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Potenzen mit negativer und rationaler Basis

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Potenzen mit negativer und rationaler Basis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzen mit negativer und rationaler Basis

Wenn wir einen negativen Bruch potenzieren, erhalten wir eine Potenz mit negativer und rationaler Basis. Vermutlich hört sich das für dich komplizierter an, als es tatsächlich ist, denn es geht eigentlich nur darum, die Rechenzeichen richtig zu verwenden. Wenn wir negative Zahlen potenzieren, achten wir darauf, diese negativen Zahlen einzuklammern, damit sich keine Fehler einschleichen. Das gleiche machen wir, wenn wir Brüche potenzieren: Wir klammern sie ein und dann kann nichts passieren. Im Video kannst du sehen, wie wir mit den Klammern und den Rechenzeichen richtig umgehen.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Haha die Sonnenbrille am Ende

    Von Bbbb Bruder, vor mehr als 3 Jahren

Potenzen mit negativer und rationaler Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen mit negativer und rationaler Basis kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Potenzwert von $\left(\frac{-5}7\right)^2$.

    Tipps

    Beachte:

    $a^2=a\cdot a$

    Dabei ist es egal, was du für die Basis $a$ einsetzt.

    Minus mal Minus ergibt Plus.

    Betrachte beispielsweise $-6\cdot (-6) = 36$.

    Lösung

    Es soll die folgende Potenz berechnet werden:

    $\left(\frac{-5}7\right)^2$

    Verwende die Definition der Potenz $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{\text{n-mal}}$.

    Also gilt folgende Gleichung:

    $\left(\frac{-5}7\right)^2=\frac{-5}7\cdot \frac{-5}7$

    • Nun multiplizierst du jeweils die Zähler und Nenner miteinander.
    • Für die Zähler erhältst du durch $-5\cdot (-5)$ als Ergebnis $25$. Hier wurde benutzt, dass Minus mal Minus Plus ergibt.
    • Für die Nenner erhältst du durch $7\cdot 7$ als Ergebnis $49$.
    Insgesamt erhältst du:

    $\left(\frac{-5}7\right)^2=\frac{25}{49}$

  • Gib an, welche der folgenden Aufgaben zum Ergebnis $\frac{25}{49}$ führen.

    Tipps

    Schaue dir dieses Beispiel an:

    $-(3^4)=-81$

    • Es wird zunächst $3^4=81$ gerechnet.
    • Erst dann wird das Minus angewendet.

    Beachte, dass Minus mal Minus gleich Plus ist.

    Wenn der Exponent in einem Bruch entweder nur im Zähler oder nur im Nenner steht, wird entsprechend auch nur der Zähler oder der Nenner potenziert.

    Lösung

    Mal schauen, welche Wege zu $\frac{25}{49}$ führen und welche nicht. Beachte dabei, dass wir in jeder Aufgabe die Regel $a^2 = a\cdot a$ benutzen.

    • $\left(\frac{5}{-7}\right)^2=\frac5{-7}\cdot \frac5{-7}=\frac{25}{49}$ ✓
    • $-\left(\frac57\right)^2=-\frac57\cdot \frac57=-\frac{25}{49}$
    • $-\frac{5^2}7=-\frac{25}7$
    • $-\left(\frac{-5}{-7}\right)^2=-\left(\frac57\right)^2=-\frac57\cdot \frac57=-\frac{25}{49}$
    • $\left(\frac{-5}{7}\right)^2=\frac{-5}{7}\cdot \frac{-5}{7}=\frac{25}{49}$ ✓
    • $\left(\frac57\right)^2=\frac57\cdot \frac57=\frac{25}{49}$ ✓
    Wie du in dieser Aufgabe siehst, muss man in der Mathematik immer sehr genau arbeiten. Kleine Änderungen können große Auswirkungen haben.

  • Ermittle das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Achte darauf, ob das Minuszeichen in der Klammer steht oder nicht. Steht es in der Klammer, wird es mit potenziert, sonst nicht.

    Schaue dir dieses Beispiel an:

    $-(2^4)=-16$

    • Es wird zunächst $2^4=16$ gerechnet. Der Exponent bezieht sich also nur auf die Basis $2$.
    • Erst dann wird das Minus angewendet.

    Ein Bruch wird potenziert, indem der Zähler und der Nenner potenziert werden.

    Schaue dir dieses Beispiel an:

    $(\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$

    Wenn du einen Bruch potenzieren möchtest, musst du ihn in Klammern schreiben:

    • $\left(\frac25\right)^2=\frac4{25}$
    • $\frac{2^2}5=\frac4{5}$. Hier wird nur der Zähler potenziert.
    • $\frac{2}{5^2}=\frac2{25}$. Hier wird nur der Nenner potenziert.
    Lösung

    An den folgenden Beispielen übst du, ...

    • wie Brüche potenziert werden.
    • was beim Potenzieren von negativen Brüchen beachtet werden muss.
    Alle Aufgaben ähneln einander. Deswegen ist es wichtig, dass du dir die wesentlichen Unterschiede einprägst. Die Aufgabe lautet...

    • $\left(-\frac23\right)^4=\left(-\frac23\right)\cdot \left(-\frac23\right)\cdot \left(-\frac23\right)\cdot \left(-\frac23\right)$. Das Minuszeichen taucht hier viermal auf. Beachte, dass $4$ eine gerade Zahl ist. Somit ist das Ergebnis positiv. Es gilt $\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}$.
    • $\frac{(-2)^4}3=\frac{16}{3}$. Beachte, dass der Exponent hier im Zähler steht. Das bedeutet, dass auch ausschließlich der Zähler potenziert wird.
    • $-\frac{2}{3^4}=-\frac2{81}$. In diesem Beispiel wird ausschließlich der Nenner potenziert.
    • $-\left(\frac23\right)^4=-\frac23\cdot \frac23\cdot \frac23\cdot \frac23$. Worin liegt der Unterschied zu der oberen Aufgabe? Das Minuszeichen steht nicht in der Klammer. Das bedeutet, dass der Bruch potenziert wird und das Minuszeichen stehen bleibt. Das Ergebnis ist somit negativ. Es ergibt sich $-\frac{2^4}{3^4}=-\frac{16}{81}$.
  • Bestimme zu jeder der folgenden Potenzen den Zähler, den Nenner sowie das Vorzeichen.

    Tipps

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $-\left(\frac32\right)^2=-\frac32\cdot\frac32 =-\frac94$

    • Vorzeichen: $-$
    • Zähler: $9$
    • Nenner: $4$

    Der gesamte Bruch wird nur potenziert, wenn er in Klammern steht.

    Wenn die Potenz im Zähler oder im Nenner steht, rechnest du so:

    • $\frac{3^2}2=\frac92$
    • $\frac3{2^2}=\frac34$
    Lösung

    Im Folgenden wirst du noch einmal wiederholen, welche Bedeutung die Position des Minuszeichens (innerhalb der Klammer oder nicht) bei der Potenz hat.

    $\left(-\frac43\right)^3$

    • Schauen wir uns erst einmal das Vorzeichen an. Dieses ist negativ, da der Exponent ungerade ist.
    • Da der Bruch in den Klammern steht, werden sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert.
    Das Ergebnis dieser Aufgabe ist $-\frac{64}{27}$.

    • Das Vorzeichen ist also $-$.
    • Der Zähler ist $64$.
    • Der Nenner ist $27$.
    Schauen wir uns nun die nächste Potenz an:

    $\frac{(-4)^3}{-3}$.

    • Beachte, hier steht die Potenz im Zähler: $(-4)^3=-64$.
    • Da im Nenner ebenfalls eine negative Zahl steht, ist das Ergebnis positiv.
    • Der Nenner wird jedoch nicht potenziert.
    Damit ist das Ergebnis $\frac{64}3$.

    • Das Vorzeichen ist also $+$.
    • Der Zähler ist $64$.
    • Der Nenner ist $3$.
  • Beschreibe, warum das Ergebnis einmal positiv und einmal negativ ist.

    Tipps

    Ganz allgemein ist $a^2=a\cdot a$.

    Du kannst den Faktor $a$, also die Basis der Potenz, durch jeden beliebigen Term ersetzen. Gegebenenfalls musst du diesen Term klammern.

    Bei einer Potenz kommt es oft darauf an, wo genau der Exponent steht.

    Steht der Exponent beispielsweise über einer Klammer, bezieht er sich nur auf diese:

    $-(\frac{2}{4})^2 = -\frac24\cdot\frac24 = -\frac{4}{16} = -\frac14$.

    Lösung

    Schauen wir uns zunächst die obere der beiden Potenzen an:

    $\left(-\frac57\right)^2=\left(-\frac57\right)\cdot\left(-\frac57\right)=\frac{25}{49}$.

    Die untere Potenz lautet $-\left(\frac57\right)^2$. Zunächst potenzieren wir den Bruch:

    $\frac57\cdot \frac57=\frac{25}{49}$.

    Beachte, dass es sich hierbei um eine Nebenrechnung handelt, die du in einer Klassenarbeit oder in deinem Heft kenntlich machen solltest.

    Das Minuszeichen bleibt stehen. Somit ergibt sich insgesamt:

    $-\left(\frac57\right)^2=-\frac{25}{49}$.

    Du siehst: Das Minuszeichen muss in der Klammer stehen, damit es mit quadriert wird.

  • Entscheide, ob richtig gerechnet wird.

    Tipps

    Rechne immer zuerst die Potenzen aus. Achte dabei darauf, ob das Minuszeichen in den Klammern steht oder nicht.

    Wenn in einer Aufgabe mehrere Potenzen auftauchen, rechne von innen nach außen.

    Hier siehst du drei sehr ähnliche Potenzen:

    • $\left(\frac52\right)^2=\frac52\cdot \frac52=\frac{25}4$
    • $\frac{5^2}2=\frac{25}4$
    • $\frac5{2^2}=\frac54$
    Du siehst, es wird nur dann der gesamte Bruch potenziert, wenn dieser in Klammern steht.

    Lösung

    • Das Minuszeichen fällt beim Potenzieren weg, wenn der Exponent gerade ist, und es bleibt erhalten, wenn der Exponent ungerade ist.
    • Du musst unterscheiden, ob das Minuszeichen in der Klammer steht oder nicht.
    • Du musst beachten, ob die Potenz sich auf den gesamten Bruch, den Zähler oder den Nenner bezieht.
    Deine ganze Aufmerksamkeit ist hierbei gefordert!

    $\begin{array}{rcl} -\frac52\cdot \left(-\frac52\right)^3&=&-\frac52\cdot \left(-\frac{5^3}{2^3}\right)\\ &=&\frac{5^4}{2^4}\\ &=&\frac{625}{16} \end{array}$

    Diese Rechnung ist richtig durchgeführt worden.

    $\begin{array}{rcl} \left(-\frac{-5}2\right)^2\cdot \left(-\left(-\frac{-5}2\right)^2\right)&=&\frac{5^2}{2^2}\cdot \left(-\frac{5^2}{2^2}\right)\\ &=&-\frac{5^4}{2^4}\\ &=&-\frac{625}{16} \end{array}$

    Auch diese Rechnung ist richtig durchgeführt worden.

    $\begin{array}{rcl} -\left(\frac{(-5)^2}2\right)^2&=&-\left(\frac{25}2\right)^2\\ &=&-\frac{25^2}{2^2}\\ &=&-\frac{625}{4} \end{array}$

    Die Rechnung oben ist somit falsch.

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{-5}2\right)^4&=&\left(\frac{5}2\right)^4\\ &=&\frac{5^4}{2^4}\\ &=&\frac{625}{16} \end{array}$

    Diese Rechnung ist wieder korrekt durchgeführt worden.

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{-5}2\right)^3\cdot \left(-\left(-\frac{5}2\right)\right)&=&-\frac{5^3}{2^3}\cdot \frac52\\ &=&-\frac{5^4}{2^4}\\ &=&-\frac{625}{16} \end{array}$

    Auch diese Rechnung ist korrekt durchgeführt worden.

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{(-5)^2}2\right)\cdot \left(-\left(-\frac{5}2\right)^2\right)&=&\frac{5^2}2\cdot\left(-\frac{5^2}{2^2}\right)\\ &=&-\frac{5^4}{2^3}\\ &=&-\frac{625}{8} \end{array}$

    Die Rechnung oben ist somit falsch.

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