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Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2)

Herzlich willkommen zum zweiten Teil meiner kleine Videoreihe, in der ich dir ein – meines Erachtens – sehr elegantes Verfahren vorstellen möchte. Die Lösung einer quadratischen Gleichung mittels binomischer Formeln. Um folgende Gleichung 3x² - 27x + 54 = 0 handelt es sich hierbei. Im letzten Video haben wir bereits begonnen, die Gleichung so umzuformen, dass wir nun bald schon die binomische Formel anwenden können. Wie man hierfür nun vorgeht, siehst du nun im Video. Folge meinen Erklärungen dazu Schritt für Schritt.

Transkript Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2)

Hallo! Hier ist der 2. Teil unserer trickreichen Übungsaufgabe. Wir haben bisher hier durch 3 geteilt und die quadratische Ergänzung gemacht und 4,5² ausgerechnet mit der ersten binomischen Formel. Da ist sie noch - die brauch ich jetzt nicht mehr, weg damit! Du kannst sie natürlich auch mit dem Taschenrechner ausrechnen, da lernt man aber weniger. Jetzt möchte ich diese 3 Summanden hier, die ersten 3, zusammenfassen, und zwar mit der 2. binomischen Formel. Die kommt gleich (das ist die 3.)... Hier ist die 2. binomische Formel: x² - 2 × x (hier muss wieder das x hin!) und wenn hier schon eine 2 steht, na, was kommt dann in das gelbe Kästchen? Es kommt 4,5 rein, denn 2 × 4,5 ist ja 9, hier stehen insgesamt -9x, und wenn ich hier schreibe -2 × x × 4,5, dann entspricht dieser Teil hier -9x. Das gelbe Kästchen muss ich noch ausfüllen, 4,5 kommt da rein. Also habe ich hier stehen +4,5², wunderbar, dann kann ich also die 2. binomische Formel anwenden, und zwar indem ich hier für Rot eintrage: x und für Gelb: 4,5. Diese 3 Summanden werden also zusammengefasst zu (x - 4,5)² und das hier hinten, - 20,5 + 18, das möchte ich jetzt ausrechnen. Das geht natürlich auch ohne Taschenrechner: das ist -2,25 und das Ganze soll = 0 sein. Jetzt kommt wieder ein Trick. Und zwar: Ich kann statt 2,25 hinschreiben: √2,25². Ja, das kann man übrigens immer machen, nur mal nebenbei. Ich hol mal eben ein Schmierblatt. Ich kann (das gilt für jede Zahl!) also, statt 9 auch die Wurzel nehmen und zum Quadrat schreiben. √9 = 3 und 3² = 9, das ist gleich. Ich kann auch √2,25 nehmen, das ist 1,5, und 1,5 quadrieren, da kommt ja auch 2,25 raus. Ich kann das auch mit allen anderen Zahlen machen. Ich kann auch 7 nehmen, und statt 7 √7² hinschreiben, das ist auch das Gleiche. Das ist kein Problem, kann ich machen. Und das werde ich jetzt auch mal machen, und zwar statt 2,25 werde ich 1,5² hinschreiben. Das Minuszeichen ist davon nicht betroffen, ja ich denke mir das mal weg, und hier steht ja 2,25. Also hier kann ich dann statt 2,25 1,5² hinschreiben und das Minuszeichen bleibt erhalten. Es ist auch hier der Term der gleiche geblieben. So, das war jetzt wieder ein Trick, und jetzt kommt der eigentliche Trick dieser Aufgabe: Es kommt die 3. binomische Formel. Und zwar, wie du ja feststellst, ist das hier so wie dieser Teil hier der binomischen Formel. Die 3. binomische Formel - und jetzt kann ich die anwenden! Wie das geht, zeige ich im 3. Teil für die 3. binomische Formel. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sie scheinen kein Fan von Taschenrechnern zu sein :D

    Von Masta, vor etwa 11 Jahren

Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse mithilfe der zweiten binomischen Formel zusammen.

    Tipps

    Die zweite binomische Formel ist $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

    Du kannst $ 9 $ zum Beispiel auch als $ 3^2 $ schreiben.

    Lösung

    Deine Aufgabe war es, die Gleichung $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 - 20,25 + 18 = 0 $ umzuformen und die zweite binomische Formel anzuwenden.

    Zunächst kannst du $ - 20,25 $ und $ 18 $ zusammenfassen: $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 2,25 = 0 $.

    Dann wende die zweite binomische Formel an. Die allgemeine Formel lautet: $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

    Mit $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 $ hast du die Lösungsfomel der zweiten binomischen Formel, denn du kannst auch schreiben: $ x^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot x + 4,5^2 $. Daraus lässt sich dann $ (x - 4,5)^2 $ machen.

    Wenn du dieses dann in deine Gleichung wieder einsetzt, erhältst du: $ (x - 4,5)^2 - 2,25 $.

    Nun ist es noch wichtig, dass du die $ 2,25 $ als Quadratzahl schreibst. $ 2,25 = 1,5^2 $. $ 1,5^2 $ heißt ja nichts anderes als $ 1,5 \cdot 1,5 $. Und das ergibt dann wieder $ 2,25 $.

    Deine Umformungen ergeben dann: $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

  • Beschreibe, wie du die Gleichung $ x^2 - 9x + 4,5^2 -20,25 + 18 = 0 $ umformen kannst.

    Tipps

    Die zweite binomische Formel ist $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

    Du kannst jede Zahl auch als Quadratzahl schreiben.

    Lösung

    Deine Aufgabe war es, die Gleichung $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 - 20,25 + 18 = 0 $ umzuformen und die zweite binomische Formel anzuwenden.

    Zunächst kannst du $ - 20,25 $ und $ 18 $ zusammenfassen: $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 2,25 = 0 $.

    Dann wende die zweite binomische Formel an. Die allgemeine Formel lautet: $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

    Mit $ x^2 - 9\cdot x + 4,5^2 $ hast du die Lösungsfomel der zweiten binomischen Formel, denn du kannst auch schreiben: $ x^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot x + 4,5^2 $. Daraus lässt sich dann $ (x - 4,5)^2 $ machen.

    Wenn du dieses dann in deine Gleichung wieder einsetzt, erhältst du: $ (x - 4,5)^2 - 2,25 $.

    Nun ist es noch wichtig, dass du die $ 2,25 $ als Quadratzahl schreibst. $ 2,25 = 1,5^2 $. $ 1,5^2 $ heißt ja nichts anderes als $ 1,5 \cdot 1,5 $. Und das ergibt dann wieder $ 2,25 $.

    Deine Umformungen ergeben dann: $ (x - 4,5)^2 - 1,5^2 = 0 $.

  • Fasse die angegebenen Gleichung zusammen.

    Tipps

    Wie kannst du $ 6x $ als Produkt schreiben?

    Was ist die Quadratzahl von $ 4 $ ?

    Lösung

    Deine Ausgangsgleichung ist diese:

    $ x^2 - 6x + 3^2 - 9 + 5 = 0 $.

    Du kannst natürlich die $ - 9 $ und die $ 5 $ zusammenfassen. Aber auch die $ 6x $ kannst du als Produkt $ 2 \cdot 3 \cdot x $ schreiben. Das hilft dir im nächsten Schritt dabei, die ersten drei Summanden deiner Gleichung zu einer binomischen Formel zusammenzufassen:

    $ x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 - 4 = 0 $.

    Nun kannst du die ersten drei Summanden als zweite binomische Formel schreiben:

    $ (x - 3)^2 - 4 = 0 $.

    Anstatt $ 4 $ kannst du auch $ 2^2 $ schreiben, da $ 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 $:

    $ (x - 3)^2 - 2^2 = 0 $.

  • Fasse die Gleichung $ x^2 + 4x + 2^2 + 4 - 20 = 0 $ zu einer binomischen Formel zusammen.

    Tipps

    Schreibe $ 4x $ als ein Produkt von zwei Faktoren.

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$.

    Lösung

    Deine Gleichung ist $ x^2 + 4x + 2^2 + 4 - 20 = 0 $.

    Schreibe zuerst $ 4 x $ als ein Produkt von zwei Faktoren und fasse $ 4 - 20 $ zusammen:

    $ x^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2^2 - 16 =0 $.

    Nun kannst du die ersten drei Summanden als erste binomische Formel schreiben:

    $ (x + 2)^2 - 16 =0$.

    Und dann kannst du noch die $ 16 $ als Quadratzahl schreiben:

    $ (x + 2)^2 - 4^2 = 0 $.

  • Gib jede Zahl als Quadratzahl an.

    Tipps

    Welche Zahl mit sich selbst multipliziert, ergibt die gesuchte Zahl?

    Es gilt $ 5^2 = 5 \cdot 5 $.

    Lösung

    Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder die gesuchte Zahl ergibt.

    • Bei $ 9 $ kannst du schreiben $ 9 = 3^2 $, da $ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 $ ergibt.
    • Du kannst dir erst die Quadratzahl zu $ 225 $ überlegen: Das ist $ 15 $. Verschiebe dann das Komma. Da $ 2,25 $ zwei Stellen hinter dem Komma hat, darf deine Quadratzahl nur eine Stelle haben. Damit ist also $ 2,25 = 1,5^2 $.
    • Du kannst keine rationale Zahl mit sich selbst multiplizieren, so dass $ 7 $ herauskommt. Aber du kannst $ 7 $ mithilfe des Wurzelzeichens als Quadratzahl schreiben: $ 7 = \sqrt{7}^2 $.
    • Außerdem gilt $ 25 = 5^2 $ , da $ 5 \cdot 5=25 $ gilt.
  • Ermittle die Lösung der Gleichung $ -2x^2 + 12x + 14 = 0 $.

    Tipps

    Du möchtest $ x $ ermitteln. Löse daher Schritt für Schritt die Gleichung.

    Die $2$. binomische Formel lautet: $ (a - b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2 $.

    Die $3$. binomische Formel ist: $ (a - b)\cdot (a + b) = a^2 - b^2 $.

    Lösung

    Die Gleichung lautet $ -2x^2 + 12x + 14 = 0 $.

    Zuerst muss ich diese auf die Normalform bringen. Ich dividiere sie daher durch $ -2 $ und erhalte $ x^2 - 6x - 7 = 0 $.

    Nun kannst du die quadratische Ergänzung anwenden, indem du die Hälfte von $ 6 $ berechnest und diese dann quadrierst. Das ergibt $ 3^2 $. Diese musst du zugleich in der Gleichung addieren und subtrahieren: $ x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 - 7 = 0 $.

    Dann wendet man die $2$. binomische Formel an, da du deine Gleichung auch schreiben kannst als: $ x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 - 9 - 7 = 0 $.

    Das ergibt $ (x-3)^2 -9 - 7=0 $. Fasse noch $ 9 $ und $ 7 $ zuammen: $ (x-3)^2 -16=0 $.

    Schreibe $ 16 $ als Quadratzahl: $ (x-3)^2 - 4^2 = 0 $.

    Dein Ziel ist es ja, die Gleichung zu lösen. Du kannst dazu am besten die $3$. binomische Formel anwenden. Erinnere dich, dass diese so lautet: $ (a - b)\cdot (a + b) $ = $ a^2 - b^2 $ Dein $ a $ ist in diesem Fall $x - 3 - 4$ und dein $ b $ ist $x - 3 + 4$.

    Du erhältst somit: $ (x - 3 - 4) \cdot (x - 3 + 4) = 0 $.

    In den Klammern kannst du die Zahlen noch zusammenfassen: $ (x - 7) \cdot (x + 1) = 0 $.

    Nun kannst du einen Trick anwenden, um $ x $ schnell zu berechnen. Wir wissen, dass ein Produkt Null wird, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Das heißt, dass hier entweder $ x - 7 = 0 $ oder $ x + 1 = 0 $ sein kann.

    Du musst beiden Gleichungen auflösen: $ x - 7 = 0 $ ergibt dann $ x = 7 $ und $ x + 1 = 0 $ ergibt $ x = -1 $.

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