Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2)

Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2) Übung

• Fasse mithilfe der zweiten binomischen Formel zusammen.

  Tipps

  Die zweite binomische Formel ist $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

  Du kannst $ 9 $ zum Beispiel auch als $ 3^2 $ schreiben.

  Lösung

  Deine Aufgabe war es, die Gleichung $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 - 20,25 + 18 = 0 $ umzuformen und die zweite binomische Formel anzuwenden.

  Zunächst kannst du $ - 20,25 $ und $ 18 $ zusammenfassen: $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 2,25 = 0 $.

  Dann wende die zweite binomische Formel an. Die allgemeine Formel lautet: $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

  Mit $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 $ hast du die Lösungsfomel der zweiten binomischen Formel, denn du kannst auch schreiben: $ x^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot x + 4,5^2 $. Daraus lässt sich dann $ (x - 4,5)^2 $ machen.

  Wenn du dieses dann in deine Gleichung wieder einsetzt, erhältst du: $ (x - 4,5)^2 - 2,25 $.

  Nun ist es noch wichtig, dass du die $ 2,25 $ als Quadratzahl schreibst. $ 2,25 = 1,5^2 $. $ 1,5^2 $ heißt ja nichts anderes als $ 1,5 \cdot 1,5 $. Und das ergibt dann wieder $ 2,25 $.

  Deine Umformungen ergeben dann: $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

• Beschreibe, wie du die Gleichung $ x^2 - 9x + 4,5^2 -20,25 + 18 = 0 $ umformen kannst.

  Tipps

  Die zweite binomische Formel ist $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

  Du kannst jede Zahl auch als Quadratzahl schreiben.

  Lösung

  Deine Aufgabe war es, die Gleichung $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 - 20,25 + 18 = 0 $ umzuformen und die zweite binomische Formel anzuwenden.

  Zunächst kannst du $ - 20,25 $ und $ 18 $ zusammenfassen: $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 2,25 = 0 $.

  Dann wende die zweite binomische Formel an. Die allgemeine Formel lautet: $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

  Mit $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 $ hast du die Lösungsfomel der zweiten binomischen Formel, denn du kannst auch schreiben: $ x^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot x + 4,5^2 $. Daraus lässt sich dann $ (x - 4,5)^2 $ machen.

  Wenn du dieses dann in deine Gleichung wieder einsetzt, erhältst du: $ (x - 4,5)^2 - 2,25 $.

  Nun ist es noch wichtig, dass du die $ 2,25 $ als Quadratzahl schreibst. $ 2,25 = 1,5^2 $. $ 1,5^2 $ heißt ja nichts anderes als $ 1,5 \cdot 1,5 $. Und das ergibt dann wieder $ 2,25 $.

  Deine Umformungen ergeben dann: $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

• Fasse die angegebenen Gleichung zusammen.

  Tipps

  Wie kannst du $ 6x $ als Produkt schreiben?

  Was ist die Quadratzahl von $ 4 $ ?

  Lösung

  Deine Ausgangsgleichung ist diese:

  $ x^2 - 6x + 3^2 - 9 + 5 = 0 $.

  Du kannst natürlich die $ - 9 $ und die $ 5 $ zusammenfassen. Aber auch die $ 6x $ kannst du als Produkt $ 2 \cdot 3 \cdot x $ schreiben. Das hilft dir im nächsten Schritt dabei, die ersten drei Summanden deiner Gleichung zu einer binomischen Formel zusammenzufassen:

  $ x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 - 4 = 0 $.

  Nun kannst du die ersten drei Summanden als zweite binomische Formel schreiben:

  $ (x - 3)^2 - 4 = 0 $.

  Anstatt $ 4 $ kannst du auch $ 2^2 $ schreiben, da $ 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 $:

  $ (x - 3)^2 - 2^2 = 0 $.

• Fasse die Gleichung $ x^2 + 4x + 2^2 + 4 - 20 = 0 $ zu einer binomischen Formel zusammen.

  Tipps

  Schreibe $ 4x $ als ein Produkt von zwei Faktoren.

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$.

  Lösung

  Deine Gleichung ist $ x^2 + 4x + 2^2 + 4 - 20 = 0 $.

  Schreibe zuerst $ 4 x $ als ein Produkt von zwei Faktoren und fasse $ 4 - 20 $ zusammen:

  $ x^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2^2 - 16 =0 $.

  Nun kannst du die ersten drei Summanden als erste binomische Formel schreiben:

  $ (x + 2)^2 - 16 =0$.

  Und dann kannst du noch die $ 16 $ als Quadratzahl schreiben:

  $ (x + 2)^2 - 4^2 = 0 $.

• Gib jede Zahl als Quadratzahl an.

  Tipps

  Welche Zahl mit sich selbst multipliziert, ergibt die gesuchte Zahl?

  Es gilt $ 5^2 = 5 \cdot 5 $.

  Lösung

  Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder die gesuchte Zahl ergibt.

  • Bei $ 9 $ kannst du schreiben $ 9 = 3^2 $, da $ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 $ ergibt.
  • Du kannst dir erst die Quadratzahl zu $ 225 $ überlegen: Das ist $ 15 $. Verschiebe dann das Komma. Da $ 2,25 $ zwei Stellen hinter dem Komma hat, darf deine Quadratzahl nur eine Stelle haben. Damit ist also $ 2,25 = 1,5^2 $.
  • Du kannst keine rationale Zahl mit sich selbst multiplizieren, so dass $ 7 $ herauskommt. Aber du kannst $ 7 $ mithilfe des Wurzelzeichens als Quadratzahl schreiben: $ 7 = \sqrt{7}^2 $.
  • Außerdem gilt $ 25 = 5^2 $ , da $ 5 \cdot 5=25 $ gilt.

• Ermittle die Lösung der Gleichung $ -2x^2 + 12x + 14 = 0 $.

  Tipps

  Du möchtest $ x $ ermitteln. Löse daher Schritt für Schritt die Gleichung.

  Die $2$. binomische Formel lautet: $ (a - b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

  Die $3$. binomische Formel ist: $ (a - b)\cdot (a + b) = a^2 - b^2 $.

  Lösung

  Die Gleichung lautet $ -2x^2 + 12x + 14 = 0 $.

  Zuerst muss ich diese auf die Normalform bringen. Ich dividiere sie daher durch $ -2 $ und erhalte $ x^2 - 6x - 7 = 0 $.

  Nun kannst du die quadratische Ergänzung anwenden, indem du die Hälfte von $ 6 $ berechnest und diese dann quadrierst. Das ergibt $ 3^2 $. Diese musst du zugleich in der Gleichung addieren und subtrahieren: $ x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 - 7 = 0 $.

  Dann wendet man die $2$. binomische Formel an, da du deine Gleichung auch schreiben kannst als: $ x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 - 9 - 7 = 0 $.

  Das ergibt $ (x-3)^2 -9 - 7=0 $. Fasse noch $ 9 $ und $ 7 $ zuammen: $ (x-3)^2 -16=0 $.

  Schreibe $ 16 $ als Quadratzahl: $ (x-3)^2 - 4^2 = 0 $.

  Dein Ziel ist es ja, die Gleichung zu lösen. Du kannst dazu am besten die $3$. binomische Formel anwenden. Erinnere dich, dass diese so lautet: $ (a - b)\cdot (a + b) $ = $ a^2 - b^2 $ Dein $ a $ ist in diesem Fall $x - 3 - 4$ und dein $ b $ ist $x - 3 + 4$.

  Du erhältst somit: $ (x - 3 - 4) \cdot (x - 3 + 4) = 0 $.

  In den Klammern kannst du die Zahlen noch zusammenfassen: $ (x - 7) \cdot (x + 1) = 0 $.

  Nun kannst du einen Trick anwenden, um $ x $ schnell zu berechnen. Wir wissen, dass ein Produkt Null wird, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Das heißt, dass hier entweder $ x - 7 = 0 $ oder $ x + 1 = 0 $ sein kann.

  Du musst beiden Gleichungen auflösen: $ x - 7 = 0 $ ergibt dann $ x = 7 $ und $ x + 1 = 0 $ ergibt $ x = -1 $.