Potenzen mit rationaler Basis 03:48 min

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Transkript Potenzen mit rationaler Basis

Wenn Du weißt was Potenzen sind, dann können wir uns jetzt mal überlegen was passiert, wenn „a“, also die Basis der Potenz, rational ist. Rational heißt es ist ein Bruch. Man kann natürlich Brüche auch als Dezimalzahlen schreiben, aber für uns sind jetzt erstmal rationale Zahlen Brüche. Also was passiert, wenn „a“ ein Bruch ist? Wir haben hier nochmal unsere Potenzdefinition, das „a“ ist die Basis, das „n“ der Exponent. Und wir können für „a“ auch einen Bruch einsetzen, zum Beispiel den Bruch p/q. Dann ist an = (p/q)n. Das können wir uns mal an einem Beispiel ansehen. „a“ soll jetzt mal gleich ⅗ sein und „n“ soll gleich zwei sein. Dann ist an = (⅗)², und das bedeutet ⅗ * ⅗ . Das sind also hier zwei Faktoren, weil „n“ gleich zwei ist. Und das kann man auch anders schreiben. Man kann zum Beispiel schreiben: 3²/5², ja. Wir rechnen ja hier Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Das ist die Art und Weise wie man Brüche multipliziert und das ist dann gleich 9/25. Wir können auch etwas anderes aufschreiben, und das steht jetzt buchstäblich auf einem ganz anderen Blatt. Wir können nämlich rechnen: 3²/5. Ja? Das ist nicht das gleiche was hier steht, nur wird es öfter durcheinander geschmissen und deshalb schreibe ich das hier nochmal auf: das ist 9/5. Und das ist eben nicht 9/25 wie eben (⅗)². Was man auch aufschreiben kann ist 3/5². Das hat hiermit auch nichts zu tun. Das ist gleich 3/25. Ja, also das sollte man nicht durcheinander schmeißen. Wenn man einen Bruch potenziert muss der ganze Bruch mehrmals multipliziert werden, so wie hier. So, das war es dazu. Wie Du siehst, gab es hier keine großen mathematischen Erkenntnisse. Man muss nur einmal wissen was damit gemeint ist, wenn ein Bruch potenziert wird. Man muss eben auf die Klammer achten, und das war es. Dann sind wir auch hier fertig. Viel Spaß damit, tschüss!

4 Kommentare
  1. Default

    Danke hat mir geholfen

    Von Rapp2006, vor 8 Monaten
  2. Default

    Danke!!! Jetzt weiß ich alles über dieses thema

    Von Zikiragasi, vor 10 Monaten
  3. Default

    capri sonne

    Von Julianetz, vor 10 Monaten
  4. Default

    zum auffrischen für erneute Klausur super

    Von Salitheking2003, vor etwa einem Jahr

Potenzen mit rationaler Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen mit rationaler Basis kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie eine Potenz mit einer rationalen Basis berechnet wird.

    Tipps

    Denke daran:

    $a^2=a\cdot a$

    Dies gilt für jede beliebige Basis.

    Überlege dir in dieser Aufgabe, wie $a$ aussieht.

    Zwei Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.

    Schaue dir folgendes Beispiel an: $\left(\frac27\right)^2$.

    • $\left(\frac27\right)^2=\frac27\cdot\frac27$ Hier wird die Definition einer Potenz verwendet.
    • $\frac27\cdot\frac27=\frac{2\cdot 2}{7\cdot 7}$ Hier werden zwei Brüche multipliziert.
    • $\frac{2\cdot 2}{7\cdot 7}=\frac{2^2}{7^2}$ Hier wird wieder die Definition einer Potenz verwendet.
    Lösung

    Es soll die folgende Potenz berechnet werden:

    $\left(\frac35\right)^2$.

    Zuerst verwendest du die Definition der Potenz: $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{\text{n-mal}}$.

    Also ist

    $\left(\frac35\right)^2=\frac35\cdot \frac35$.

    Du erhältst also ein Produkt, in welchem der Bruch $\frac35$ zweimal als Faktor vorkommt.

    Zwei Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.

    Zusammengefasst kannst du dir merken: Ein Bruch wird potenziert, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit dem gleichen Exponenten potenziert.

    Noch eine Anmerkung: Die Schreibweise mit der Klammer ist wichtig.

    • $\left(\frac27\right)^2=\frac4{49}$ aber
    • $\frac{2^2}7=\frac47$ und
    • $\frac2{7^2}=\frac2{49}$.
  • Gib an, wofür eine Potenz $a^n$ steht.

    Tipps

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt.

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    • $3^2=3\cdot 3$
    • $4^5=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$

    Kommt in einer Multiplikation ein Faktor, zum Beispiel $5$, mehrmals vor, zum Beispiel dreimal, kann das Produkt als Potenz geschrieben werden:

    $5\cdot 5\cdot 5=5^3$

    • Der mehrmals vorkommende Faktor ist die Basis (hier $5$). Die Basis steht in der Potenz unten.
    • Die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, ist der Exponent (hier $3$). Der Exponent steht in der Potenz oben.
    Lösung

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt.

    Wenn in einem Produkt der Faktor $a$ genau $n$-mal vorkommt, kann man die Potenz als Abkürzung nutzen.

    • Der Faktor $a$ steht in der Potenz in der Basis (unten).
    • Die Anzahl $n$ in dem Exponenten (oben).
    Um das besser zu verstehen, schauen wir uns einige Beispiele an.

    Produkte als Potenzen

    • $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ Hier ist der Faktor die $4$. Wie oft kommt dieser Faktor vor? Richtig: sechsmal. Also lässt sich dieses Produkt als Potenz so schreiben: $4^6$.
    • Die Basis kann auch eine Dezimalzahl oder ein Bruch sein: $1,2\cdot 1,2\cdot 1,2=1,2^3$.
    Potenzen als Produkte

    • $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$ Du siehst, der Faktor $3$ kommt hier viermal vor.
    • $\left(\frac32\right)^4=\frac32\cdot\frac32\cdot\frac32\cdot\frac32$
  • Berechne $\left(\frac35\right)^2$.

    Tipps

    Beachte:

    $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$

    Also ist $a^2=a\cdot a$. Dies gilt auch für eine rationale Basis.

    Somit gilt:

    $\left(\frac35\right)^2=\frac35\cdot \frac35$

    Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.

    Wenn du einen Bruch potenzieren sollst, potenzierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner.

    Allgemein sieht dies so aus:

    $\left(\frac pq\right)^n=\frac{p^n}{q^n}$

    Lösung

    Du weißt bereits, dass $a^2=a\cdot a$ ist. Dies gilt für jede beliebige Basis, also auch für einen Bruch. Damit gilt:

    $\left(\frac35\right)^2=\frac35\cdot \frac35$.

    Verwende nun, dass Brüche multipliziert werden, indem die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert werden.

    $\frac35\cdot \frac35=\frac{3\cdot 3}{5\cdot 5}$

    Jetzt kannst du wieder die Definition von Potenzen verwenden.

    $\frac{3\cdot 3}{5\cdot 5}=\frac{3^2}{5^2}$

    Rechne schließlich die Potenzen im Zähler und im Nenner aus. So erhältst du

    $\frac{3^2}{5^2}=\frac{9}{25}$.

    Merke dir: Du potenzierst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner potenzierst.

    $\left(\frac pq\right)^n=\frac{p^n}{q^n}$

    Jetzt folgen Beispiele, die nicht gleich $\left(\frac35\right)^2$ sind.

    • Potenzierst du nur den Zähler, passiert dies: $\frac{3^2}5=\frac95$.
    • Potenzierst du nur den Nenner, erhältst du $\frac{3}{5^2}=\frac3{25}$.
  • Ermittle, wie viel Geld Paul nach zwei Jahren gespart hat.

    Tipps

    Du kannst jede Dezimalzahl als Bruch schreiben. Schaue dir hierfür ein paar Beispiele an:

    • $0,2=\frac2{10}$
    • $1,2=\frac{12}{10}$
    • $0,03=\frac3{100}$

    Du potenzierst einen Bruch, indem du sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzierst.

    • $10\%$ von $100€$ sind $10€$. Addiere diese zu $100€$.
    • $10\%$ von dem resultierenden Betrag sind noch zu berechnen. Addiere dies zu dem vorigen Ergebnis.
    Auf diese Weise berechnest du den gesamten Betrag.

    Lösung

    Paul bekommt von seinem Vater am Ende eines Jahres $10\%$ zu dem bereits vorhandenen Geld.

    Am Ende des ersten Jahres tut Pauls Vater also $10€$ dazu.

    Als Formel lässt sich dies so ausdrücken:

    $100€ + 0,1\cdot 100€ = 100€ \cdot 1,1$

    Am Ende des folgenden Jahres, also nach zwei Jahren, erhält er wieder $10\%$:

    $100€\cdot 1,1+0,1\cdot 100€\cdot 1,1=100€\cdot 1,1^2$

    Eine solche Formel kennst du sicher auch schon von der Zinsrechnung.

    Nun überlegt Paul sich, wie er eine Dezimalzahl potenzieren kann. Er lernt gerade, wie Brüche potenziert werden, und erinnert sich, dass jede Dezimalzahl als Bruch geschrieben werden kann. Es ergibt sich also $1,1=\frac{11}{10}$ und somit insgesamt diese Gleichung:

    $1,1^2=\left(\frac{11}{10}\right)^2=\frac{11^2}{10^2}$

    Mit Hilfe der Quadratzahlen $11^2 = 121$ und $10^2 = 100$ ergibt sich insgesamt der Bruch:

    $\frac{121}{100}=1,21$

    Nun ist er fast fertig. Er multipliziert das Ergebnis noch mit $100€$ und erhält so den Betrag, den er nach zwei Jahren bereits gespart hat:

    $121€$

  • Bestimme das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Beachte:

    • Wenn der Exponent über dem Zähler steht, bezieht er sich nur auf den Zähler.
    • Dies gilt auch für den Nenner.
    • Wenn der gesamte Bruch potenziert wird, muss dieser in Klammern geschrieben werden.

    Merke dir: Ein Bruch wird potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden.

    $\left(\frac pq\right)^n=\frac{p^n}{q^n}$

    Übrigens: Hier muss $q\neq 0$ sein.

    Lösung

    Wenn ein kompletter Bruch potenziert wird, muss dieser in Klammern geschrieben werden. Dann werden sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert.

    Andernfalls wird nur der Zähler oder nur der Nenner potenziert, je nachdem, wo der Exponent steht.

    Schaue dir hierfür die folgenden Beispiele an, bei denen jeweils alle drei Möglichkeiten vorgerechnet werden.

    Beispiel 1

    • $\left(\frac23\right)^3=\frac23\cdot\frac23\cdot \frac23=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$
    • $\frac{2^3}3=\frac83$
    • $\frac2{3^3}=\frac2{27}$
    Beispiel 2

    • $\left(\frac52\right)^2=\frac52\cdot\frac52=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$
    • $\frac{5^2}2=\frac{25}2$
    • $\frac5{2^2}=\frac54$
  • Wende die Potenzregeln an, um den jeweiligen Potenzwert zu berechnen.

    Tipps

    Brüche werden potenziert, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.

    Es gilt also z.B. $\left( \frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3}$.

    Lösung

    Nachdem du bereits weißt, dass die Definition von Potenzen auch gültig ist, wenn die Basis eine rationale Zahl ist, lernst du hier, dass du auch bei rationalen Basen die Potenzgesetze anwenden kannst.

    Achte allerdings auch darauf, dass der Bruch geklammert sein muss.

    • $\left(\frac23\right)^4\cdot \left(\frac32\right)^4=\left(\frac23\cdot\frac32\right)^4=1^4=1$ Diese Rechnung ist also richtig.
    • Die folgende Aufgabe ist nicht richtig: $\frac{2^4}3\cdot \frac{3^4}2=1$.
    • Hier siehst du das richtige Ergebnis: $\frac{2^4}3\cdot \frac{3^4}2=\frac{2^4\cdot 3^4}{3\cdot 2}=2^3\cdot 3^3=8\cdot 27=216$.
    • $\left(\frac23\right)^2\cdot \left(\frac23\right)^2=\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}$ Diese Gleichung ist richtig.
    • Damit sind die beiden verbleibenden Gleichungen falsch.