Quadratische Ungleichungen graphisch lösen

Quadratische Ungleichungen graphisch lösen Übung

• Beschreibe die Vorgehensweise beim graphischen Lösen quadratischer Ungleichungen.

  Tipps

  Um eine Ungleichung zu lösen, kannst du zuerst ihre entsprechende Funktion betrachten.

  Um eine quadratische Ungleichung graphisch zu lösen, musst du den Funktionsgraphen der entsprechenden quadratischen Funktion zeichnen. Damit du weißt, wie der Funktionsgraph verläuft, musst du zuerst eine Wertetabelle anfertigen.

  Lösung

  Das Vorgehen beim graphischen Lösen von quadratischen Gleichungen lautet folgendermaßen:

  Schreibe die quadratische Ungleichung in eine quadratische Funktion um.

  • Um eine Ungleichung zu lösen, kannst du zuerst ihre entsprechende Funktion betrachten.

  Fertige für die quadratische Funktion eine Wertetabelle an.

  Zeichne die Funktion mit Hilfe der angefertigten Wertetabelle.

  • Um eine quadratische Ungleichung graphisch zu lösen, musst du den Funktionsgraphen der entsprechenden quadratischen Funktion zeichnen. Damit du weißt, wie der Funktionsgraph verläuft, musst du zuerst eine Wertetabelle anfertigen.

  Bestimme mit Hilfe des Funktionsgraphen die Nullstellen der Funktion.

  • Das tust du, indem du überprüfst, wo die Funktion die $x$-Achse schneidet.

  Gib die Lösungsmenge an.

  • Dazu schaust du, welcher Wertebereich der Funktion die quadratische Ungleichung erfüllt. Dabei ist es wichtig, welche Art von Relationszeichen in deiner Ungleichung vorkommt. Die Zeichen $\leq$ und $\geq$ schließen die Grenzen ein, während die Zeichen $>$ und $>$ die Grenzen ausschließen.

• Bestimme die graphischen Lösungen der Ungleichungen.

  Tipps

  Das Zeichen $\leq$ bedeutet „weniger oder gleich“.

  Die Ungleichung $x^2+1 \leq 0$ ist nie erfüllt. Es gibt keinen $x$-Wert, den man in die Ungleichung einsetzen kann, sodass eine wahre Aussage entstünde.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  Der erste Schuss der beiden verläuft entlang folgender Parabel:

  $f(x)=-0,36x^2+3,6x-10$

  Sie wollen überprüfen, ob der Ball oberhalb oder auf der $x$-Achse fliegt, also stellen sie folgende Ungleichung auf:

  $-0,36x^2+3,6x-10\geq 0$

  • Da sie überprüfen wollen, ob die Funktion $f$ oberhalb oder gleich der $x$-Achse verläuft, die mit $y=0$ beschrieben werden kann, muss die Ungleichung so aussehen.

  Anschließend erstellen sie die Wertetabelle für die Funktion $f$.

  • Um eine Wertetabelle anzufertigen, setzt du nacheinander verschiedene $x$-Werte in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen $y$-Werte. Diese schreibst du nebeneinander in deine Tabelle.

  Daraus lesen sie den höchsten Punkt $(5 \vert -1)$ der Parabel ab. Die betrachtete Ungleichung ist also nie erfüllt und die Lösungsmenge ist die leere Menge $\mathbb{L}=\varnothing$.

  • Eine Parabel hat immer genau einen Extrempunkt. Siehst du also an den Werten, wie eine Parabel zuerst ansteigt und anschließend wieder fällt, weißt du, dass hier dieser Extrempunkt liegt.

  Der nächste Schuss verläuft entlang folgender Funktion.

  $g(x)=-0,4x^2+4x-10$

  Die dazugehörige Ungleichung lautet:

  $-0,4x^2+4x-10\geq 0$

  Wieder stellen sie eine Wertetabelle auf und zeichnen mit Hilfe dieser den Funktionsgraphen.

  Im Punkt $(5 \vert 0)$ liegt die Funktion auf der $x$-Achse. Die Ungleichung ist also in einem Punkt erfüllt und die Lösungsmenge lautet::

  $\mathbb{L}=\{ 5\}$

  • In diesem Fall liegt die Funktion bei $x=5$ auf der $x$-Achse. Da die Ungleichung das $\leq$ Zeichen enthält, ist sie für den Grenzwert $y=0$ erfüllt. Deshalb gehört $x=5$ zur Lösungsmenge.

  Der letzte Schuss fliegt entlang folgender Funktion:

  $h(x)=-0,5x^2+4,5x-10$

  Die dazugehörige Ungleichung lautet:

  $-0,5x^2+4,5x-10\geq 0$

  Auch hier erstellen sie eine Wertetabelle und zeichnen damit die Funktion.

  Die Funktion $h$ schneidet in zwei Punkten die $x$-Achse. Daraus wird ersichtlich, dass die Ungleichung für mehrere Punkte erfüllt ist und die Lösungsmenge lautet:

  $\mathbb{L}=\{x ~ \vert ~ 4 \leq x \leq5\}$

  • Hier schneidet die Funktion die $x$-Achse in zwei Punkten. Diese Werte und alle Werte, die dazwischen liegen, erfüllen die Ungleichung.

• Entscheide, welche der Aussagen korrekt sind.

  Tipps

  Die Ungleichungen kannst du lösen, indem du sie zunächst in quadratische Funktionen überführst, Wertetabellen erstellst, die zugehörigen Funktionsgraphen zeichnest und anschließend entscheidest, ob und wo die Ungleichungen erfüllt sind.

  Die Ungleichung $x^2-9\leq 0$ besitzt unendlich viele Lösungen, während die Funktion $y=x^2-9$ zwei Nullstellen besitzt.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Ungleichung $x^2-6x+6 \geq 0$ hat genau eine Lösung.“

  • Die Ungleichung kann graphisch gelöst werden. Dann erhältst du (auf eine Nachkommastelle genau) folgende Lösungsmenge:

  $\mathbb{L}=\{x~ \vert ~ 1,3 \leq x \leq4,7\}$

  • Damit hat die Ungleichung unendlich viele Lösungen.

  „Die Funktion $y=x^2+x-12$ hat genau zwei Nullstellen. Damit hat die Ungleichung $x^2+x-12\geq 0$ genau zwei Lösungen.“

  • Zwar hat diese Funktion genau zwei Nullstellen, daraus ergibt sich jedoch, dass die Ungleichung unendlich viele Lösungen besitzt. Zur Lösung gehören nämlich alle Werte, die zwischen diesen beiden Nullstellen liegen. Das sind unendlich viele.

  „Die Ungleichungen $x^2-6x+6 \geq 0$ und $x^2-6x+6 > 0$ haben die gleiche Lösungsmenge.“

  • Die Ungleichungen haben unterschiedliche Lösungsmengen, da bei einer Ungleichung ein $\geq$ Zeichen und bei der anderen das $>$ Zeichen steht. Die Lösungsmengen unterscheiden sich darin, dass beim $\geq$ Zeichen die Grenzen des Lösungsbereichs in der Lösung enthalten sind.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Ungleichung $3x^2 \geq 0$ hat genau eine Lösung.“

  • Die Lösungsmenge dieser Ungleichung lautet: $\mathbb{L}\{ 0\}$, denn nur für $x=0$ ist diese Ungleichung erfüllt. Also hat die Ungleichung genau eine Lösung.

  „Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-4\leq 0$ beträgt:

  {$\mathbb{L}=\{x~ \vert~ -2 \leq x \leq 2\}$}“

  • Aus der graphischen Lösung dieser Ungleichung geht diese Lösungsmenge hervor.

• Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichungen graphisch.

  Tipps

  Das Vorgehen zum graphischen Lösen quadratischer Ungleichungen lautet:

  • Schreibe die quadratische Ungleichung in eine quadratische Funktion um.

  • Fertige eine Wertetabelle der Funktion an.

  • Zeichne mit Hilfe der angefertigten Tabelle den zugehörigen Funktionsgraphen.

  • Bestimme graphisch die Nullstellen der Funktion.

  • Gib die Lösungsmenge an.

  Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist der Bereich von $x$-Werten, die eingesetzt die Ungleichung erfüllen.

  Lösung

  Das Vorgehen zum graphischen Lösen quadratischer Ungleichungen lautet:

  • Schreibe die quadratische Ungleichung in eine quadratische Funktion um.

  • Fertige eine Wertetabelle der Funktion an.

  • Zeichne mit Hilfe der angefertigten Tabelle den zugehörigen Funktionsgraphen.

  • Bestimme graphisch die Nullstellen der Funktion.

  • Gib die Lösungsmenge an.

  Damit kannst du die Lösungsmengen bestimmen zu:

  • $x^2-x-6\leq 0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~ \vert -2 \leq x \leq 3\}$

  • $x^2-8x+15 \geq 0$ hat die Lösungen $\mathbb{L}=\{x~ \vert x \leq3 ~\text{oder} ~5 \leq x \}$

  • $x^2+9 < 0$ hat keine Lösung, $\mathbb{L}=\varnothing$

  • $-x^2 +6x-8 \geq 0$ hat die Lösung $\mathbb{L}=\{x~ \vert 2 \leq x \leq 4\}$

• Bestimme die korrekten Aussagen zum graphischen Lösen von Ungleichungen.

  Tipps

  Eine Merkregel kann lauten, dass der untere Strich des Zeichens $\leq$ oder $\geq$ vom Gleichheitszeichen $=$ stammt.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Zeichen $\leq$ und $\geq$ schließen eine Gleichheit aus. Ungleichungen mit diesen Relationszeichen sind also nur erfüllt, wenn eine Seite der Ungleichung wirklich kleiner bzw. größer als die andere ist.“

  • Das gilt für die Zeichen $<$ und $>$. Bei den Zeichen $\leq$ und $\geq$ ist die Ungleichung auch erfüllt, wenn die linke Seite der Ungleichung gleich der rechten Seite ist. Eine Merkregel kann lauten, dass der untere Strich des Zeichens $\leq$ oder $\geq$ vom Gleichheitszeichen $=$ stammt.

  „Ungleichungen können immer nur entweder keine, genau eine oder genau drei Lösungen haben.“

  • Es gibt auch Ungleichungen mit unendlich vielen Lösungen. Die werden dann meistens in Form eines Intervalls angegeben.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Beim graphischen Lösen einer quadratischen Ungleichung bestimmst du anhand einer Wertetabelle und eines Graphen, ob und wo die Ungleichung erfüllt ist.“

  • Das ist das korrekte Vorgehen zum graphischen Lösen von Ungleichungen.

  „Die Zeichen $<$ und $>$ schließen eine Gleichheit aus. Ungleichungen mit diesen Relationszeichen sind also nur erfüllt, wenn eine Seite der Ungleichung wirklich kleiner bzw. größer als die andere ist.“

  „Eine Lösungmenge $\mathbb{L}$ gibt alle $x$-Werte an, für die die Ungleichung erfüllt ist.“

• Erschließe den Lösungsraum der quadratischen Ungleichung rechnerisch.

  Tipps

  Ist eine Ungleichung für eine Zahl des Intervalls erfüllt, muss sie für alle Zahlen des Intervalls erfüllt sein. Dieses Intervall ist dann Teil der Lösungsmenge.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  Um diese Ungleichung zu lösen, ersetzt sie zuerst das $>$-Zeichen durch ein $=$. Damit erhält sie:

  $x^2-9=0$

  Die Gleichung löst sie auf:

  $\begin{array}{llll} x^2 -9&= 0 &\vert +9\\ x^2 &= 9\\ \end{array}$

  Diese Gleichung hat zwei Lösungen $x_1=3$ und $x_2=-3$.

  • Um eine Ungleichung rechnerisch zu lösen, musst du zuerst die Nullstellen der Gleichung bestimmen. Diese teilen den Lösungsraum auf.

  Die beiden Nullstellen bilden die Grenzen von drei Intervallen:

  $x<-3$

  $-3 \lt x \lt 3$

  und $3<x$.

  • Diese Intervalle sind die unterschiedlichen Bereiche des Lösungsraums.

  Jetzt überprüft sie, für welche dieser Intervalle die Ungleichung erfüllt ist. Dazu setzt sie beliebige Zahlen des Intervalls ein. Für das erste Intervall $x<-3$, wählt sie $x=-4$. Eingesetzt ergibt das:

  $\begin{array}{llll} (-4)^2 -9&> 0 \\ 16-9&> 0\\ 7&> 0\\ \end{array}$

  Diese Ungleichung ist offensichtlich erfüllt.

  • Ist eine Ungleichung für eine Zahl des Intervalls erfüllt, muss sie für alle Zahlen des Intervalls erfüllt sein. Da hier die Ungleichung erfüllt ist, ist dieses Intervall Teil der Lösungsmenge.

  Eine Zahl des mittleren Intervalls ist $x=0$. Dabei erhält sie:

  $\begin{array}{llll} 0^2 -9&> 0 \\ -9&> 0\\ \end{array}$

  Diese Ungleichung ist nicht erfüllt.

  Für das letzte Intervall wählt sie $x=4$. Eingesetzt ergibt das:

  $\begin{array}{llll} 4^2 -9&> 0 \\ 16-9&> 0\\ 7&> 0\\ \end{array}$

  Diese Ungleichung ist wieder erfüllt.

  • Die Zahlen, die du wählst, sind beliebig. Sie müssen nur in den betrachteten Intervallen liegen. Deshalb kannst du möglichst leichte Zahlen wählen, sodass sich deine Rechnung vereinfacht. Eine beliebte Wahl ist die $0$.

  Damit kann sie die Lösungsmenge angeben:

  $\mathbb{L}=\{x~ \vert ~ x\lt -3 ~\text{oder}~ 3\lt x \}$

  • Die Lösungsmenge enthält alle Intervalle, für die die Ungleichung erfüllt ist. Weil in der Ausgangsungleichung ein $>$-Zeichen und kein $\geq$-Zeichen stand, sind die Nullstellen selbst nicht in der Lösungsmenge enthalten.