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Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1)

Quadratische Gleichungen können auf unterschiedliche Weise gelöst werden. Vielleicht kennst du bereits folgende Methoden: Die p-q-Formel, die Mitternachtsformel oder das Ausklammern ( Distribuitivgesetz ). Bei bestimmten Termen kann man eine quadratische Gleichung auch durch Faktorisieren lösen. Dazu solltest du die binomischen Formeln kennen. Denn diese werden bei folgender Methode zur Anwendung gebracht. Inwiefern zeige ich dir nun bei diesem Aufgabenbeispiel: x² - 4 = 0. Wenn du genau hinschaust siehst du vielleicht die dritte binomische Formel ( a + b ) • ( a – b ) = a² - b².

Transkript Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1)

Hallo! Es gibt quadratische Gleichungen, die sollte man durch Faktorisieren lösen oder, naja, durch eine einfache Umformung kann man das auch machen, und das sind Gleichungen, die zum Beispiel so aussehen: x²-4=0. Also hier solltest du nicht auf die pq-Formel kommen oder die quadratische Ergänzung, wie man so sagt, das wäre mit Kanonen auf Spatzen schießen. Etwas makaber, der Vergleich, aber was ist hier zu tun? Du könntest jetzt auf jeden Fall, indem du +4 rechnest, die 4 auf die andere Seite bringen und dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, dann bist du auch schnell fertig, aber diese Gleichung schreit quasi nach der 3. binomischen Formel. Um den Schrei noch etwas lauter zu gestalten, möchte ich die 4 ersetzen durch 2², und falls doch das noch nicht reicht und du die 3. binomische Formel vergessen haben solltest, so sieht die eine Seite der 3. binomischen Formel aus. Wenn du hier für a x einsetzt und für b 2 einsetzt, erhältst du genau den Term, der hier steht, und deshalb kannst du dann zu anderen Seite der binomischen Formel übergehen und das, was hier steht, eben schreiben als (x+2)×(x-2). Das soll gleich 0 sein. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Dieser Faktor wird 0, wenn x=-2 ist, dieser Faktor wird 0, wenn x=+2 ist, und damit ergibt sich x ist gleich die eine Lösung =-2 und die andere Lösung ist gleich 2. Ja, so sieht das aus, und das funktioniert auch mit anderen Zahlen, nicht nur mit der 4, das möcht ich auch eben kurz zeigen, auch deshalb, weil das Faktorisieren von Summen in vielen anderen Bereichen auch immer ganz wichtig ist oder ganz praktisch ist. Wir haben also die Gleichung hier x²-3. Kann man die in die faktorisierte Form bringen? Vielleicht mit der 3. binomischen Formel? Möglicherweise ja, das geht, und zwar auch hier, um das noch mal plakativer zu machen, ich kann die 3 ersetzen durch (\sqrt3)². Die 3 ist ja gleich ihrer Wurzel zum Quadrat. War das jetzt richtig im Deutschen? Egal. Deshalb kannst du auch hier wieder diese binomische Formel erkennen, und zwar wenn du für a x einsetzt und für b (\sqrt3) einsetzt, und die beiden Lösungen sind dann direkt (\sqrt3) und -(\sqrt3). Und einen klitzekleinen Fall möcht ich noch zeigen, bei dem das Ganze nämlich nicht funktioniert, und das ist so. Wir haben x²+4=0. Da könnte man sagen "Ja, ich hab das bemerkt, 4 ist eine Quadratzahl, nämlich 2², x² natürlich auch, nämlich das Quadrat von x", aber der entscheidende Unterschied ist: Hier steht nicht dieses Minuszeichen, und das wäre nötig, um die 3. binomische Formel anzuwenden. Damit klappt das also nicht und da wir uns im reellen Bereich befinden, wir befinden uns innerhalb der Menge der reellen Zahlen, zumindest wollen wir innerhalb dieser Menge Gleichungen lösen, dann darfst du auch gleich bemerken: x²+4 wird niemals 0, weil nämlich x² immer größer oder gleich 0 ist. Wenn man dann noch was dazuaddiert, was Positives, dann wird das überhaupt nicht 0, und deshalb hat diese Gleichung im Reellen auch überhaupt keine Lösung, und es wäre eine Überraschung, wenn wir hier die 3. binomische Formel anwenden könnten und zu vernünftigen Ergebnissen kämen. Zumindest innerhalb der reellen Zahlen und folgerichtigerweise passt das dann auch nicht. Das war es also zum Faktorisieren, viel Spaß damit, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Hallo Seb H.,
    die -3 ist nur ein weiteres Beispiel. Erst wird die Gleichung x²-4=0 untersucht und dann nochmal die Gleichung x²-3=0.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  2. Wieso -3?

    Von Seb H., vor mehr als einem Jahr
  3. gut erklärt :D

    Von Sboenchendorf, vor etwa 4 Jahren
  4. vielen Dank :)

    Von Adrian Sutter, vor mehr als 4 Jahren

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichung so dar, dass der Term auf der linken Seite faktorisiert ist.

    Tipps

    Faktorisieren bedeutet, einen Term als Produkt zu schreiben.

    Oft können hierfür die binomischen Formeln verwendet werden:

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

    Bei uns steht die Differenz zweier Quadrate. Wie kann man nun die dritte binomische Formel anwenden?

    Lösung

    Es soll die Gleichung $x^2-4=0$ gelöst werden.

    Diese Gleichung kann sicher auch mit der p-q-Formel gelöst werden. Dies ist jedoch für diese Gleichung zu aufwändig.

    Man kann hier erkennen, dass auf der linken Seite eine Seite der dritten binomischen Formel steht. Hierfür kann man noch umformen zu

    $x^2-2^2=0$.

    Nun kann die binomische Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ mit $a=x$ und $b=2$ verwendet werden zu

    $(x+2)\cdot (x-2)=0$.

  • Gib die Lösungen der Gleichung an.

    Tipps

    Wenn du die Nullstellen der einzelnen Terme nicht siehst, kannst du auch jeweils eine Gleichung lösen:

    $x+4=0$ führt durch Subtraktion von $4$ zu $x=-4$.

    Faktorisieren bedeutet, dass ein Term als ein Produkt geschrieben wird.

    Es gilt, dass die Multiplikation einer Zahl mit $0$ oder umgekehrt die Multiplikation von $0$ mit einer Zahl wieder $0$ ergibt.

    Lösung

    Die Gleichung $x^2-4=0$ kann umgeformt werden zu

    $(x+2)\cdot (x-2)=0$.

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Das bedeutet:

    • Entweder ist $x+2=0$, also $x=-2$,
    • oder $x-2=0$, also $x=2$.

  • Erkläre, wie durch Faktorisieren die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden.

    Tipps

    Wenn in einer Differenz sowohl der Minuend als auch der Subtrahend einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser ausgeklammert werden.

    Schreibe den Minuenden als Quadrat einer Zahl.

    Du kannst die dritte binomische Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ verwenden.

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Lösung

    Es soll die Gleichung $108-3x^2=0$ gelöst werden.

    Sowohl $108$ als auch $3x^2$ sind durch $3$ teilbar:

    $36-x^2=0$.

    Nun kann $36$ geschrieben werden als $6^2$:

    $6^2-x^2=0$.

    Durch Verwendung der dritten binomischen Formel erhält man

    $(6+x)\cdot (6-x)=0$.

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, gilt:

    • entweder $6+x=0$; dies ist äquivalent zu $x=-6$.
    • oder $6-x=0$; dies ist äquivalent zu $x=6$.

  • Ordne der jeweiligen Gleichung die Gleichung in faktorisierter Form zu.

    Tipps

    Du kannst jeweils die dritte binomische Formel verwenden:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Gegebenenfalls musst du, bevor du die dritte binomische Formel verwendest, ausklammern.

    Schreibe den Subtrahenden als Quadrat. Zum Beispiel:

    $x^2-49=x^2-7^2=(x+7)\cdot(x-7)$

    Lösung

    Ganz allgemein lautet eine quadratische Gleichung

    $ax^2+bx+c=0$.

    Durch Division durch $a$ erhält man eine Gleichung in der Form

    $x^2+px+q=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform, welche mit der p-q-Formel gelöst werden kann oder durch quadratische Ergänzung.

    Es gibt Beispiele, in welchen es sinnvoll ist, den quadratischen Term zu faktorisieren, das bedeutet, als Produkt zu schreiben. Dann kann man die Argumentation verwenden, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    • $x^2-9=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2-3^2=0$. Dies kann mit der dritten binomischen Formel umgewandelt werden zu $(x+3)\cdot (x-3)=0$.
    • $2x^2-32=0$ $\Leftrightarrow$ $2(x^2-4^2)=0$. Dies kann mit der dritten binomischen Formel umgewandelt werden zu $2(x+4)\cdot (x-4)=0$.
    • $x^2-25=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2-5^2=0$. Dies kann mit der dritten binomischen Formel umgewandelt werden zu $(x+5)\cdot (x-5)=0$.
    • $3x^2-15=0$ $\Leftrightarrow$ $3(x^2-\sqrt5^2)=0$. Dies kann mit der dritten binomischen Formel umgewandelt werden zu $3(x+\sqrt 5)\cdot (x-\sqrt 5)=0$.

  • Beschreibe, wie bei quadratischen Gleichungen faktorisiert werden kann.

    Tipps

    Im Anschluss an die Faktorisierung nutzt man die Eigenschaft, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Es ist $3=\sqrt3 ^2$.

    Auf der rechten Seite der dritten binomischen Formel steht $a^2-b^2$, d.h. die Differenz zweier Quadrate.

    Lösung

    Auch die Gleichung $x^2-3=0$ kann in die faktorisierte Form gebracht werden:

    $x^2-\sqrt3 ^2=0$.

    Nun wird die dritte binomische Formel angewendet:

    $(x+\sqrt 3)\cdot (x-\sqrt3)=0$.

    Die Lösungen sind dann $x=-\sqrt3$ oder $x=\sqrt3$.

    Kann die dritte binomische Formel auch bei $x^2+4=0$ angewendet werden?

    Nein! Denn die dritte binomische Formel ist nur anwendbar, wenn die Differenz von Quadraten betrachtet wird, und nicht die Summe.

    Man könnte auch so argumentieren: $x^2+4\ge 0+4=4$. Das bedeutet insbesondere, dass $x^2+4$ nie $0$ werden kann.

    Die Gleichung $x^2+4=0$ besitzt somit keine Lösung.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung durch Faktorisieren.

    Tipps

    Zum Faktorisieren und in diesem Beispiel auch zum Auflösen der Klammern kannst du die binomischen Formeln verwenden:

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Löse zunächst die Klammern auf und bringe alle Terme auf die linke Seite, sodass zum Schluss rechts die $0$ steht.

    Die Gleichung besitzt zwei ganzzahlige Lösungen.

    Lösung

    Die quadratische Gleichung

    $(x-2)^2-22=(1-x)\cdot(1+x)-4x-1$

    sieht etwas anders aus als zum Beispiel $x^2-4=0$.

    Nun heißt es, nicht verzagen und los geht's:

    • Auf beiden Seiten werden binomische Formeln verwendet, links die zweite und rechts die dritte: $x^2-4x+4-22=1-x^2-4x-1$.
    • Nun werden auf beiden Seiten Terme vereinfacht: $x^2-4x-18=-x^2-4x$.
    • Durch Addition von $x^2$ sowie $4x$ erhält man $2x^2-18=0$.
    • Zuletzt wird durch $2$ dividiert zu $x^2-9=0$.
    Diese Gleichung kann mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisiert werden:

    $(x+3)\cdot(x-3)=0$.

    Die Lösungen können jetzt angegeben werden: Entweder ist $x=-3$ oder $x=3$.

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