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Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen 12:43 min

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Transkript Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen

Hallo. In diesem Video erkläre ich dir, wie man die Lösungsmenge von quadratischen Ungleichungen bestimmt. Dazu wiederholen wir zunächst, was eine “quadratische Ungleichung” ist und was man unter “Äquivalenzumformung” versteht. Danach werde ich dir schrittweise die Vorgehensweise zum Lösen einer quadratischen Ungleichung erklären. Im Anschluss werden wir an einem Beispiel die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung bestimmen. Und zum Schluss wird das Gelernte zusammengefasst. Du kennst bereits lineare Ungleichungen. Lineare Ungleichungen haben die Form bx + c < 0 beziehungsweise bx + c > 0. Hierbei sind b und c reelle Zahlen und b ≠ 0, x ist die Variable. Also ist x jene Zahl, für welche wir herausfinden müssen, wann die Ungleichung erfüllt ist. Bei quadratischen Ungleichungen kommt noch ein Term hinzu, und zwar ax2. Eine quadratische Ungleichung hat damit die Form ax2+ bx + c < 0 beziehungsweise ax2+ bx + c > 0. Mit a, b und c reelle Zahlen, a ≠ 0, und x ist wieder die Variable. Jetzt wissen wir, wie quadratische Ungleichungen aussehen. Aber um sie mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen zu können, wiederholen wir noch einmal, was man unter einer solchen Umformung versteht. Unter einer Äquivalenzumformung, vom lateinischen aequus gleich und valere wert sein, versteht man eine Umformung einer Ungleichung oder Gleichung, die den Wahrheitsgehalt der Ungleichung oder Gleichung unverändert lässt. Du kennst dies bereits von Gleichungen. Möchtest du eine Gleichung umformen, so kannst du dies immer tun, sofern du dieselbe Rechnung auf beiden Seiten der Gleichung durchführst. Genauso verhält sich das auch bei Ungleichungen. Betrachten wir die folgende Ungleichung: 4x + 2 > 0. Gültige Äquivalenzumformungen sind zum Beispiel die Addition und Subtraktion, das heißt, wenn ich auf beiden Seiten des Relationssymbols, so bezeichnet man das Kleiner- und Größerzeichen, dieselbe Zahl addiere oder subtrahiere, dann bleibt der Wahrheitsgehalt der Ungleichung erhalten. Zum Beispiel können wir die 5 zu beiden Seiten der Ungleichung addieren und erhalten 4x + 7 > 5. Beide Ungleichungen haben die gleiche Lösungsmenge. Die Ungleichungen sind also äquivalent. Daher können wir ein Doppelpfeil, den Äquivalenzpfeil, zwischen beide Ungleichungen setzen. Können wir noch weitere Rechenoperationen auf beiden Seiten der Ungleichung durchführen, ohne den Wahrheitsgehalt der Ungleichung zu verändern? Ja, und zwar die Multiplikation und Division. Wogegen wir bei der Multiplikation und Division von positiven Zahlen keine zusätzlichen Dinge beachten müssen, sieht das bei der Multiplikation und Division von negativen Zahlen schon anders aus. Möchte man auf beiden Seiten des Relationssymbols eine negative Zahl multiplizieren oder durch eine negative Zahl dividieren, so muss man das Relationssymbol umdrehen, um die Aussage der Ungleichung nicht zu verändern. Das heißt aus dem Kleinerzeichen wird ein Größerzeichen und umgekehrt. Möchten wir bei unserem Beispiel die Ungleichung 4x + 7 > 5 durch Multiplikation der Zahl -2 äquivalent umformen, so müssen wir das Größerzeichen durch ein Kleinerzeichen ersetzen. Wir erhalten 4x + 7×(-2) < 5×(-2). Diese Ungleichung hat den gleichen Wahrheitsgehalt wie die obige Ungleichung. Also die Werte der Lösungsmenge sind gleich. Es ist also eine Äquivalenzumformung. Und wir können zwischen beiden Ungleichungen das Äquivalenzsymbol, den Doppelpfeil, setzen. Kommen wir nun zur Vorgehensweise zum Lösen von quadratischen Ungleichungen. Betrachten wir die allgemeine quadratische Ungleichung ax2+ bx + c < 0 beziehungsweise ax2+ bx + c > 0 mit a, b, c Element der reellen Zahlen und a ≠ 0. Um die Lösungsmenge dieser Ungleichung zu bestimmen, gebe ich dir eine Vorgehensweise vor, die in fünf Schritte gegliedert ist. Kommen wir zum ersten Schritt. Wir teilen die Ungleichung durch den Faktor a. Hier muss man aufpassen: Wenn a negativ ist, dreht sich das Vorzeichen um. Wir überlegen uns dann, welche Lösungen die Gleichung x2+ px + q = 0 hat. Es kann keine, eine oder zwei Lösungen geben. Die Lösungen dieser Gleichung kannst du zum Beispiel mit der pq-Formel, Mitternachtsformel oder der quadratischen Ergänzung erhalten. Wir betrachten hier nur den Fall für zwei Lösungen. Bei keiner Lösung existiert auch keine Lösung bei der Ungleichung. Der Fall für eine Lösung wird hier nicht behandelt. Wenn du zwei Lösungen x1 und x2 erhalten hast, ist es kein Problem, die Gleichung zu faktorisieren. Dies ist Schritt Nummer zwei. Die Gleichung zu faktorisieren, bedeutet dabei, die Gleichung als Produkt von Termen aufzuschreiben. Wir erhalten also die Formel x2+ px + q = 0 ist äquivalent zu (x - x1)×(x - x2) = 0. Der dritte Schritt ist nun, zur Ungleichung zurückzukehren. Wir erhalten (x - x1)×(x - x2) < 0 beziehungsweise (x - x1)×(x - x2) > 0. Nun müssen wir schauen, für welche x-Werte die Ungleichung erfüllt ist. Dazu müssen wir also schauen, wann das Produkt negativ beziehungsweise positiv wird. Dies ist Schritt Nummer vier. Wir müssen überprüfen, für welche x-Werte das Produkt die Ungleichung erfüllt. Dafür bestimmen wir das Vorzeichen des Produktes. Ob das Produkt positiv oder negativ wird, ist davon abhängig, welches Vorzeichen die einzelnen Faktoren haben. Es gilt, ist ein Faktor positiv und der andere negativ, so ist auch das Produkt negativ. Sind beide hingegen positiv oder negativ, so ist das Produkt positiv. Wenn wir herausgefunden haben, für welche x-Werte das Produkt negativ beziehungsweise positiv wird, so können wir in Schritt fünf die Lösungsmenge der Ungleichung aufschreiben. Die Lösungsmenge sieht dann folgendermaßen aus: “L = die Menge aller x mit x-Element aus dem offenen Intervall d,f”, wobei mit d,f in eckigen Klammern oder d,f in runden Klammern das offene Intervall gemeint ist, in dem die Werte für x liegen. d und f sind nicht Teil dieser Lösungsmenge. Betrachten wir ein Beispiel. Es soll die Lösungsmenge der Ungleichung -2x2+ 12x - 16 < 0 bestimmt werden. Als ersten Schritt dividieren wir durch -2. Das Vorzeichen dreht sich um. Wir erhalten x2- 6x + 8 > 0. Wir schreiben dann die Ungleichung zur Gleichung um und erhalten x2- 6x + 8 = 0. Wir müssen jetzt herausfinden, für welche Werte x1 und x2 die Gleichung erfüllt ist. Dies können wir mit der pq-Formel machen und erhalten x1/2 = -(-6/2) +/- √((-6/2)2-8). Dies ist gleich 3 +/- √(9 - 8). Das ist gleich 3 +/- √1. Dies ist gleich 3 +/-1. Wir erhalten also: x1 = 2 und x2 = 4. Jetzt können wir Schritt 2 durchführen, und zwar die Faktorisierung der Gleichung. Es gilt x2- 6x + 8 = 0 ist äquivalent zu (x - 2)×(x - 4) = 0. Kommen wir nun zu Schritt drei. Dieser Schritt ist schnell erledigt. Wir müssen nur die Gleichung wieder zur Ungleichung umschreiben. Wir erhalten (x - 2)×(x - 4) > 0. Nun kommen wir zum vierten Schritt. Wir müssen überlegen, für welche x-Werte das Produkt (x - 2)×(x - 4) positiv, also größer 0 wird. Dafür müssen die Faktoren beide positiv oder negativ sein. Damit beide Faktoren negativ werden, müssen die zulässigen x-Werte <2 und <4 sein. Auf der Zahlengerade siehst du das einmal farblich markiert. Da x < 2 und x < 4 gelten sollen, ist hier x < 2 die stärkere Einschränkung. Wenn du nämlich einen Wert zwischen 2 und 4 wählst, wird der erste Term positiv und nicht negativ. Damit beide Faktoren positiv werden, müssen x > 2 und x > 4 gelten. Auch hier gilt wie oben die größere Einschränkung. Wenn man im zweiten Term eine Zahl zwischen 2 und 4 einsetzt, wird der zweite Ausdruck negativ und nicht positiv. Damit lautet die Lösungsmenge unserer Ungleichung: -2x2+ 12x - 16 <0. “L = die Menge aller x mit x-Element aus dem offenen Intervall minus unendlich, 2 vereinigt mit dem offenen Intervall 4 und unendlich”. Also sind alle x-Werte kleiner als 2 und alle x-Werte größer als 4 Lösungen dieser Ungleichung. In anderen Worten heißt das, dass alle reellen Zahlen bis auf die Zahlen zwischen 2 und 4 einschließlich dieser die Ungleichung -2x2+ 12x - 16 <0 erfüllen. Man kann die Lösungsmenge dann auch wie folgt aufschreiben: “L = die Menge aller x mit x-Element R und x Nichtelement aus dem abgeschlossenen Intervall 2, 4”. Dies ist dann der fünfte und letzte Schritt gewesen. Kommen wir nun zur Zusammenfassung: Eine quadratische Ungleichung hat die Form ax2+ bx + c < 0 beziehungsweise ax2+ bx + c > 0 mit a, b und c Element R und a ≠ 0. Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die den Wahrheitsgehalt der Ungleichung oder Gleichung unverändert lässt. Um die Lösungsmenge angeben zu können, kann man in fünf Schritten vorgehen. Im ersten Schritt teilt man die Ungleichung durch a. Wenn a negativ ist, dreht sich das Vorzeichen um. Dann wird die Ungleichung zur Gleichung umgewandelt und die Lösung dieser Gleichung x1 und x2 ermittelt. Dies geschieht zum Beispiel mit der pq-Formel. Im zweiten Schritt faktorisiert man diese Gleichung mit Hilfe der aus der pq-Formel erhaltenen Lösungen. Im dritten Schritt formuliert man die Gleichung wieder zur Ungleichung um. Danach überprüft man im Schritt vier, für welche x-Werte das Produkt die Ungleichung erfüllt. Es endet dann in Schritt Nummer fünf mit der Angabe der Lösungsmenge. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal.

Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige den Lückentext.

    Tipps

    Die beiden Ungleichungen 4$\cdot$x < 0 und 4$\cdot$x > 0 sind verschieden voneinander, da die Richtungen der Relationszeichen verschieden sind.

    Die linke Ungleichung wurde mit einer Äquivalenzumformung zu der rechten Ungleichung umgeformt.

    Lösung

    Lineare Ungleichungen lassen sich in der Form $ b\cdot x + c < 0$ oder $ b\cdot x + c > 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$ angeben. Bei quadratischen Ungleichungen kommt lediglich der Summand $a\cdot x^2$ hinzu. Dabei kann nun auch $b = 0$ sein, jedoch muss $a \neq 0$ gelten.

    Eine Gleichung oder eine Ungleichung kann man außerdem in der Art verändern, dass deren Wertigkeit bestehen bleibt. Dabei handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.

    Die vier bekannten Rechenoperationen $+$,$-$,$\cdot$ und $:$ sind Äquivalenzumformungen. Allerdings ist bei Ungleichungen zu beachten, dass sich bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Relationszeichen „umdreht”, d.h. aus „<” wird „>” und aus „>” wird „<”.

  • Gib an, welcher Ausdruck eine lineare oder quadratische Ungleichung ist.

    Tipps

    Eine lineare Gleichung kann in der Form $b\cdot x + c = 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$ angegeben werden. Wie könnte also eine lineare Ungleichung dargestellt werden?

    Eine quadratische Gleichung kann in der Form $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ mit $a, b, c \in\mathbb{R}$ und $a \neq 0 $ angegeben werden. Welche „Bauart” besitzt also eine quadratische Ungleichung?

    Lösung

    Lineare Ungleichungen haben die Form $b\cdot x + c < 0$ oder $b\cdot x + c > 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$. $c$ darf also auch den Wert Null annehmen. Um die linearen Ungleichungen zu finden, musst du dir also nur die „Bauform” der gegebenen Ausdrücke anschauen. Es kommen als lineare Ungleichungen also nur die folgenden Ungleichungen infrage:

    • $4\cdot x + 2 > 0$
    • $x > 0$
    • $0,5\cdot x - 0,6 < 0$
    • $9\cdot x - 2 > 0$
    • $5\cdot x - 0,75 > 0$
    Quadratische Ungleichungen besitzen die Form $a\cdot x^2 + b\cdot x + c < 0$ oder $a\cdot x^2 + b\cdot x + c > 0$ mit $a, b, c \in\mathbb{R}$ und $a \neq 0$. $b$ oder $c$ können den Wert Null annehmen. Die quadratischen Ungleichungen sind damit:

    • $x^2 + 3\cdot x + 7 < 0$
    • $4\cdot x^2 - 2\cdot x > 0$
    • $x^2 < 0$
    • $-2\cdot x^2 > 0$
    • $8\cdot x^2 + 7\cdot x - 9 > 0$
  • Prüfe für welche x-Werte negative Funktionswerte entstehen.

    Tipps

    Dies ist der Graph der verschobenen Normalparabel. Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x)=y = x² - 2$.

    Die Ungleichung x² - 2 < 0 ist zu lösen.

    Die dritte Binomische Formel kann hilfreich sein.

    Lösung

    1. Der Scheitelpunkt der Normalparabel ist bei $S (0|-2)$. Folglich ist $f(x) =y= x^2 - 2$ die Funktionsgleichung. Wir wollen die Frage beantworten, für welche x-Werte negative Funktionswerte entstehen, d.h. welche x-Werte erfüllen $f(x) < 0$?
    2. Wir betrachten daher $x^2 - 2 < 0$. Hier lässt sich die dritte Binomische Formel anwenden, womit wir $x^2 - 2$ direkt faktorisieren können.

    $\begin{align} (x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2}) < 0 \end{align}$

    3. Das Produkt ist echt kleiner als Null, weshalb ein Faktor positiv und der andere Faktor negativ sein muss. Somit entstehen zwei Fälle.

    Fall 1:

    $\begin{align} x+\sqrt{2} > 0 \quad&\wedge\quad x-\sqrt{2} < 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x > -\sqrt{2} \quad&\wedge\quad x < \sqrt{2} \end{align}$

    Fall 2:

    $\begin{align} x+\sqrt{2} < 0 \quad&\wedge\quad x-\sqrt{2} > 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x < -\sqrt{2} \quad&\wedge\quad x > \sqrt{2} \end{align}$

    Aus Fall 1 lässt sich $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ folgern. Fall 2 liefert mit $\sqrt{2} < x < -\sqrt{2}$ einen Widerspruch, da es keine reelle Zahl x gibt, die echt größer als $\sqrt{2}$ und gleichzeitig echt kleiner als $-\sqrt{2}$ ist.

    4. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{ x~|~x\in {\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)} \}$, d.h. alle x-Werte aus dem offenen Intervall von $-\sqrt{2}$ bis $+\sqrt{2}$ besitzen negative Funktionswerte.

  • Gib die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung an.

    Tipps

    Bei Intervallen entsprechen runde Klammern immer offenen Intervallen. $x\in (2;4)$ bedeutet, dass $x$ eine Zahl zwischen $2$ und $4$ annimmt. Das bedeutet, dass $2$ und $4$ nicht zur Lösungsmenge gehören. Das Gleiche gilt für die eckigen Klammern, die nach außen zeigen. $x\in ]2;4[$

    Bei Intervallen entsprechen eckige Klammern die nach innen zeigen, immer geschlossenen Intervallen. $x\in [2;4]$ bedeutet, dass $x$ eine Zahl zwischen $2$ und $4$ einschließlich annimmt. $2$ und $4$ gehören zur Lösungsmenge.

    Diese Lösungsmenge entspricht allen reellen Zahlen außer den Zahlen $2$ und $4$.

    Die Lösungen der Ungleichung sind diejenigen Zahlen $x$, für die die beiden Ungleichungen $x > 4$ und $x < 2$ gelten. Die Lösungsmenge besteht also aus allen Zahlen, die größer als $4$ und kleiner als $2$ sind.

    Lösung

    Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $-2\cdot x^2 + 12\cdot x - 16 < 0$ bestimmen.

    1. Im ersten Schritt teilen wir die Ungleichung durch $-2$, damit wir $1$ als Vorfaktor von $x^2$ erhalten. Also:

    $\begin{align} -2\cdot x^2+12\cdot x-16&<0 \quad &|& :(-2)\\ \Leftrightarrow x^2-6\cdot x+8&>0 \end{align}$

    Wichtig: Da wir durch eine negative Zahl dividieren, dreht sich das Relationszeichen um. Aus dem Kleiner $<$ wird ein Größer $>$. Jetzt fassen wir die Ungleichung als Gleichung auf, d.h. wir betrachten $x^2 - 6\cdot x + 8 = 0$. Von dieser quadratischen Gleichung können wir mit Hilfe der p-q-Formel die Lösungen bestimmen. Dabei ist $p = - 6$ und $q = 8$.

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\frac{(-6)^2}{4}-8}\\ &=3\pm \sqrt{9-8}\\ &=3\pm 1 \end{align}$

    Folglich sind $x_1=4$ $\vee$ $x_{2}=2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 - 6\cdot x + 8 = 0$.

    2. Im zweiten Schritt faktorisieren wir die Gleichung. Wir erhalten:

    $\begin{align} x^2-6\cdot x+8=0 \Leftrightarrow (x-4)\cdot (x-2)=0 \end{align}$

    3. Nun machen wir im dritten Schritt aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit $(x - 4)\cdot (x - 2) > 0$. Ein Produkt ist bekanntlich echt größer als Null, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.

    4. Somit betrachten wir im vierten Schritt den Fall $1$ mit:

    $\begin{align} x-4&>0~~\wedge~~x-2>0 \\ \Leftrightarrow x&>4~~\wedge ~~x>2 \end{align}$

    und den Fall $2$ mit

    $\begin{align} x-4&<0 ~~\wedge ~~ x-2<0 \\ \Leftrightarrow x&<4~~\wedge ~~x<2 \end{align}$

    Aus dem ersten Fall folgt $x > 4$, da immer die größere Einschränkung auch beide Ungleichungen erfüllt. Aus dem zweiten Fall folgt $x < 2$.

    5.Wir erhalten im letzten Schritt die Lösungsmenge:

    $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-\infty;2[} \cup {]4;\infty[} \} \end{align}$.

  • Berechne die Lösungsmenge der gegebenen quadratischen Ungleichung.

    Tipps

    Fasse die Ungleichung als Gleichung auf und löse sie zum Beispiel mit der p-q-Formel.

    Was sind die Lösungen dieser Gleichung?

    Es ist $x^2 - 3\cdot x - 10 = (x - 2)\cdot (x - 5)$.

    Zum Beispiel stellt $x > 3$ und $x < -1$ einen Widerspruch dar, da daraus $3 < x < -1$ folgt und es existiert keine reelle Zahl $x$, die größer als $3$ und gleichzeitig kleiner als $-1$ ist.

    Lösung

    Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $x^2 - 3\cdot x - 10 < 0$ bestimmen.

    1. Wir fassen die Ungleichung zunächst als Gleichung auf, d.h. wir betrachten $x^2 - 3\cdot x - 10 = 0$. Von dieser quadratischen Gleichung können wir mit Hilfe der p-q-Formel die Lösungen bestimmen. Dabei ist $p = - 3$ und $q = - 10$.

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=-\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\frac{(-3)^2}{4}-(-10)}\\ &=1{,}5\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{40}{4}}\\ &=1{,}5\pm \frac{7}{2}\\ &=1{,}5\pm 3{,}5 \end{align}$

    Folglich sind $x_1 = 1,5 + 3,5 = 5$ und $x_2 = 1,5 – 3,5 = - 2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 - 3\cdot x – 10 = 0$.

    2. Nun faktorisieren wir die Gleichung und erhalten:

    $\begin{align} x^2-3\cdot x-10=0 \Leftrightarrow (x-5)\cdot (x+2)=0 \end{align}$

    3. Jetzt machen wir aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit

    $\begin{align} (x - 5)\cdot (x + 2)<0. \end{align}$

    4. Ein Produkt ist bekanntlich echt kleiner als Null, wenn einer der beiden Faktoren negativ und der andere Faktor positiv ist.

    Somit betrachten wir den Fall $1$

    $\begin{align} x-5>0 ~~&\wedge~~ x+2<0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x>5 ~~&\wedge~~x<-2 \end{align}$

    und den Fall $2$

    $\begin{align} x-5<0 ~~&\wedge~~ x+2>0\\ \Leftrightarrow \quad\quad x<5 ~~&\wedge~~x>-2 \end{align} $

    Aus dem ersten Fall folgt $5 < x < - 2$, was für keine Zahl $x$ stimmen kann. Der zweite Fall wird daher die Lösungsmenge liefern. Es folgt $- 2 < x < 5$.

    5. Die Lösungsmenge ist damit

    $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-2;5[} \} \end{align}$

  • Ermittle die richtige Reihenfolge zur Bestimmung der Lösungsmenge.

    Tipps

    Bringe die Ungleichung zuerst in die Form, dass vor dem x² eine 1 als Faktor steht.

    Ungleichungen können nach einer Variablen äquivalent umgeformt werden.

    Die dritte binomischen Formel lautet:

    $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

    Hier siehst du die Anwendung der dritten binomischen Formel:

    $x^2-9=(x+3)\cdot(x-3)$.

    Lösung

    1. Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung -3$\cdot$x² + 3 < 0 bestimmen. Im ersten Schritt teilen wir die Ungleichung durch -3, da wir den Vorfaktor 1 vor dem x² brauchen. Also:
    $\begin{align} -3\cdot x^2+3&<0 \quad |:(-3)\\ \Leftrightarrow \quad \quad x^2-1&>0 \end{align}$

    Wichtig hierbei ist: Da wir durch eine negative Zahl dividieren, wechselt das Relationszeichen seine Richtung.

    2. Wir fassen die Ungleichung zunächst als Gleichung auf, d.h. wir betrachten x² - 1 = 0. Nun sollte dir auffallen, dass du die dritte Binomische Formel anwenden kannst, denn es gilt

    $\begin{align}x² - 1 = (x - 1)\cdot(x + 1) = 0.\end{align}$.

    Damit haben wir die Gleichung bereits faktorisiert.

    3. Jetzt machen wir aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit

    $\begin{align}(x - 1)\cdot(x + 1) > 0.\end{align}$.

    4. Ein Produkt ist bekanntlich echt größer als Null, wenn beide Faktoren entweder negativ oder positiv sind. Somit betrachten wir den Fall 1

    $\begin{align} x-1>0 ~~&\wedge~~ x+1>0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x>1 ~~&\wedge~~ x>-1\\ \end{align}$

    und den Fall 2

    $\begin{align} x-1<0 ~~&\wedge~~ x+1<0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x<1 ~~&\wedge~~ x<-1\\ \end{align} $

    Aus dem ersten Fall folgt x > 1 und der zweite Fall liefert x < - 1. Die Lösungsmenge beinhaltet also alle reellen Zahlen x, die echt kleiner als - 1 und echt größer als 1 sind. Das sind dann also alle Zahlen, die nicht zum abgeschlossenen Intervall [-1,1] gehören.

    5. Damit ist die Lösungsmenge

    $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-\infty;-1[} \cup {]1;\infty[} \}. \end{align}$