort etwas unbeschreiblich Böses zu tun. Dazu muss der Roboter zunächst den Vorplatz des Geheimlabors überwinden, aber dieser ist durch zwei Infrarotsensoren abgesichert. Diese Infrarotsensoren projizieren zwei unsichtbare, parabelförmige Bereiche auf den Platz. Alles, was sich durch diese Bereiche bewegt, wird sofort erkannt und gefangen genommen.Der Roboter muss diese parabelförmigen Bereiche also unbedingt meiden. Aber wie geht das, wenn er sie nicht sehen kann? Dazu muss Dr. Evil Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen. Dr. Evil hat das supergeheime Geheimlabor natürlich vorher gehackt und alle Informationen gestohlen, die er bekommen konnte. Darunter waren auch zwei quadratische Ungleichungen, die die zwei parabelförmigen Bereiche der Infrarotsensoren beschreiben. Die erste lautet: "y 1 ist kleiner als minus 2 x Quadrat plus 32 x minus 121". Und die zweite: "y 2 ist größer als 0,25 x Quadrat minus 2,5 x plus 14,25". Dabei gibt der y-Wert jeweils den Startpunkt von der gegenüberliegenden Seite an. Der Roboter fährt dann von diesem Startpunkt geradeaus über den Platz. Dr. Evil möchte zunächst den Startpunkt, "y ist gleich 5" versuchen. Wir setzen also 5 in die erste Ungleichung ein und subtrahieren 5 auf beiden Seiten, so dass auf einer Seite der Ungleichung eine Null steht. Diese Form nennt man die allgemeine Form der quadratischen Ungleichung. Um die Lösungsmenge dieser quadratischen Ungleichung herauszubekommen, betrachten wir zunächst die entsprechende quadratische Gleichung und versuchen, ihre Lösungen zu ermitteln. Dazu teilen wir zunächst durch minus 2 und wenden bei der entstandenen Gleichung die p-q-Formel an. Wenn wir "p gleich minus 16" und "q gleich plus 63" einsetzen und den vorderen Summand und den Wurzelausdruck vereinfachen ergeben sich die Lösungen "x 1 gleich 9" und "x 2 gleich 7". Die Lösungen der quadratischen Gleichung begrenzen die zwei möglichen Lösungsmengen der quadratischen Ungleichung. Die eine mögliche Lösungsmenge, M1, enthält alle Zahlen zwischen 7 und 9. Die andere mögliche Lösungsmenge, M2, enthält alle Zahlen, die größer als 9, oder kleiner als 7 sind. Sieben und neun - müssen wir aber gesondert betrachten: Weil in der Ungleichung ein echt-kleiner-Zeichen steht, gehören die Lösungen der quadratischen Gleichung zu Keiner der beiden möglichen Lösungsmengen der quadratischen Ungleichung. Sieben und neun - gehören also weder zu M1, noch zu M2. Nun müssen wir nur noch überprüfen, welche Lösungsmenge die richtige ist: Dazu setzen wir eine beliebige Zahl in die Ungleichung ein. Achtung: Sieben und neun dürfen wir aber nicht einsetzen, weil wir von ihnen ja schon wissen, dass sie zu keiner der möglichen Lösungsmengen gehören. Probieren wir die 8: Wenn wir quadrieren und den Ausdruck ausrechnen, kommen wir so auf die Ungleichung: 0 ist kleiner als 2. Da diese Ungleichung wahr ist, haben wir die Lösungsmenge gefunden. Es ist die Menge, in der die Zahl 8 enthalten ist, also alle reellen Zahlen größer als 7 und kleiner als 9. Das ist der Bereich, den der Roboter unbedingt vermeiden muss! Bei "y gleich 5" kommt Dr. Evil also nicht weiter! Also versuchen wir es nun mit "y gleich 8"! Wir stellen wieder die allgemeine Form auf und untersuchen auch hier die entsprechende quadratische Gleichung. Dazu setzen wir "p gleich minus 16" und "q gleich 64,5" in die p-q-Formel ein. Wenn wir den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen, sehen wir dass dort eine negative Zahl herauskommt. Die quadratische Gleichung hat also keine Lösungen und die möglichen Lösungsmengen der Ungleichung sind entweder alle reellen Zahlen oder die leere Menge. Zur Überprüfung, welche der beiden Mengen die richtige Lösungsmenge ist, setzen wir eine beliebige Zahl ein. Der Einfachheit halber nehmen wir dafür die Null und erhalten die Ungleichung: "Null ist kleiner als minus 129". Das ist natürlich falsch, die Null gehört also nicht zur Lösungsmenge. Folglich ist die richtige Lösungsmenge der Ungleichung die leere Menge. Der Roboter kann diesen Bereich also passieren. Fehlt noch die zweite Ungleichung: Stellen wir den Ausdruck wieder in die allgemeine Form um und untersuchen wir die zugehörige quadratische Gleichung, dann ergibt sich durch einsetzen von "p gleich minus 10" und "q gleich plus 25" in die p-q-Formel Folgendes: Nach Vereinfachung des vorderen Summanden und des Ausdrucks unter der Wurzel, stellen wir fest, dass wir genau eine Lösung haben, nämlich "x gleich 5". Weil wir in der Ungleichung ein echt-größer-Zeichen haben, gehört die fünf in keinem Fall zur Lösungsmenge. Als mögliche Lösungsmengen der Ungleichung ergeben sich also die Leere Menge oder alle reellen Zahlen außer der 5. Um die richtige Lösungsmenge herauszubekommen, setzen wir wieder eine beliebige Zahl ein, wir wählen wieder die Null, vereinfachen und kommen auf eine falsche Aussage. Die Lösungsmenge ist also auch hier die leere Menge. Und der Roboter kann den Vorplatz unbehelligt passieren. Wir fassen zusammen: Um eine quadratische Ungleichung rechnerisch zu lösen, musst du die entsprechende quadratische Gleichung aufstellen und ihre Lösungen ermitteln. Hat die quadratische Gleichung Lösungen, dann begrenzen sie eine mögliche Lösungsmenge der Ungleichung, sonst sind die möglichen Lösungsmengen der Ungleichung alle reellen Zahlen oder die leere Menge. Welche der Lösungsmengen die richtige ist, überprüfst du folgendermaßen: Du setzt einfach eine beliebige Zahl in die Ungleichung ein und schaust, ob eine wahre oder falsche Aussage entsteht. Und Achtung: Die Lösungen der quadratischen Gleichung musst du immer gesondert betrachten. Mittlerweile hat Dr. Evils Roboter den Vorplatz unbehelligt passiert und ist bereit, in den supergeheimen Geheimkomplex einzubrechen, aber was ist das? Der Roboter ist ausgerutscht? Das macht den Einbruch natürlich ungleich schwieriger...

Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

    • $0=ax^ {2} + bx + c$
    Bei einer Ungleichung steht an Stelle des Gleichheitszeichens ein $\gt$, $\geq$, $\lt$ oder $\leq$.

    Bei der Normalform einer quadratischen Gleichung ist der Parameter $a$ gleich $1$. Ist der Koeffizient $a$ einer Gleichung ungleich $1$, so wird die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten geteilt, damit vor dem $x^2$ eine $1$ bzw. nichts steht:

    • $0=x^{2}+px+q$
    Die Größen $p$ und $q$ kannst du dann in die $pq$-Gleichung einsetzen.

    Bei der Aufstellung der Lösungsmengen auf die Relationszeichen achten ($\lt$; $\gt$; $\geq$; $\leq$).

    Lösung

    Um die quadratische Ungleichung $y_1\lt -2x^{2}+32x-121$ lösen zu können, bedarf es einiger Zwischenschritte. Als Erstes überlegen wir uns eine Zahl, die wir überprüfen wollen. Hier wurde $y_1=5$ gewählt. Dieser Wert wird in die Ungleichung eingesetzt. Wir erhalten:

    $5\lt -2x^{2}+32x-121$

    Als nächstes muss die quadratische Ungleichung in die allgemeine Form $0\lt ax^{2}+bx+c$ umgestellt werden. Das wird durch Umformungen auf beiden Seiten erreicht. Hier subtrahieren wir auf beiden Seiten $5$:

    $\begin{array}{llll} 5 &\lt& -2x^{2}+32x-121 & | - 5 \\ 0 &\lt& -2x^ {2}+32x-126 & \end{array}$

    Um die Lösungen der umgeformten quadratischen Ungleichung bestimmen zu können, wandelt man diese in eine quadratische Gleichung um, indem man das Relationszeichen austauscht. Aus $\lt$ wird nun $=$:

    $0= -2x^ {2}+32x-126$

    Um die $pq$-Formel anwenden zu können, wird die quadratische Gleichung aus der allgemeinen in die Normalform $0=x^ {2}+px+q$ umgewandelt. Man dividiert hierzu beide Seiten der Gleichung durch den Faktor $a$ (hier $-2$) vor dem $x^2$ und erhält die Normalform.

    $\begin{array}{llll} 0 &=& -2x^{2}+32x-126 & \vert :(-2) \\ 0 &=& x^ {2}-16x+63 & \end{array}$

    Nun können wir die $pq$-Formel anwenden und die beiden möglichen Lösungen bestimmen. Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

    Das $p$ steht dabei in der Normalform vor dem linearen Glied $x$ und das $q$ entspricht dem absoluten Glied:

    $0=x^{2}+px+q=x^ {2}-16x+63$

    Für diese Gleichung folgt mit $p=16$ und $q=63$ folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {-16}{2}\pm \sqrt {\frac {(-16)^{2}}{4} -63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {\frac {256}{4} -63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {64-63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {1} \\ x_{1|2} &=& 8\pm 1 \\ && \\ x_1 &=& 9 \\ x_2 &=& 7 \end{array}$

    Nun haben wir $2$ Zahlen erhalten, die mögliche Lösungsmengen eingrenzen. Dabei ist darauf zu achten, dass unsere Relationszeichen kein "kleiner gleich" enthalten, also müssen wir das auch bei der Angabe der Mengen berücksichtigen. Es ergeben sich folgende mögliche Lösungsmengen:

    $\mathbb{M}_1=\{x\in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

    $\mathbb{M}_2=\{x\in \mathbb {R} \mid x \gt 9 \lor x \lt 7\}$

    $\mathbb{M}_1$ enthält dabei alle reellen Zahlen zwischen $7$ und $9$, die größer als $7$ und kleiner als $9$ sind. $\mathbb{M}_2$ enthält die Zahlen, die größer als $9$ oder kleiner als $7$ sind.

    Um nun herausfinden zu können, welche Menge die richtige ist, setzen wir eine mögliche Lösung aus einer Menge ein. In diesem Fall wird $x_1=8$ aus der Menge $\mathbb{M}_1$ eingesetzt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so wissen wir, dass $\mathbb{M}_1$ die gesuchte Lösungsmenge ist.

    $\begin{array}{lll} 0 &\lt& -2x^ {2}+32x-126 \\ 0 &\lt& -2\cdot 8^{2}+32\cdot 8-126 \\ 0 &\lt& -2\cdot 64+256-126 \\ 0 &\lt& -128+256-126 \\ 0 &\lt& 2 \end{array}$

    Die Aussage $0\lt 2$ ist eine wahre Aussage und zeigt uns, dass $\mathbb{M}_1$ die Lösungsmenge der Ungleichung ist. Die gesuchte Lösungsmenge lautet also:

    $\mathbb {L}= \{x \in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

  • Ergänze die Rechenschritte bei der Bestimmung der Lösungsmenge.

    Tipps

    Um eine quadratische Gleichung von allgemeiner Form $0=ax^{2}+bx+c$ in Normalform umzuwandeln, musst du durch $a$ teilen. Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{llll} 2x^{2} +4x+6 &=& 0 & \vert:2 \\ x^{2}+2x+3 &=& 0 & \end{array}$

    Betrachtet man zur Ungleichung $0\gt x^{2}+4x+4$ die entsprechende quadratische Gleichung $0= x^{2}+4x+4$, so liefert die $pq$-Formel die Lösung $x_{1|2}=-2$. Mögliche Lösungsmengen sind dann:

    • $\mathbb{M}_1= \emptyset$
    • $\mathbb{M}_2=\mathbb {R} \setminus \{-2\}$

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die quadratische Ungleichung $y_2 \gt 0,25x^{2}-2,5x+14,25$. Wir möchten für $y_2=8$ diese Ungleichung lösen. Dafür setzen wir $y_2=8$ in die Ungleichung ein und erhalten:

    $8 \gt 0,25x^{2}-2,5x+14,25$

    Wir wandeln die Ungleichung zunächst in die allgemeine Form um, indem man auf der linken Seite eine $0$ erzeugt. Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten $8$:

    $\begin{array}{llll} 8 &\gt& 0,25x^{2}-2,5x+14,25 & \vert -8 \\ 0 &\gt& 0,25x^ {2}-2,5x+6,25 & \end{array}$

    Im nächsten Schritt betrachten wir die entsprechende quadratische Gleichung und bringen diese in die Normalform. Das heißt, dass vor dem quadratischen Glied $x^{2}$ der Faktor $1$ stehen muss. Wir dividieren also durch $0,25$:

    $\begin{array}{llll} 0 &=& 0,25x^ {2}-2,5x+6,25 & \vert :0,25 \\ 0 &=& x^{2}-10x+25 & \end{array}$

    Nun bestimmen wir die Lösungen dieser quadratischen Gleichung mithilfe der $pq$-Formel. Dies ist erst in der Normalform der quadratischen Gleichung möglich. Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

    Durch Einsetzen von $p=-10$ und $q=25$ erhalten wir folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {-10}{2}\pm \sqrt {\frac {(-10)^{2}}{4} -25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {\frac {100}{4} -25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {25-25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {0} \\ x_{1|2} &=& 5 \end{array}$

    $x=5$ ist unsere einzige Lösung der Gleichung. Da unsere Ungleichung ein ($\gt$)-Zeichen, also „echt größer als" erhält, ist die Lösungsmenge entweder die leere Menge $\emptyset$ oder die Menge der reellen Zahlen ohne die $5$. Wir schreiben die möglichen Lösungsmengen wie folgt:

    $\mathbb{M}_1=\{\emptyset \}$

    $\mathbb{M}_2=\mathbb {R}\setminus \{5\}$

    Man überprüft eine der beiden möglichen Lösungsmengen durch Einsetzen einer Zahl aus dem angegebenen Bereich. Um es möglichst einfach zu haben, überprüfen wir $\mathbb{M}_2$ durch Einsetzen von $x=0$ in die Ungleichung:

    $\begin{array}{lll} 0 &\gt& 0,25\cdot 0^{2}-2,5\cdot 0+6,25 \\ 0 &\gt& 6,25 \end{array}$

    $0\gt 6,25$ ist eine falsche Aussage. Demnach muss $\mathbb{M}_1$ die richtige Lösungsmenge sein.

  • Ordne den Erklärungen die passende mathematische Ausführung zu.

    Tipps

    Ergibt das Einsetzen einer möglichen Zahl aus der Lösungsmenge eine falsche Aussage, so ist diese Menge falsch.

    Normalform einer quadratischen Gleichung:

    $0=x^{2}+px+q$

    Lösung

    Im ersten Schritt wandelt man die Ungleichung in eine Gleichung um, indem man das $\lt$ durch ein $=$ ersetzt.

    Quadratische Gleichung aufstellen

    $0=3x^{2}+12x-15$

    Um die $pq$-Formel anwenden zu können, muss man die Gleichung in der Normalform haben. Dies ist unser zweiter Schritt. Dafür teilt man die Gleichung auf beiden Seiten durch $3$.

    Quadratische Gleichung in Normalform umwandeln

    $0=x^{2}+4x-5$

    Als nächstes wendet man die $pq$-Formel an. Sie lautet:

    $x_1/x_2=-\frac{p}{2} \pm \sqrt {\frac {p^{2}}{2}-q}$

    Das bedeutet für uns $p=4$ und $q=-5$.

    Lösungen mittels $pq$-Formel ermitteln

    $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {4}{2} \pm \sqrt { \frac {4^{2}}{2} -(-5)} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm \sqrt {4+5} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm \sqrt {9} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm 3 \\ \\ x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -5 \end{array}$

    Als Nächstes verwendet man die erhaltenen Lösungen, um damit die möglichen Lösungsintervalle anzugeben.

    Mögliche Lösungsintervalle angeben

    $\mathbb{M}_1=\{-5 \lt x \lt 1\}$

    $\mathbb{M}_2=\{x \lt -5 \lor x \gt 1\}$

    Nun setzt man eine Zahl aus einer der beiden möglichen Lösungsmengen in die Ungleichung ein und überprüft, ob die Zahl die Ungleichung erfüllt.

    Zahl in Ungleichung einsetzen

    Wir setzen hier $x=0$ ein:

    $\begin{array}{lll} 0 &\lt& 3\cdot {0^{2}}+12\cdot 0-15 \\ 0 &\lt& -15 \end{array}$

    Durch das Lösen der Ungleichung erhielten wir eine falsche Aussage. Diese wird im letzten Schritt bewertet und eine Schlussfolgerung gezogen.

    Lösung der Ungleichung gesondert betrachten

    $x=0$ ist in der Menge $\mathbb{M}_1$ enthalten. Das Einsetzen ergab eine falsche Aussage. Demnach ist die richtige Lösungsmenge $\mathbb{M}_2$.

  • Ermittle die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.

    Tipps

    Die $pq$-Formel darf nur in der Normalform der quadratischen Gleichung angewendet werden. Diese lautet:

    $0=x^2+px+q$

    Das mathematische Symbol $\lor$ bedeutet „und“.

    Lösung

    Um die Quadratische Ungleichung $y\lt -2x^{2}+32x-121$ an der Stelle $y=2$ lösen zu können, bedarf es einiger Zwischenschritte. Zunächst setzen wir $y=2$ ein und erhalten:

    $2\lt 4x^{2}+16x-46$

    Als nächstes muss die quadratische Ungleichung in die allgemeine Form einer quadratischen Ungleichung $0\lt ax^{2}+bx+c$ umgewandelt werden. Das wird durch Umformungen auf beiden Seiten erreicht. Hier subtrahieren wir auf beiden Seiten $2$:

    $\begin{array}{llll} 2 &\lt& 4x^{2}+16x-46 & \vert -2 \\ 0 &\lt& 4x^{2}+16x-48 & \end{array}$

    Um die Lösungen der umgeformten quadratischen Ungleichung bestimmen zu können, muss man sie in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man die Relationszeichen austauscht. Aus $\lt$ wird $=$:

    $0 \lt 4x^{2}+16x-48 $

    Um nun die $pq$-Formel anwenden zu können, wird die quadratische Gleichung aus der allgemeinen in die Normalform $0=x^ {2}+px+q$ umgewandelt. Man dividiert durch den Faktor $a$ (hier 4) vor dem $x^2$ und erhält die Normalform.

    $\begin{array}{llll} 0 &\lt& 4x^{2}+16x-48 & \vert :4 \\ 0 &\lt& x^{2}+4x-12 & \end{array}$

    Nun können wir die $pq$-Formel anwenden und die beiden möglichen Lösungen bestimmen. Zur Erinnerung die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

    Mit $p=4$ und $q=-12$ erhalten wir:

    $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {4}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {4}{2}\right)^2 +12} \\ x_{1|2} &=& -2\pm \sqrt {4 +12} \\ x_{1|2} &=& -2\pm \sqrt {16} \\ x_{1|2} &=& -2\pm 4 \\ \\ x_1 &=& 2 \\ x_2 &=& -6 \end{array}$

    Daraus ergeben sich dann die beiden Lösungen. Nun haben wir zwei Zahlen erhalten, die unsere Lösungsmengen beschreiben. Dabei ist darauf zu achten, dass unsere Relationszeichen kein „kleiner gleich“ enthalten, also müssen wir das auch bei der Angabe der Mengen berücksichtigen. Es ergeben sich die folgenden möglichen Lösungsmengen:

    $\mathbb {M}_1= \{\mathbb{R}\mid -6\lt x \lt 2\}$

    $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -6 \lor x\gt 2\}$

    Um nun herausfinden zu können, welche Menge die richtige ist, setzen wir eine mögliche Lösung aus einer der beiden Mengen in die Ungleichung ein. In diesem Fall wird $x=0$ aus der Menge $\mathbb{M}_1$ eingesetzt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so wissen wir, dass $\mathbb{M}_1$ die gesuchte Menge ist.

    $\begin{array}{lll} 2 &\lt& 4\cdot 0^{2}+16\cdot 0-46 \\ 2 &\lt& 0+0-46 \\ 2 &\lt& -46 \end{array}$

    Die Aussage $2 \lt -46 $ ist eine falsche Aussage und zeigt uns, dass $\mathbb{M}_2$ die Lösungsmenge der Ungleichung sein muss. Die gesuchte Lösungsmenge lautet also:

    $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -6 \lor x\gt 2\}$

  • Gib die möglichen Lösungsmengen folgender Ungleichungen an.

    Tipps

    Bei $2$ Ergebnissen bekommt man Lösungsmengen, die zwischen den beiden Ergebnissen liegen oder außerhalb davon.

    Ausgehend von dem Relationszeichen der Ungleichung stellt man dann mit den berechneten $x$-Werten mögliche Lösungsmengen der Ungleichung auf. Dabei gilt Folgendes:

    • Für $\gt$ und $\lt$ sind die Grenzen, also die $x$-Werte in den möglichen Lösungsmengen nicht enthalten.
    • Für $\geq$ und $\leq$ sind die Grenzen, also die $x$-Werte in den möglichen Lösungsmengen enthalten.

    Die $pq$-Formel liefert für die Gleichung $0=x^2$ folgende Lösung:

    • $x=0$
    Demnach erhält man folgende mögliche Lösungsmengen der Ungleichung $0\lt x^2$:
    • $\mathbb{M}_1=\emptyset$
    • $\mathbb{M}_2=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
    Der Abbildung können wir entnehmen, dass diese Ungleichung die Lösungsmenge $\mathbb{M}_2$ hat, denn alle $y$-Werte auf dieser Parabel sind für $x\neq 0$ größer als $0$.

    Lösung

    Ungleichung 1: $0\lt -2x^{2}+32x-126$
    Die $pq$-Formel liefert für die zugehörige Gleichung folgende Lösungen:

    $x_1=7$
    $x_2=9$

    Bei den beiden Ergebnissen der $pq$-Formel ergeben sich die folgenden möglichen Lösungsmengen:

    $\mathbb{M}_1=\{x\in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

    $\mathbb{M}_2=\{x\in \mathbb {R} \mid x \gt 9 \lor x \lt 7\}$

    $\mathbb{M}_1$ enthält alle Lösungen, die zwischen $7$ und $9$ liegen. Das ergibt sich dadurch, dass die Ungleichung „echt kleiner" $\lt$ sein soll. $\mathbb{M}_2$ enthält alle Lösungen, die größer als $9$ oder kleiner als $7$ sind. Hat man zwei Ergebnisse der $pq$-Formel, sind die Lösungsmengen innerhalb der beiden Zahlen oder außerhalb der beiden Zahlen.

    Ungleichung 2: $~ 0 \gt 0,25x^{2}-2,5x+6,25$
    Die $pq$-Formel liefert für die zugehörige Gleichung folgende Lösung:

    $x=5$

    Hat man nur eine Lösung der quadratischen Gleichung, so hat man wieder zwei mögliche Lösungsmengen. Die $5$ ist in beiden Lösungsmengen nicht enthalten, so dass entweder die leere Menge oder alle reellen Zahlen, außer der $5$, in Frage kommen:

    $\mathbb{M}_1=\emptyset$

    $\mathbb{M}_2=\{\mathbb {R} \setminus 5\}$

  • Vervollständige die Rechenschritte.

    Tipps

    Aus $x^{2} \lt 2x^{2}+bx+c$ wird durch Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten der Gleichung:

    • $0 \lt x^{2}+bx+c$

    Lösung

    Wir betrachten die Ungleichung $x^{2} \lt \frac {3}{2}x^{2} +4x-24$. Um diese Ungleichung zu lösen, bringen wir diese zunächst in die allgemeine Form:

    $0\lt\frac 12 x^ {2}+4x-24$

    Nun ersetzt man erst das $\lt$ durch $=$ und bringt die Gleichung anschließend in die Normalform.

    $\begin{array}{llll} 0 &=& \frac 12 x^ {2}+4x-24 & \vert :\frac 12 \\ 0 &=& x^ {2}+8x-48 & \end{array}$

    Erst jetzt kann man die $pq$-Formel anwenden:

    $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {8}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {8}{2}\right)^2 -(-48)} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {\left(4\right)^2 +48} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {16 +48} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {64} \\ x_{1|2} &=& -4\pm 8 \\ && \\ x_1 &=& 4 \\ x_2 &=& -12 \\ \end{array}$

    Nun stellen wir die möglichen Lösungsmengen auf:

    $\mathbb {M}_1= \{\mathbb{R}\mid -12\lt x \lt 4\}$

    $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -12\lor x\gt 4\}$

    Wir überprüfen die Menge $\mathbb {M}_1$ durch einsetzen von $x=0$ in $0\lt\frac 12 x^ {2}+4x-24$.

    $\begin{array}{lll} 0 &\lt& \frac 12 \cdot 0^ {2}+4\cdot 0-24 \\ 0 &\lt& -24 \end{array}$

    Das ist eine falsche Aussage, sodass $\mathbb {M}_2$ die gesuchte Lösungsmenge ist.