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Punkt-vor-Strich-Regel und Klammern-zuerst-Regel 04:52 min

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Transkript Punkt-vor-Strich-Regel und Klammern-zuerst-Regel

Hallo. Beim Rechnen gibt es Vorrangregeln. Das ist so ähnlich wie im Straßenverkehr, da heißen die aber meistens Vorfahrtsregeln. Diese Vorrangregeln sagen uns, in welcher Reihenfolge wir solche Rechnungen durchführen können. Und wir schauen uns erst einmal die Regeln an und dann machen wir ein paar Beispiele dazu. Es gibt die Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" und es gibt die Regel "Klammern werden zuerst ausgerechnet". So, wir wollen also was rechnen und in unserem ersten Beispiel rechnen wir einfach von links nach rechts. Also so wie wir schreiben. Zumindest die meisten von uns. Wir haben 6×4+2. Und da fangen wir einfach links an: 6×4 = 24. +2 rechnen wir danach und das ist 24 + 2 = 26. So rechnet man auch, wenn hier statt des Pluszeichens ein Minuszeichen steht. Dann rechnen wir 6×4 = 24. 24 - 2 = 22. Jetzt könnte es aber sein, dass wir das Ergebnis von 4×2 zu 6 addieren möchten. Wie wir das aufschreiben, siehst Du jetzt. Dann können wir schreiben: 6 + 4×2, denn es gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Das heißt, wir rechnen erst diese Multiplikation aus: 4×2 = 8 und addieren danach das Ergebnis zu 6 und dieses Ergebnis ist 6 + 8 = 14. Das geht übrigens auch, wenn wir folgendes schreiben: 6 + 4/2. Ja, das ist ein Bruchstrich. Zwar ist das ein Strich, die Division gilt aber als Punktrechnung und deshalb rechnen wir auch zuerst diese Division aus: 4/2 = 2. Und danach rechnen wir aus 6 + 2 = 8. Was passiert, wenn wir zuerst 6 + 4 rechnen möchten und DANACH mit 2 multiplizieren möchten? Dann kommen Klammern ins Spiel. Wir können schreiben: (6 + 4)×2, denn vor der Punkt-vor-Strich-Regel kommt noch die Klammerregel. Das heißt also, Klammern werden zuerst ausgerechnet. Deshalb rechnen wir hier 6 + 4 = 10. Das Ergebnis multiplizieren wir mit 2, 10×2 = 20. Dann erhalten wir 20. Das geht auch, wenn wir dividieren: Wir können also schreiben (6 + 4):2. Dann rechnen wir auch zunächst die Klammer aus, das ist 10. 10:2 = 5, und wir erhalten 5. Jetzt könnte es aber auch sein, dass wir 6 mit der Summe von 2 und 4 multiplizieren möchten. Und dann brauchen wir die Klammer hinten: Wir können schreiben 6×(4 + 2), denn die Klammer wird zuerst ausgerechnet. Also rechnen wir 6×6 und das ist 36. 6×6 = 36. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben die Punkt-vor-Strich-Regel gesehen und die Klammer-zuerst-Regel. Und jetzt können wir uns noch fragen, wozu brauchen wir das eigentlich? Naja, das ist so ähnlich wie im Straßenverkehr. Da gibt es ja die rechts-vor-links-Regel. Und die braucht man deshalb, damit man nicht an jeder Kreuzung Schilder aufstellen muss, die einem sagen, wer Vorfahrt hat. Man spart also Schilder. Und in der Mathematik gibt es diese Regel, damit man Zeichen spart. Man kann auf diese Weise eine Rechnung viel effektiver aufschreiben und auch viel übersichtlicher aufschreiben. Das ist das ganze Geheimnis dahinter. Viel Spaß damit, Tschüss.

26 Kommentare
  1. Danke, war hilfreich

    Von Muhammedaliakil, vor 3 Monaten
  2. Ich verstehe alles was er erklärt. Danke!

    Von Ozkanfatih, vor 6 Monaten
  3. sehr gut danke

    Von Sabine Schmidt 2, vor 7 Monaten
  4. Cooles video habe es dann sofort kapiert

    Von Maria Hagen, vor 9 Monaten
  5. Danke dass hat mir sehr geholfen

    Von Alamirabo07, vor etwa einem Jahr
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„Punkt vor Strich“ und „Klammer zuerst“ (1 Videos)

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Punkt-vor-Strich-Regel und Klammern-zuerst-Regel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkt-vor-Strich-Regel und Klammern-zuerst-Regel kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Reihenfolge wieder, in der die Grundrechenarten ausgeführt werden.

    Tipps

    Merke dir die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“!

    Die Rechenzeichen für die Grundrechenarten sehen folgendermaßen aus:

    • Addition: $+$
    • Division: $:$
    • Subtraktion: $-$
    • Multiplikation: $\cdot$
    Lösung

    Wenn du eine Rechnung durchführst, rechnest du immer als Allererstes das aus, was in Klammern steht. Diese sind also gewissermaßen wie ein Vorfahrtschild im Straßenverkehr, denn sie sind immer zuerst dran.

    Ist dieser erste Schritt erledigt, folgen als Nächstes die Punktrechenarten. Dazu zählen die Multiplikation und die Division.

    Wenn du auch damit fertig bist, dann bleiben als Letztes noch die Strichrechenarten, mit denen du dich beschäftigen musst. Als solche bezeichnen wir die Addition und die Subtraktion.

  • Bestimme die richtigen Ergebnisse.

    Tipps

    Klammern werden stets zuerst ausgerechnet.

    Es gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung.

    Lösung

    Die drei wichtigen Regeln, die wir hier anwenden, lauten folgendermaßen:

    • Klammern werden zuerst ausgerechnet
    • Punktrechnung vor Strichrechnung
    • Von links nach rechts rechnen
    Wenn wir diese Regeln, die hier nach ihrer Priorität geordnet sind, beachten, erhalten wir folgende Ergebnisse:

    Erster Term: $6\cdot4+2$

    Hier greift die „Punkt vor Strich“-Regel. Zuerst rechnen wir also das Produkt am Anfang aus und addieren danach noch $2$ dazu. Es ergibt sich:

    $\begin{align} &6\cdot4+2\\ =\,&24+2\\ =\,&26 \end{align}$

    Zweiter Term: $6\cdot4-2$

    Hier rechnen wir genau wie oben zuerst das Produkt aus. Diesmal subtrahieren wir aber am Ende $2$, anstatt zu addieren:

    $\begin{align} &6\cdot4-2\\ =\,&24-2\\ =\,&22 \end{align}$

    Dritter Term: $6+4\cdot2$

    Diesmal steht das Produkt im hinteren Teil des Terms. Wegen der „Punkt vor Strich“-Regel rechnen wir es aber trotzdem zuerst aus und addieren es dann zu $6$ hinzu:

    $\begin{align} &6+4\cdot2\\ =\,&6+8\\ =\,&14 \end{align}$

    Vierter Term: $6+\dfrac{4}{2}$

    Diesmal steht im hinteren Teil des Terms ein Bruch. Dieser zählt als Division zu den Punktrechenarten und wird deshalb zuerst ausgerechnet:

    $\begin{align} &6+\dfrac{4}{2}\\ =\,&6+2\\ =\,&8 \end{align}$

    Fünfter Term: $(6+4)\cdot2$

    Jetzt kommen Klammern ins Spiel. Die Addition wird jetzt vor der Multiplikation ausgeführt, weil sie in Klammern steht:

    $\begin{align} &(6+4)\cdot2\\ =\,&10\cdot2\\ =\,&20 \end{align}$

    Sechster Term: $(6+4):2$

    Auch hier wird die Addition in den Klammern zuerst ausgeführt und erst danach durch $2$ dividiert:

    $\begin{align} &(6+4):2\\ =\,&10:2\\ =\,&5 \end{align}$

  • Prüfe, ob die Klammern in den Rechnungen überflüssig sind.

    Tipps

    Überprüfe die Rechnungen jeweils mit und ohne Klammern und sieh nach, ob du das gleiche Ergebnis erhältst.

    Im Fall ohne Klammern werden die übrigen grundlegenden Vorrangregeln angewandt.

    Ein Minuszeichen vor einer Klammer „dreht die Vorzeichen um“.

    Klammern ändern die Rechenreihenfolge nur, wenn sie eine Rechnung einschließen, die sonst eine niedrigere Priorität hätte als die sie umgebenden Rechnungen.

    Lösung

    Folgende Rechnungen ändern ihr Ergebnis nach dem Weglassen der Klammern:

    • $4\cdot(2+3)$
    Wegen der Klammern wird hier die Addition zuerst ausgeführt und es ergibt sich:

    $4\cdot(2+3)=4\cdot5=20$

    Werden die Klammern aber weggelassen, hat die Multiplikation Vorrang und wir erhalten:

    $4\cdot 2+3=8+3=11$.

    • $11+3-(2+4)$
    Hier sorgen die Klammern dafür, dass die komplette Summe $2+4$ vom restlichen Ergebnis abgezogen wird. Ohne Klammern wird zwar zuerst die $2$ subtrahiert, die $4$ danach aber stattdessen addiert:

    $11+3-(2+4)=11+3-6=14-6=8$

    aber

    $11+3-2+4=14-2+4=12+4=16$

    Man sagt, das Minuszeichen vor der Klammer „dreht die Vorzeichen in der Klammer um“.

    Die folgenden Terme bleiben gleich, wenn die Klammern weggelassen werden:

    • $(4:2)\cdot 3$
    Die Division und die Multiplikation sind gleichberechtigt. Mit Klammern wird hier die Division zuerst ausgeführt. Werden die Klammern weggelassen, wird ohne weitere Vorrangregeln von links nach rechts gerechnet. Da die Division links steht, wird sie nach wie vor zuerst ausgeführt. Es gilt:

    $(4:2)\cdot 3 = 4:2\cdot 3 = 2\cdot3 =6$

    • $(16\cdot 2)-10$
    Da „Punkt vor Strich“ gilt, wird die Multiplikation auch ohne Klammern vor der Subtraktion ausgeführt.

    • $(12\cdot4)\cdot(6:3)$
    Hier treten nur Multiplikation und Division auf. Diese Rechenarten sind gleichberechtigt, also kann grundsätzlich von links nach rechts gerechnet werden. Da beide Rechenarten außerdem assoziativ sind, können wir auch hier die Klammern weglassen:

    $(12\cdot4)\cdot(6:3)=48\cdot 2 = 96$

    $(12\cdot4)\cdot(6:3)=12\cdot4\cdot6:3=48\cdot6:3=288:3=96$

  • Bestimme die Ergebnisse mit Hilfe der Vorrangregeln.

    Tipps

    Beachte die Prioritäten der Rechenregeln:

    • Rechnungen innerhalb der Klammern zuerst,
    • dann Punkt vor Strich,
    • dann von links nach rechts.

    Steht innerhalb einer Klammer eine längere Rechnung, so gilt auch für diese die Reihenfolge der Rechenregeln.

    Im Beispiel $2\cdot(2\cdot(4+5)+2)$ wollen wir zuerst das ausrechnen, was in der Klammer steht, also $2\cdot(4+5)+2$. Da darin wiederum eine Klammer vorkommt, berechnen wir diese zuerst, also $4+5=9$. Danach rechnen wir unter Beachtung der Regel "Punkt vor Strich" wie folgt weiter:

    $2\cdot (4+5)+2=2\cdot 9+2 = 18+2=20$

    und erhalten schlussendlich:

    $2\cdot(2\cdot(4+5)+2)=2\cdot 20= 40$.

    Lösung

    • $3\cdot (12+4\cdot 2)$
    Zuerst wollen wir die Klammer ausrechnen. Innerhalb der Klammer gelten die gleichen Rechenregeln wie immer, also wird auch hier Punkt vor Strich gerechnet. Als Erstes berechnen wir also:

    $4\cdot 2 = 8$

    Nun können wir den Wert der gesamten Klammer berechnen:

    $12+4\cdot 2 = 12+8 = 20$

    Und um das Ergebnis zu erhalten, müssen wir jetzt nur noch mit $3$ multiplizieren:

    $3\cdot(12+4\cdot 2) = 3\cdot 20 = 60$

    • $3\cdot 4 : (2\cdot 6)\cdot 4 :2+2$
    Auch hier führen wir zuerst die Multiplikation in der Klammer aus und erhalten $2\cdot 6 = 12$. Als nächstes führen wir die Punktrechenarten aus; da diese alle gleichberechtigt sind, gehen wir dabei wieder von links nach rechts:

    $\begin{array}{lll} 3\cdot 4 : 12\cdot 4 :2 &=& 12:12\cdot 4 : 2\\ &=&1\cdot 4 :2\\ &=&4:2\\ &=&2 \end{array}$

    Dazu müssen wir jetzt nur noch die $2$ vom Ende des Terms addieren und erhalten:

    $3\cdot 4 : (2\cdot 6)\cdot 4 :2+2=2+2=4$

    • $6:(4+2)\cdot2\cdot9\cdot3$
    Wie immer berechnen wir als erstes die Klammer, hier zu $4+2=6$. Abgesehen davon kommen in der Rechnung nur Division und Multiplikation vor. Beide sind Punktrechenarten und damit gleichberechtigt; deshalb rechnen wir einfach von links nach rechts. Das heißt: wir führen erst die Division ganz links durch, multiplizieren das Ergebnis mit $2$, dann mit $3$ und dann mit $9$:

    $\begin{array}{lll} 6:6\cdot 2 \cdot 9 \cdot 3 &= &1 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 3\\ & = &2 \cdot 9 \cdot 3\\ & = &18 \cdot 3\\ & = &54 \end{array}$

    • $4\cdot(3+(2: 1+5))$
    Auch hier wollen wir die Klammer zuerst ausrechnen. Innerhalb der Klammer gelten die gleichen Rechenregeln wie überall sonst, also wird auch hier zuerst die Klammer ausgerechnet. Innerhalb dieser Klammer wiederum rechnen wir Punkt vor Strich. Deshalb ergibt sich für die innere Klammer:

    $ 2:1+5 = 2+5 = 7$

    Nun können wir die äußere Klammer ausrechnen:

    $(3+(2: 1+5))=3+7=10$

    Nun müssen wir nur noch mit $4$ multiplizieren und sind fertig:

    $4\cdot(3+(2: 1+5))=4\cdot 10 = 40$

    Prinzipiell lassen sich Klammern beliebig tief „schachteln“, also Klammern innerhalb von Klammern innerhalb von Klammern und so weiter. Die Rechenregeln bleiben jedoch dabei immer die gleichen, d.h. innerhalb einer Klammer werden wieder zuerst Klammern ausgerechnet, dann Punkt vor Strich und dann von links nach rechts.

  • Bestimme die wahren Aussagen zu Vorrangregeln beim Rechnen.

    Tipps

    $5\cdot 3 + 8 = 15+8 = 23$

    $5\cdot(3+8)=5\cdot11=55$

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind wahr:

    • Eine Rechnung, die in Klammern steht, wird immer zuerst ausgeführt.
    • Punktrechnung wird vor Strichrechnung ausgeführt.
    • Multiplikation wird vor Subtraktion ausgeführt. Multiplikation ist eine Punktrechenart, Subtraktion eine Strichrechenart. Dies ist also ein Spezialfall von „Punkt vor Strich“.
    • Subtraktion und Addition sind bei der Reihenfolge gleichberechtigt. Subtraktion und Addition sind beide Strichrechenarten, deshalb wird keine gegenüber der anderen bevorzugt.
    Diese Aussagen sind hingegen falsch:

    • Multiplikation wird vor Division ausgeführt.
    Sowohl Multiplikation als auch Division sind Punktrechenarten. Deshalb wird keine gegenüber der anderen bevorzugt und sie werden entsprechend ihrer Reihenfolge von links nach rechts berechnet. Natürlich kann das bedeuten, dass eine Multiplikation vor einer Division durchgeführt wird - aber eben nur, wenn sie links davon steht. Umgekehrt ginge das genauso gut.

    • Addition wird vor Subtraktion ausgeführt.
    Beides sind Strichrechenarten. Deshalb gilt hier dasselbe wie für Multiplikation und Division.

    • Sind keine anderen Vorrangregeln zu beachten, wird von rechts nach links gerechnet.
    Hier müsste es „von links nach rechts“ heißen.

    • Auch mit Vorrangregeln kann dieselbe Rechnung manchmal mehrere Ergebnisse haben.
    Mit derselben Rechnung zwei Ergebnisse zu erhalten, ist niemals möglich. Wenn die Rechenregeln korrekt befolgt wurden, ist das Ergebnis immer eindeutig - wenn nicht, solltest du nachsehen, wo sich ein Fehler eingeschlichen hat!

  • Bestimme die richtigen Ergebnisse mit Hilfe der Vorrangregeln.

    Tipps

    Innerhalb von Klammern gelten dieselben Rechenregeln und Vorrangregeln wie immer.

    Lösung

    • $\dfrac{4\cdot(5+2)}{11+3}$
    Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für eine Division, bei der Zähler und Nenner jeweils in Klammern stehen, also:

    $\dfrac{4\cdot(5+2)}{11+3}=(4\cdot(5+2)):(11+3)$

    Konkret heißt das, dass wir Zähler und Nenner zuerst getrennt ausrechnen und dann Zähler durch Nenner dividieren. Der Nenner ist in diesem Fall recht leicht zu $11+3=14$ zu berechnen. Im Zähler rechnen wir zuerst die innere Klammer aus und multiplizieren dann mit $4$:

    $ \dfrac{4\cdot(5+2)}{14} = \dfrac{4\cdot 7}{14} = \dfrac{28}{14} = 2 $

    Wie du vielleicht gemerkt hast, sind in diesem Fall die äußeren Klammern um den Zähler überflüssig. Das ist allerdings nicht so, wenn dort beispielsweise eine Addition vorkommt (die nicht selbst in Klammern steht). Dann nämlich würde ohne Klammern die Division „Zähler durch Nenner“ (Punktrechenart) vor der Addition (Strichrechenart) durchgeführt werden.

    • $\dfrac{2+4\cdot(3-4)}{8:2-2}$
    Zuerst berechnen wir den Zähler. In diesem wiederum ist zuerst die Klammer dran, also $3-4=(-1)$. Als Nächstes wird mit $4$ multipliziert, was uns $4\cdot(-1)=(-4)$ liefert; nach Addition von $2$ ergibt sich für den Zähler also $2+(-4)=(-2)$.

    Im Nenner gibt es keine Klammern. Folglich führen wir zuerst die Division und danach die Subtraktion aus und erhalten $8:2-2=4-2=2$. Jetzt teilen wir noch Zähler durch Nenner und erhalten:

    $\dfrac{2+4\cdot(3-4)}{8:2-2}=\dfrac{-2}{2}=(-1)$

    • $\dfrac{\frac{12}{3}}{\frac{34}{17}\cdot (5-3)}$
    Zuerst berechnen wir den Zähler des großen Bruchs zu $\dfrac{12}{3}=4$.
    Betrachten wir nun den etwas komplizierteren Nenner. Hier berechnen wir zuerst die Klammer zu $5-3=2$. Jetzt stehen hier noch ein Bruch (also eine Division) und eine Multiplikation nebeneinander. Beide sind gleichberechtigt, also rechnen wir wieder von links nach rechts. Zuerst berechnen wir den Bruch zu $\frac{34}{17}=2$, anschließend führen wir die Multiplikation durch und erhalten $\frac{34}{17}\cdot (5-3)=2\cdot 2 = 4$.
    Nun müssen wir nur noch Zähler durch Nenner teilen und erhalten:

    $\dfrac{\frac{12}{3}}{\frac{34}{17}\cdot (5-3)}=\dfrac{4}{4}=1$

    • $6+3\cdot\left(\dfrac{6+2}{2\cdot 2}+\dfrac{20\cdot 3+4}{2\cdot 2 \cdot 2}\right)$
    Dieser Term mag zunächst etwas furchteinflößend aussehen, aber wenn wir ihn Schritt für Schritt zerlegen und die Komponenten berechnen, dann ist er für uns kein Problem.
    Als Erstes ist wie immer die Klammer zu berechnen. Hier stehen in der Klammer wiederum zwei Brüche. Da Brüche eine Division repräsentieren, berechnen wir sie zuerst getrennt voneinander und subtrahieren dann den zweiten Bruch vom ersten (Punkt vor Strich). In einem Bruch selbst wiederum berechnen wir jeweils zuerst Zähler und Nenner getrennt voneinander und führen dann die Division durch.
    Sehen wir uns also zunächst den ersten Bruch an. Im Zähler ergibt sich $6+2=8$, im Nenner $2\cdot 2 = 4$. Der Bruch hat also den Wert $\frac{6+2}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$.
    Beim zweiten Bruch benötigen wir für den Nenner noch die Punkt-vor-Strich-Regel und erhalten $20\cdot 3+4=60+4=64$. Im Nenner können wir hier einfach von links nach rechts rechnen, da nur multipliziert wird, und es ergibt sich $2\cdot 2 \cdot 2 =8$. Nun können wir auch diesen Bruch ausrechnen und erhalten $\frac{20\cdot 3+4}{2\cdot 2 \cdot 2}=\frac{64}{8}=8$.
    Damit hat sich unsere Rechnung bereits extrem vereinfacht, denn in der Klammer steht nun nur noch eine simple Addition zweier Zahlen, die wir leicht durchführen können:

    $\dfrac{6+2}{2\cdot 2}+\dfrac{20\cdot 3+4}{2\cdot 2 \cdot 2}=2+8=10$

    Für das Endergebnis müssen wir jetzt nur noch Punkt- vor Strichrechnung durchführen. Damit erhalten wir:

    $\begin{array}{lll} 6+3\cdot\left(\dfrac{6+2}{2\cdot 2}+\dfrac{20\cdot 3+4}{2\cdot 2 \cdot 2}\right)&=&6+3\cdot 10\\ &=&6+30\\ &=&36 \end{array}$