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Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3)

Herzlich willkommen zum dritten und damit auch schon letzten Teil meiner Videoreihe. Ich habe bereits in den letzten beiden Teilen damit begonnen, di zu zeigen, wie quadratischen Gleichung mittels der dritten binomischer Formel auf äußerst trickreiche Weise gelöst werden können. Zur Erinnerung, folgende Gleichung hatten wir als Beispiel ausgewählt: 3x² - 27x + 54 = 0. In diesem Video erkläre ich dir nun die letzten Schritte der Umformung. Schau noch einmal aufmerksam zu und versuche doch anschließend selbst, das Verfahren anzuwenden. Bis zum nächsten Mal!

Transkript Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3)

Hallo, hier kommt der dritte Teil, der trickreichen Lösung einer quadratischen Gleichung. Dieser Teil hier, sieht aus wie die 3. binomische Formel, und zwar, da ist ja die 3. binomische Formel, ich hoffe, Du erkennst das wieder, ohne A und B, aber das ist auch nicht nötig. Wir haben hier in diesem Kästchen: Hier muss das hin, was quadriert wird. Das ist in dem Fall, ich muss einwenig ausholen, (x-4,5). Das wird hier quadriert, dann kommt ein Minuszeichen und dann kommt 1,5². Das bedeutet also, wir haben hier einen Term, der die Struktur der 3. binomischen Formel hat. Dann darf ich sie auch anwenden, und zwar kommt.. Das muss ich eben umdrehen, macht nichts, wäre auch andersherum richtig, nein, wäre nicht richtig gewesen, so herum ist es richtig. Guckst Du? Hier haben wir in dem roten Kästchen x-4,5. Auf die Klammer kann ich jetzt verzichten. Hier kann ich übrigens nicht auf die Klammer verzichten, denn es wird ja x-4,5 als Ganzes quadriert. Hier habe ich kein Quadrat dran, deshalb kann ich darauf verzichten. Also, in das grüne Kästchen kommt 1,5. Da steht es. In das rote wieder x-4,5 und in das grüne wieder 1,5. Das bedeutet, ich darf diesen Term jetzt hinschreiben, der durch die 3. binomische Formel entstanden ist. Das geht so: wir haben hier, (x-4,5+, ja, das kann ich gleich ausrechnen. Das rechne ich gleich aus. Also: -4,5+1,5=-3, dann kann ich hier hinschreiben (x-3)×(x, klar, hier steht -4,5-1,5=-6, das kann man einfach so nachrechnen. Ich denke, da brauchst Du keinen Taschenrechner für. Das ist ein =, das soll immer noch =0 sein. Die brauchen wir jetzt auch nicht mehr. (x-3)×(x-6)=0. Jetzt kommt noch eine trickreiche Sache. Was heißt Trick, naja, also, Argumentation ist jetzt Folgende: Das, was hier steht, ist ein Produkt, weil die letzte Rechnung, wenn wir diesen Term hier ausrechnen würden, die letzte Rechnung ist eine Punktrechnung. Nämlich dieses Mal hier. Wir würden für x etwas einsetzen, dieses Ergebnis ausrechnen, für x was einsetzen und dieses Ergebnis ausrechnen und beide Ergebnisse multiplizieren. Das heißt, die letzte Rechnung wäre dann eine Punktrechnung, von daher ist die linke Seite dieser Gleichung ein Produkt. Nun wissen wir, ein Produkt wird immer genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Das ist der eine Faktor, das ist der andere Faktor. Nur wenn einer von beiden oder auch beide 0 werden, dann ist das Produkt 0. Das führt uns einmal zu der Gleichung, zu 2 Gleichungen. Wir setzen den einen Faktor =0, also x-3=0, das ist ja der hier und das ist genau dann der Fall, wenn x=3. Ich hoffe, das siehst Du so. Der andere Faktor heißt x-6, das ist der hier, der wird 0, genau dann, wenn x=6. Das sind die beiden Lösungen unserer quadratischen Gleichung. x kann 3 sein oder x kann 6 sein. Beides mal ist die Gleichung richtig. Ich zeige noch einmal, wie wir angefangen haben, nämlich mit dieser Gleichung hier: 3x²-27x+54=0. Dann haben wir quadratische Ergänzung gemacht, zweite binomische Formel angewendet, hier dritte binomische Formel angewendet hier und sind auf diese beiden Lösungen gekommen: 3 und 6. Du kannst es gerne nachrechnen, es stimmt, wenn man 3 oder 6 einsetzt, wird die obere Gleichung richtig, sonst nicht.    Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. super erklärt, war sehr verständlich

    Von Monninger, vor etwa 4 Jahren
  2. sehr gut erklärt!

    Von Familiewittich, vor fast 7 Jahren

Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du die Gleichung $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $ löst.

    Tipps

    Fasse nun noch alle Zahlen zusammen, nachdem du die 3. binomische Formel angewendet hast.

    Ein Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird.

    Lösung

    Die Gleichung zu Beginn lautet. $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

    Du kannst hier die 3. binomische Formel anwenden. Zur Erinnerung: $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $.

    $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $ entspricht $ a^2 - b^2 $. Überlege daher, was in deiner Gleichung $ a $ und was $ b $ ist: $ a = x - 4,5 $ und $ b = 1,5 $. Einsetzen in $ (a + b)(a - b) $ ergibt: $ (x - 4,5 + 1,5) (x - 4,5 - 1,5) $.

    In deine Gleichung eingesetzt, ergibt dies: $ (x - 4,5 + 1,5) (x - 4,5 - 1,5) = 0 $.

    Fasse nun noch alle Zahlen zusammen: $ (x - 3) (x - 6) = 0 $.

    Jetzt kannst du noch die Gleichung lösen, indem du dir überlegst, wann ein Produkt Null wird. Es gilt: Ein Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird.

    Das heißt: $ x - 3 = 0 $ oder $ x - 6 = 0 $.

    Jeweils nach $ x $ aufgelöst, erhältst du $ x = 3 $ oder $ x = 6 $.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

    Tipps

    Wende die 3. binomische Formel $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $ an.

    EIn Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.

    Es gibt genau zwei Lösungen.

    Lösung

    Die Gleichung ist $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

    Du kannst hier die 3. binomische Formel anwenden. Zur Erinnerung: $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $.

    $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $ entspricht $ a^2 - b^2 $. Überlege daher, was in deiner Gleichung $ a $ und was $ b $ ist: $ a = x - 4,5 $ und $ b = 1,5 $.

    Einsetzen in $ (a + b)(a - b) $ ergibt: $ (x - 4,5 + 1,5) (x - 4,5 - 1,5) $. In deine Gleichung eingesetzt, ergibt dies: $ (x - 4,5 + 1,5) (x - 4,5 - 1,5) = 0 $.

    Fasse nun noch alle Zahlen zusammen: $ (x - 3) (x - 6) = 0 $.

    Jetzt kannst du noch die Gleichung lösen, indem du dir überlegst, wann ein Produkt Null wird.

    Es gilt: Ein Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Das heißt: $ x - 3 = 0 $ oder $ x - 6 = 0 $. Jeweils nach $ x $ aufgelöst, erhältst du $ x = 3 $ oder $ x = 6 $.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Luisa muss die Gleichung geschickt umschreiben, sodass sie eine der binomischen Formeln anwenden kann.

    Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.

    Lösung

    Luisa muss zuerst in der Gleichung $ (x + 3)^2 - 4 = 0 $ die $ 4 $ als Quadratzahl schreiben.

    Die Gleichung heißt dann $ (x + 3)^2 - 2^2 = 0 $.

    Nun kann sie die 3. binomische Formel $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ anwenden. Das ergibt: $ (x + 3 +2) (x + 3 - 2) = 0 $.

    Sie muss dann noch die Zahlen in den jeweiligen Klammern zusammenfassen: $ (x + 5) (x + 1) = 0 $.

    Da ein Produkt genau dann Null wird, wenn einer der beiden Faktoren Null ist, ergeben sich die Gleichungen:

    $ x + 5 = 0 $ und $ x + 1 = 0 $.

    Das ergibt dann:

    $ x = - 5 $ und $ x = - 1 $.

  • Ermittle die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Erinnere dich: Es gilt zum Beispiel $ 5 = \sqrt{5}^2 $.

    Wende die 3. binomische Formel an!

    Das Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.

    Lösung

    Zuerst muss man die $ 8 $ in der Gleichung $ (x - 4)^2 - 8 = 0 $ als Quadratzahl schreiben.

    Nutze dazu die Wurzel: $ (x - 4)^2 - \sqrt{8}^2 = 0 $.

    Nun kann die 3. binomische Formel angewendet werden:

    $ (x - 4 - \sqrt{8} ) (x - 4 + \sqrt{8} ) = 0 $.

    Das Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.

    Er ergibt sich somit als Lösung:

    $ x = 4 + \sqrt{8} $ und $ x = 4 - \sqrt{8} $.

  • Wende die dritte binomische Formel auf die Gleichung $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $ an.

    Tipps

    Die dritte binomische Formel ist $ (a - b)^2 = (a + b)(a - b) $

    Fasse alle Zahlen in jeder Klammer zusammen!

    Lösung

    Die dritte binomische Formel ist $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $.

    Überlege dir zuerst, was in deiner Gleichung $ a $ und was $ b $ ist: $ a = x - 4,5 $ und $ b = 1,5 $.

    Setze dieses dann in $ (a + b)(a - b) $ ein und wende es auf deine Gleichung an.

    Es ergibt: $ (x - 4,5 + 1,5) (x - 4,5 - 1,5) = 0 $.

    Fasse nun noch alle Zahlen zusammen: $ (x - 3) (x - 6) = 0 $.

  • Ermittle die Gleichung.

    Tipps

    Für jede Nullstelle $x_0$ bekommst du einen Linearfaktor $x-x_0$.

    Zerlege die Zahlen $ 2 $ und $ 4 $ geschickt.

    Lösung

    Zuerst müssen die beiden Lösungen $ 2 $ und $ 4 $ mit dem umgekehrten Vorzeichen in Klammern als Produkt geschrieben werden: $ (x - 2) (x - 4) = 0 $.

    Das kann man so machen, denn wenn man diese Gleichung wieder lösen würde, würde man jeden Faktor des Produkts gleich Null setzen, um die Lösungen zu ermitteln: $ x - 2 = 0 $ und $ x - 4 = 0 $. Dann ergibt sich wieder $ x = 2 $ und $ x = 4 $. Anschließend zerlegt man in der Gleichung $ (x - 2) (x - 4) = 0 $ die $ 2 $ und die $ 4 $ so, dass bei beiden die gleichen Zahlen verwendet werden, um die Zahlen darzustellen: $ ( x - 3 + 1) (x - 3 - 1) = 0 $.

    Nun muss man die $3$. binomische Formel $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ anwenden:

    $ (x -3)^2 - 1^2 = 0 $.

    Wenn du nämlich in der Gleichung $ ( x - 3 + 1) (x - 3 - 1) = 0 $ noch weitere Klammern setzt, dann siehst du noch besser, was $ a $ und was $ b $ ist: $ ( (x - 3) + 1) ((x - 3) - 1) = 0 $.

    Mithilfe der $2$. binomischen Formel lässt sich die Gleichung dann noch schreiben als:

    $ x^2 - 6x + 9 - 1 = 0 $.

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