In deinem Browser ist JavaScript deaktiviert.

Damit du unsere Website in vollem Umfang nutzen kannst,
aktiviere JavaScript in deinem Browser.

Mathematik
Natürliche Zahlen – Grundrechenarten, Rechenregeln und Teilbarkeit
Potenzen
Quadrat- und Kubikzahlen

Quadrat- und Kubikzahlen

Eine Quadratzahl ist das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert. Dagegen entstehen Kubikzahlen, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert. Die Texte erklären die Definitionen, Eigenschaften und geben Beispiele. Interessiert? All das und noch mehr findest du im folgenden Text!

Videos
anschauen

Übungen
starten

Arbeitsblätter
anzeigen

Lehrer*innen
fragen

Inhaltsverzeichnis zum Thema Quadrat- und Kubikzahlen

Quadratzahlen und Kubikzahlen einfach erklärt
Was sind Quadratzahlen?
- Quadratzahlen – Eigenschaften
Was sind Kubikzahlen?
Ausblick – das lernst du nach Quadrat- und Kubikzahlen
Zusammenfassung – Quadratzahlen und Kubikzahlen
Häufig gestellte Fragen zu dem Thema Quadratzahlen und Kubikzahlen

Video abspielen

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?

5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

92%

der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

93%

der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

94%

der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.

Zazie die Waschbärin mit Notizblock und Stift in der Hand

Noch nicht angemeldet? 30 Tage kostenlos testen

Mehr ähnliche Videos

Grundlagen zum Thema

Weitere Videos im Thema Potenzen

Potenzen

Potenzen Definition

Quadrat- und Kubikzahlen

Potenzen – Produkte gleicher Faktoren

Quadratzahlen und Kubikzahlen einfach erklärt

In diesem Text erfährst du alles, was du zu Quadrat- und Kubikzahlen wissen musst.

Was sind Quadratzahlen?

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch das Quadrieren einer ganzen Zahl, sprich die Multiplikation der Zahl mit sich selbst, entsteht. Das wird an folgendem Beispiel deutlich:

$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$

Wenn wir $5$ quadrieren, also die $5$ mit sich selbst multiplizieren, ist das Ergebnis $25$. Die $25$ ist somit eine Quadratzahl.

Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl $n$ quadrieren – das heißt mit sich selbst multiplizieren.

$n \cdot n = n^{2}$

Eine solche Quadratzahl entspricht auch immer dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der natürlichen Zahl $n$ als Seitenlänge. Um den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $12$ zu bestimmen, müssen wir $12$ zum Quadrat berechnen.

$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$

Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal ein Schachbrett gesehen oder darauf gespielt. Es besteht aus $64$ kleinen Quadraten, da jedes Quadrat eine Seitenlänge von $8$ Feldern hat $(8 \cdot 8 = 64)$. Beim Schachspiel begegnest du also direkt einer Quadratzahl. So siehst du, dass Quadrat- und Kubikzahlen nicht nur in der Schule wichtig sind, sondern auch in deinen Hobbys und Spielen.

Die ersten zehn Quadratzahlen sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.

Zahl $n$	Quadratzahl $n^2$
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$4$	$16$
$5$	$25$
$6$	$36$
$7$	$49$
$8$	$64$
$9$	$81$
$10$	$100$

Quadratzahlen – Eigenschaften

Quadratzahlen haben ein paar besondere Eigenschaften:

Quadratzahlen von geraden Zahlen sind immer gerade.
Quadratzahlen von ungeraden Zahlen sind immer ungerade.
Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.

Schauen wir uns den letzten Fakt genauer an. Rechnest du $1+3$ ergibt das $4$. Das ist eine Quadratzahl, denn $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$. Auch $1+3+5+7$ ergibt eine Quadratzahl. Das Ergebnis ist $16$, die Quadratzahl von $4$.
Wichtig ist, dass du immer mit der $1$ anfängst und bei der Addition keine ungeraden Zahlen auslässt.

Vielleicht hilft dir diese letzte Eigenschaft beim Lernen oder Erkennen von Quadratzahlen. Jetzt wissen wir, wie wir Quadratzahlen berechnen und können uns die Kubikzahlen genauer anschauen.

Was sind Kubikzahlen?

Schauen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge von drei Steinen an. Für eine Würfelseite ergibt sich ein Quadrat mit einer Seitenfläche von $3 \cdot 3$ Steinen. Der Würfel besteht insgesamt aus drei solcher Quadrate.

Würfel_Kubikzahlen

Um die Gesamtanzahl an Steinen zu bestimmen, müssen wir also ein weiteres Mal mit drei multiplizieren. Wir rechnen daher $3 \cdot 3 \cdot 3$. In anderen Worten: drei hoch drei. Das können wir schreiben als:

$3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$

Das ergibt $27$. Die $27$ ist somit eine Kubikzahl.

Kubikzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multiplizieren.

$n \cdot n \cdot n = n^3$

Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$. So können wir auch ganz leicht die Gesamtzahl an Steinen von einem großen Würfel mit einer Kantenlänge von $5$ kleinen Würfeln herausfinden.

$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

Der große Würfel besteht also aus $125$ kleinen Würfeln.

Wusstest du schon?
Die Zahl $64$ hat besondere Bedeutung, weil sie sowohl eine Quadrat- als auch eine Kubikzahl ist:

$8\cdot 8 = 64$ und $4\cdot 4 \cdot 4 = 64$

Das macht sie zu einem wahren Superstar in der Welt der Zahlen!

Ausblick – das lernst du nach Quadrat- und Kubikzahlen

Macht dich bereit für Potenzen und Potenzgesetze, um deine mathematischen Fertigkeiten zu erweitern. Du kannst auch die Null als Exponenten erforschen und so weiter dein Wissen vertiefen und ausbauen.

Zusammenfassung – Quadratzahlen und Kubikzahlen

Quadratzahlen

Quadratzahlen ergeben sich, wenn man eine beliebige Zahl $n$ mit sich selbst multipliziert.
$n^{2} = n \cdot n$
Man spricht von „$n$ zum Quadrat“ oder „$n$ hoch zwei“.
Eine Quadratzahl entspricht immer dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $n$.

Quadratzahlen Zusammenfassung

Kubikzahlen

Kubikzahlen ergeben sich, wenn man eine natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multipliziert.
$n^{3} = n \cdot n \cdot n$
Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$.

Kubikzahlen Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zu dem Thema Quadratzahlen und Kubikzahlen

Was ist eine Quadratzahl?

Was ist eine Kubikzahl?

Was ist der Unterschied zwischen Quadrat- und Kubikzahlen?

Wie berechnet man Quadratzahlen?

Wie berechnet man Kubikzahlen?

Wie lauten die Quadratzahlen?

Sind alle Quadratzahlen gerade?

Was sind keine Quadratzahlen?

Was sind keine Kubikzahlen?

Welche Eigenschaften haben Quadratzahlen?

Welche Eigenschaften haben Kubikzahlen?

So ein Zauberwürfel ist schon was Feines. Den klassischen mit einer Kantenlänge von drei Steinen kann Mike mittlerweile mit links! Jetzt sucht er eine neue Herausforderung und hat sich einen Würfel mit einer Kantenlänge von fünf Steinen geholt. Gar nicht so einfach zu lösen. Während Mike so rumprobiert, fragt er sich, wie viele Steine der Würfel überhaupt insgesamt hat. Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir unser Wissen über die „Quadrat- und Kubikzahlen“. Zunächst schauen wir uns eine Seite des Würfels an. Pro Reihe sind das fünf Steine. Und auch in jeder Spalte sind fünf. Es handelt sich eindeutig um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von fünf Steinen. Um die Anzahl der Steine in diesem Quadrat zu ermitteln, müssen wir die fünf zum Quadrat nehmen, sprich einmal mit sich selbst multiplizieren. Das Ergebnis ist fünfundzwanzig. Die Fünfundzwanzig ist somit eine Quadratzahl. Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl quadrieren, das heißt mit sich selbst multiplizieren. Eine solche Zahl entspricht dann immer auch dem Flächeninhalt eines Quadrates mit einer natürlichen Zahl n als Seitenlänge. Um zum Beispiel den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge zwölf zu bestimmen, müssen wir zwölf zum Quadrat berechnen. Das ergibt hundertvierundvierzig. In einer Multiplikationstabelle finden wir die Quadratzahlen genau auf der Diagonalen von oben links nach unten rechts wieder: Die ersten zehn Quadratzahlen können wir hier einfach ablesen. Quadratzahlen haben einige coole mathematische Eigenschaften. So ist zum Beispiel die Quadratzahl einer gerade Zahl immer gerade und die einer ungeraden Zahl immer ungerade. Quadratzahlen sind außerdem die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen. Beginnen wir mit der eins und addieren schrittweise die nächstgrößere ungerade Zahl hinzu, so erhalten wir immer eine Quadratzahl. Das glaubst du nicht? Eins plus drei ist vier, das ist eine Quadratzahl. Addieren wir nun fünf hinzu, erhalten wir neun, also „drei zum Quadrat“. Und so weiter. Probiere es doch mal aus und führe das Muster weiter fort. So weit so gut, jetzt wissen wir, wie wir Quadratzahlen berechnen können. Doch wir wollten ja die Gesamtanzahl an Steinen im ganzen Würfel bestimmen. Dafür brauchen wir die Kubikzahlen. Schauen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge von drei Steinen an. Für eine Würfelseite ergibt sich so ein Quadrat mit drei mal drei Steinen. Der Würfel besteht insgesamt aus drei solcher Quadrate. Um die Gesamtanzahl von Steinen zu bestimmen, müssen wir also ein weiteres Mal mit drei multiplizieren. Wir rechnen daher insgesamt „drei mal drei mal drei“. In anderen Worten „drei hoch drei“. Das ergibt siebenundzwanzig. Wenn wir eine natürliche Zahl n zweimal mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir eine Kubikzahl. Eine Kubikzahl gibt das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge n an. Das Wort Kubik kommt übrigens aus dem Lateinischen - cubus - und bedeutet genau das: Würfel. So können wir auch ganz leicht die Gesamtzahl an Steinen von Mikes Zauberwürfel mit fünf Steinen pro Reihe herausfinden. Dafür müssen wir nur „fünf hoch drei“ berechnen, sprich die fünf zwei mal mit sich selbst multiplizieren. Fünf mal fünf sind fünfundzwanzig und fünf mal fünfundzwanzig sind hundertfünfundzwanzig. Mikes Zauberwürfel besteht also insgesamt aus hundertfünfundzwanzig Steinen. Das ist ja schon eine ganze Menge. Kein Wunder, dass Mike den Würfel nicht so schnell gelöst kriegt. Wir fassen derweil das Wesentliche noch einmal kurz zusammen: Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl n mit sich selbst multiplizieren. Wir sprechen von „n zum Quadrat“ oder auch „n hoch zwei“. Eine solche Zahl entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge n. Eine Kubikzahl, ist eine Zahl, die entsteht, wenn wir eine natürliche Zahl n Zweimal mit sich selbst multiplizieren. Wir erhalten „n hoch drei“. Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit Kantenlänge n. Und wie schlägt sich Mike mit seinem hundertfünfundzwanzig-steinigen Zauberwürfel? Oh, der hat schon wieder ein neues Spielzeug. Na dann, viel Erfolg!

Bewertung

Ø 3.8 / 97 Bewertungen

Du musst eingeloggt sein, um bewerten zu können.

Wow, Danke!
Gib uns doch auch deine Bewertung bei Google! Wir freuen uns!

Die Autor*innen

Team Digital

Quadrat- und Kubikzahlen

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Quadrat- und Kubikzahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadrat- und Kubikzahlen kannst du es wiederholen und üben.

Gib an, ob es sich um eine Quadratzahl, eine Kubikzahl oder keines von beiden handelt.
Tipps

Eine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird.
Eine Kubikzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird.

Beispiel:
$8$ ist eine Kubikzahl, da $2^3=8$ gilt.

Lösung
Quadratzahlen
- $25$ ist eine Quadratzahl, da $5^2=5\cdot5=25$.
- $16$ ist eine Quadratzahl, da $4^2=4 \cdot 4=16$.
- $81$ ist eine Quadratzahl, da $9^2=9 \cdot 9=81$.
Kubikzahlen
- $125$ ist eine Kubikzahl, da $5^3=5 \cdot 5 \cdot 5=125$.
- $27$ ist eine Kubikzahl, da $3^3=3 \cdot 3 \cdot 3=27$.
keine Quadrat- oder Kubikzahlen:
- $3$
- $5$
Gib an, ob die Aussagen richtig sind.
Tipps

Sieh dir folgendes Beispiel an:
$5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$

Der Begriff „Kubikzahl“ kommt von dem lateinischen Wort „Kubus“, das Würfel bedeutet.

Lösung
Wahre Aussagen:
- Ist eine Zahl gerade, so ist ihre Quadratzahl auch gerade.
Diese Aussage ist richtig, was wir an einem Beispiel veranschaulichen können: Die Zahl $4$ ist gerade. Ihre Quadratzahl ist $4^2=16$, also auch eine gerade Zahl.
- Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
Dies ist richtig, was wir an einem Beispiel verdeutlichen können: Addieren wir die ersten beiden ungeraden Zahlen $1+3$, so ergibt sich die Quadratzahl $2^2=4$.
- Wird eine ganze Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert, so ergibt sich eine Kubikzahl.
Diese Aussage ist richtig. Beispielsweise ist $125$ eine Kubikzahl, wir können auch schreiben: $125=5^3=5\cdot 5\cdot 5$.
Falsche Aussagen:
- Die Quadratzahl $5^2$ entspricht dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $5$.
Diese Aussage ist falsch, denn die Quadratzahl $5^2$ entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $5$. Dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $5$ entspricht hingegen die Kubikzahl $5^3$.
- Die Quadratzahl einer ungeraden Zahl ist gerade.
Diese Aussage ist falsch. An dem Beispiel $3^2=9$ erkennen wir, dass die Quadratzahl einer ungeraden Zahl ungerade ist.
Entscheide jeweils, ob es sich um eine Quadratzahl handelt.
Tipps

Eine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Beispielsweise ist $16$ eine Quadratzahl, da $4^2=16$ gilt.

Lösung
Folgende Zahlen sind Quadratzahlen:
- $1=1^2$
- $81=9^2$
- $121=11^2$
- $289=17^2$
- $441 = 21^2$
Wir können feststellen, dass eine Zahl keine Quadratzahl ist, indem wir sie mit der nächstkleineren und nächstgrößeren Quadratzahl vergleichen:
- $5$ ist keine Quadratzahl, da $2^2=4$ und $3^2=9$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $76$ ist keine Quadratzahl, da $8^2=64$ und $9^2=81$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $239$ ist keine Quadratzahl, da $15^2=225$ und $16^2=256$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $11$ ist keine Quadratzahl, da $3^2=9$ und $4^2=16$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
Charakterisiere die gegebenen Quadrate und Würfel.
Tipps

Um das Volumen eines Würfels zu berechnen, wird die Kantenlänge zweimal mit sich selbst multipliziert. Es ergibt sich eine Kubikzahl.

Lösung
- Ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ hat das Volumen $4^3=4 \cdot 4 \cdot 4= 64$.
- Ein Quadrat mit der Kantenlänge $6$ hat einen Flächeninhalt von $6^2=6 \cdot 6=36$.
- Ein Würfel mit der Kantenlänge $2$ hat das Volumen $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2= 8$.
- Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $9$ hat eine Seitenlänge von $3$, da $3^2=3\cdot3=9$. Der Würfel mit der Grundfläche $9$ hat also eine Kantenlänge von $3$ und das Volumen von $3^3=3\cdot3\cdot3=27$.
Berechne die Quadratzahlen.

Tipps

$3^3=3\cdot 3 =9$

Lösung

Eine Quadratzahl erhält man, indem man eine natürliche Zahl quadriert, also einmal mit sich selbst multipliziert. Wir können also die Quadratzahlen durch Multiplikation der Zahlen mit sich selbst berechnen:
$2^2=2 \cdot 2=4$
$4^2=4 \cdot 4=16$
$5^2=5 \cdot 5=25$
$8^2=8 \cdot 8=64$
$10^2=10 \cdot 10=100$
$12^2=12 \cdot 12=144$
Vervollständige die Überlegung zur Bestimmung der nächsten Quadratzahl.

Tipps

Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.

Lösung

Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
Beginnen wir mit den ersten beiden ungeraden Zahlen, so ergibt sich:
$1+3=4=2^2$
Addieren wir die nächste ungerade Zahl, also $5$, so ergibt sich:
$1+3+5=4+5=9=3^2$
Addieren wir die nächste ungerade Zahl, so ergibt sich die nächstgrößere Quadratzahl, also $16$:
$1+3+5+7=16=4^2$
Das Ergebnis der Addition ist also immer eine Quadratzahl, wobei die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, der Anzahl der Summanden entspricht:
$1+3+5+7+9+11+13=49=7^2$
Hier werden beispielsweise die ersten sieben ungeraden Zahlen addiert, die Anzahl der Summanden ist also $7$, das Ergebnis ist daher $7^2$.
Werden die ersten zehn ungeraden Zahlen summiert, so ist das Ergebnis $10^2$:
$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100=10^2$

30 Tage kostenlos testen

Mit Spaß Noten verbessern

und vollen Zugriff erhalten auf

9.317

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.199

Lernvideos

38.699

Übungen

33.508

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Beliebteste Themen in Mathematik