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Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1)

Um folgende Gleichung 3x² - 27x + 54 = 0 zu lösen, kannst du die p-q-Formel oder auch die Mitternachtsformel anwenden. Du kannst die Gleichung aber auch lösen, indem du sie mit Hilfe einer binomischen Formel umformst. Diese letzte Option möchte ich dir im folgenden Video an dem bereits genannten Beispiel erklären. Hierzu werde ich dir in drei Videos ( Teil 1, Teil 2 und Teil 3) ausführlich erklären, wie man die Gleichung Schritt für Schritt umformt. Viel Spaß mit meinen Videos!

Transkript Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1)

Hallo, hier möchte ich mal eine quadratische Gleichung vorstellen und ein Lösungsverfahren, was ein bisschen trickreich ist, indem gleich alle 3 binomischen Formeln vorkommen und das geht folgendermaßen. Wir haben 3x² -27x + 54 = 0. Also Ziel ist es letztendlich die dritte binomische Formel anzuwenden, und zwar rückwarts, komme ich später zu, wir machen Folgendes. Zunächst mal wird hier die gesamte Gleichung durch 3 geteilt, damit wir eine Normalform bekommen, das heißt, vor dem x soll nichts weiter stehen, oder, wenn du so willst, die 1, die steht ja einmal x², also nichts oder die 1. Wenn man durch 3 teilt, klar,  dann bleibt x² übrig, und wenn ich hier -27x durch 3 teile, dann steht hier 9x und 54 geteilt durch 3 ist 18. Und so ist jetzt die Gleichung in Normalform. Jetzt kommt die quadratische Ergänzung abgekürzt q.E. Ich nehme hier die Hälfte der Zahl, die vor dem x steht und quadriere sie, also die Hälfte quadriere ich, und addiziere es dazu und ziehe es gleichzeitig wieder ab. So, die Hälfte von 9, das Minuszeichen lass ich jetzt mal außer Acht, die Hälfte von 9 ist 4,5. Also werde ich hier 4,5 zum Quadrat dazu addieren. Die Hälfte dieser Zahl zum Quadrat wird addiert und die Hälfte dieser Zahl zum Quadrat wird gleichzeitig wieder abgezogen, +18 kommt da auch noch hin, = 0 passt kaum noch hin. Ja, falls du Zweifel haben solltest, hier steht gleich 0. Und jetzt kommt es, die erste Anwendung einer binomischen Formel, das ist nicht unbedingt nötig, das ist dann ganz gut, wenn du ohne Taschenrechner rechnen möchtest. Und zwar du möchtest ausrechnen 4,5², dann nimmst du dir die erste binomische Formel, du weißt, dass 4,5 = 4 + 0,5 ist, also kannst du die erste binomische Formel verwenden. 4 + 0,5², das ist 4²+2x4x0,5 + 0,5² und das ist schnell gerechnet 4² weiß ich natürlich so, das ist 16. Und 2x0,5 ist 1. Ja, 0,5 ist ja ein halb und 2-mal ein halb ist 1. Also muss ich nur noch +4 rechnen, 16 + 4 = 20, 0,5² darfst du ruhig auswendig wissen, das ist 0,25. Also kommt als Ganzes hier 20,25 raus, also darf ich das hier auch ausziehen. Damit geht also diese Gleichung über in x²-9x+4,5², ja nicht wundern, ich habe diese 4,5² ausgerechnet um das Ergebnis zu erhalten, hier brauch ich das Ergebnis nicht, wie sich gleich erst zeigen wird. Ja, 0,5 ist ja ein halb und 2-mal ein halb ist 1. Und hier brauch ich noch 4,5² und nicht das Ergebnis davon, deshalb hab ich das so geschrieben. Ja, das ist das Zwischenergebnis, wie es dann weitergeht, kommt im zweiten Teil, bis dahin, viel Spaß, tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Kleinwaechterb:
    In der Gleichung haben wir mit x²-9x die beiden Teile a²-2ab aus der binomischen Formel. Was fehlt ist noch das +b² am Ende.
    Wenn x=a und 9x=2ab, dann muss b=4,5 sein. +b² ist dann also +4,5².
    Man darf aber nicht einfach so etwas zu einer Gleichung dazu addieren, dadurch würde man die Gleichung verändern. Deshalb rechnen wir zusätzlich zu +4,5² auch gleich noch -4,5². So hat man an der Gleichung eigentlich nichts geändert, da +4,5² und -4,5² sich gegenseitig aufheben.
    Formal haben wir jetzt aber unser letztes Glied für die binomische Formel, nämlich +b²=+4,5².
    Nun können wir also x²-9x+4,5² als binomische Formel umschreiben zu (x-4,5)².
    Der Rest -4,5²+18 hinter der Klammer wird dann noch miteinander zu einer einzigen Zahl verrechnet.
    Wenn du weitere Fragen hast, komm auch gern in den Hausaufgabenchat (montags bis freitags, jeweils 17 bis 19 Uhr).
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor etwa 2 Jahren
  2. Ich bin jetzt sogar noch verwirrter als zuvor.
    Ich wollte wieder ins Thema einsteigen nach den Ferien und nun hat er mich alles in Frage stellen lassen.
    Warum addiert er die quadrierte Ausgangsform von der Zahl mit dem x und zieht es danach wieder direkt ab? Er hat das doch in den anderen Videos anders gemacht... Ich versteh es einfach nicht.

    Von Kleinwaechterb, vor etwa 2 Jahren
  3. sie erklären es trotzdem guuuuttttttttttttttttt weiter so jetzt hab ich es wirklich gut verstanden

    Von Abdosarah, vor etwa 4 Jahren
  4. aber was hat das mit satz des vieta zutuhen

    Von Abdosarah, vor etwa 4 Jahren
  5. ah sorry, er hat es ja im Video erwähnt...

    Von Deleted User 15163, vor etwa 11 Jahren
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Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Wende die quadratische Ergänzung auf die quadratische Gleichung $ 3x^{2} - 27x + 54 = 0 $ an.

    Tipps

    Bringe die Gleichung zuerst auf eine Normalform.

    Dann kannst du die quadratische Ergänzung anwenden.

    Lösung

    Deine Gleichung ist $ 3x^{2} - 27x + 54 = 0 $.

    Du musst diese zunächst auf die Normalform bringen – das heißt, dass vor dem $ x^{2} $ nichts stehen darf.

    Du teilst daher die Gleichung durch $ 3 $: $ x^{2} - 9x + 18 = 0 $.

    Nun kannst du die quadratische Ergänzung – kurz q.E. – anwenden. Dazu musst du in deiner Gleichung zunächst die Zahl vor dem $ x $ durch $ 2 $ dividieren. In deinem Fall ist es die Zahl $ 9 $. $ 9 $ durch $ 2 $ ergibt $ 4,5 $.

    Dann musst du das Ergebnis $ 4,5 $ noch quadrieren und in deine Gleichung einsetzen.

    Denk daran, dass du in einer Gleichung nicht einfach nur etwas hinzufügen kannst. Sobald du etwas hinzufügst, musst du es auch wieder abziehen. Das ist hier der Trick.

    Schau es dir hier mal an:

    $ x^{2} - 9x + 4,5^2 - 4,5^2 + 18 = 0 $.

    Du addierst und subtrahierst auf der linken Seite einfach $ 4,5^2 $. Das heißt, eigentlich hast du gar nichts verändert, da du nichts (Null) hinzugefügt hast.

    Und genau das ist der Trick der q.E. Es geht hier um das geschickte Aufteilen der beiden Zahlen, um die binomischen Formeln verwenden zu können.

  • Wende die quadratische Ergänzung auf die Gleichung $ 3x^2 - 27x + 54 = 0 $ an.

    Tipps

    Denk daran, dass immer die ganze Gleichung durch eine Zahl dividiert werden muss.

    Die Binomischen Formeln erleichtern das Rechnen ohne Taschenrechner.

    Lösung

    Die Gleichung lautet $ 3x^2 - 27x + 54 = 0 $. Zuerst musst du die Gleichung auf die Normalform bringen. Dazu dividierst du durch $ 3 $. Denk daran, dass du die ganze Gleichung durch $ 3 $ teilen musst. Die Gleichung lautet dann $ x^2 - 9x + 18 = 0 $.

    Wende dann die quadratische Ergänzung an: Indem du die Zahl vor dem $x$ durch $ 2 $ dividierst, ermittelst du die Zahl, mit der erweitert werden soll. Vor dem $x$ steht eine $9$. Da die Hälfte von $9$ $4,5$ ist, wird mit $4,5^2$ erweitert (es heißt ja quadratische Ergänzung und nicht nur Ergänzung): $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 4,5^2 + 18 = 0 $.

    Rechne dann $ 4,5^2 $ aus. Du kannst dies gut mithilfe der 1. binomischen Formel ausrechnen, indem du $ 4,5 $ als Addition schreibst: $ (4 + 0,5)^2 $. Wenn wir die 1. Binomische Formel anwenden, ergibt sich $ 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 0,5 + 0,5^2 = 20,25 $.

    Einsetzen in die Gleichung ergibt dann $ x^2 - 9x + 4,5^2 - 20,25 + 18=0 $.

  • Ermittle, wie Paul die quadratische Gleichung $ 5x^{2} - 25x + 30 = 0 $ mithilfe der quadratischen Ergänzung umformen kann.

    Tipps

    Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform!

    Was fehlt noch, damit du die quadratische Ergänzung anwenden kannst?

    Lösung

    Zuerst bringt man die Gleichung in eine Normalform, damit die quadratische Ergänzung überhaupt genutzt werden kann. Es ist nämlich wichtig, dass vor dem $ x^2 $ keine Zahl steht.

    Dazu teilt man die Gleichung $ 5x^{2} - 25x + 30 = 0 $ durch $ 5 $. Das ergibt $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $.

    Dann muss die Zahl vor dem $ x $ – also die $ 5 $ – durch $ 2 $ geteilt werden. Wir quadrieren dann die Zahl und addieren sowie subtrahieren sie: $ x^{2} - 5x + 2,5^2 - 2,5^2 + 6 = 0 $.

    Das macht man, damit man später die 2. binomische Formel anwenden kann. Man ergänzt quasi in seiner Gleichung das $ b^2 $. Allerdings darf man nicht nur etwas hinzufügen, denn in einer Gleichung muss die linke und die rechte Seite immer gleich bleiben. Daher subtrahiert man gleichzeitig die Zahl auch wieder. Es ist quasi wie ein "Nulltrick". Die gleiche Zahl addieren und wieder subtrahieren, ergibt Null. Es kommt später nur auf das geschickte Zusammenrechnen an.

    Dann rechnet man an dieser Stelle noch $ 2,5^2 $ aus. Hierzu nutzt man die 1. binomische Formel: Dazu zerlegt man $ 2,5^2 $ zum Beispiel in $ 2,5^2 = (1 + 1,5)^2 $. Das ergibt $ 6,25 $.

    Es ergibt sich $ x^{2} - 5x + 2,5^2 - 6,25 + 6 = 0 $.

  • Forme so um, dass du die binomische Formel anwenden kannst.

    Tipps

    Zunächst kannst du die allgemeine Form in die Normalform umwandeln.

    Dazu setzt du die Gleichung gleich $0$ und veränderst die Gleichung so, dass vor dem $x^2$ kein Parameter mehr steht.

    Verwende dann die quadratische Ergänzung. Eine wichtige Rolle spielt der Parameter vor dem $x$.

    Lösung

    Zuerst bringen wir die Gleichung in die Normalform, damit wir die quadratische Ergänzung überhaupt nutzen können. Es ist nämlich wichtig, dass vor dem $ x^2 $ keine Zahl mehr steht.

    Dazu teilen wir die Gleichung$ -4x^{2} + 16x + 32 = 0 $ durch $ -4 $. Das ergibt $ x^{2} - 4x - 8 = 0 $. Achte hier darauf, dass du beim Dividieren durch eine negative Zahl die Vorzeichen der Dividenden auch umdrehst.

    Dann muss die Zahl vor dem $ x $ – also die $ 4 $ – durch $ 2 $ halbiert, quadriert und einmal addiert sowie subtrahiert werden: $ x^{2} - 4x + 2^2 - 2^2 - 8 = 0 $.

    Das machen wir, damit später die 2. binomische Formel angewendet werden kann. Wir ergänzen quasi in der Gleichung das $ b^2 $. Allerdings dürfen wir nicht nur etwas hinzufügen, denn in einer Gleichung muss die linke und die rechte Seite immer gleich bleiben. Daher subtrahieren wir gleichzeitig die Zahl auch wieder. Es ist quasi wie der „Nulltrick“. Die gleiche Zahl addieren und wieder subtrahieren ergibt Null. Es kommt später nur auf das geschickte Zusammenrechnen an.

    Wir rechnen an dieser Stelle noch $ 2^2 $ aus und erhalten so die Umformung $ x^{2} - 4x + 2^2 - 4 - 8 = 0 $.

  • Wende die binomische Formel an, um $4,5^2$ ohne Taschenrechner auszurechnen.

    Tipps

    Welche zwei Zahlen kannst du addieren, um $ 4,5 $ zu erhalten?

    Welche binomische Formel kannst du anwenden?

    Lösung

    Zuerst zerlege ich $ 4,5 $ in eine Addition: $ 4 + 0,5 $.

    Da ich $ 4,5^2 $ berechnen möchte, muss ich also folgendes rechnen: $ (4 + 0,5)^2 $. Hier wende ich die erste binomische Formel an. Das ergibt $ 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 0,5 + 0,5^2 $.

    Das Ausrechnen und Zusammenfassen ergibt dann $ 20,25 $.

  • Löse die Gleichung.

    Tipps

    Die 1. binomische Formel ist $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

    Lösung

    Deine Gleichung zu Beginn lautet $ (x + 1,5)^2 - 7,25 = 0 $. Zuerst musst du die 1. binomische Formel anwenden, da gilt, dass in Gleichungen zuerst immer die Klammern aufgelöst werden müssen:

    $ x^2 + 2 \cdot 1,5 \cdot x + 1,5^2 - 7,25 = 0 $.

    Dann musst du in deiner Gleichung zum einen $ 2 \cdot 1,5 \cdot x $ und zum anderen $ 1,5^2 $ ausrechnen, da du ansonsten nicht zusammenfassen kannst.

    Nutze die 1. binomische Fomel: $ (1 + 0,5)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 0,5 + 0,5^2 = 2,25 $.

    Insgesamt erhältst du dann $ x^2 + 3x + 2,25 - 7,25 $. Fasse dann noch $ 2,25 $ und $ - 7,25 $ zusammen, damit die Gleichung auch übersichtlich wird.

    Das ergibt $ x^2 + 3x - 5 = 0 $. Wenn du die Schritte von hinten nach vorne noch einmal durchschaust, bemerkst du, dass du die quadratische Ergänzung quasi rückwärts angewendet hast.

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