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Potenzen mit negativer Basis 05:44 min

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Transkript Potenzen mit negativer Basis

Hallo. Wenn Du weißt, was Potenzen sind, dann können wir uns jetzt mal überlegen was passiert, wenn wir für „a“, also für die Basis, eine negative Zahl einsetzen. Ja. Negative Zahlen sind ganz normale Zahlen wie Du und ich, und die können eben auch Basis einer Potenz sein. Wir haben unsere Potenzdefinition: „a“ ist die Basis, „n“ ist der Exponent, und wir können für „a“ auch eine negative Zahl einsetzen, „a“ kann zum Beispiel minus drei sein und „n“ kann gleich vier sein, und dann erhalten wir minus drei, und hier brauchen wir unbedingt die Klammer, hoch vier. Und das bedeutet, dass minus drei viermal mit sich selbst multipliziert wird, und hier brauchen wir überall Klammern. Oh, passt noch hin. Hier brauchen wir nicht unbedingt die Klammer, aber hier brauchen wir eine Klammer, weil da keine zwei Rechenzeichen nebeneinander stehen sollen. Das Ergebnis können wir folgendermaßen ausrechnen. Wir können zum Beispiel erst diese beiden Faktoren miteinander multiplizieren: -3 * (-3) = +9, ja, weil minus mal minus plus ist. -3 * (-3) = 9, und 9 * 9 = 81. Wir können auch etwas anderes schreiben und weil es was anderes ist, steht das jetzt auf einem anderen Blatt. Wir können zum Beispiel schreiben: -34. Und jetzt hat man sich darauf geeinigt, dass die Potenz stärker bindet als das Minuszeichen. Man kann also das, was hier steht, noch deutlicher schreiben mit einer Klammer. Und zwar bedeutet das: -(34). Das ist 3 * 3 * 3 * 3 mit einem Minuszeichen davor. Und das Ganze ist dann gleich minus 81. Diese beiden Dinge werden schon mal durcheinander geschmissen, deshalb schreibe ich das hier auf. Was uns interessiert ist die negative Basis, die potenziert wird und dabei müssen wir das in Klammern schreiben und in unserem Fall hier kommt 81 raus, und hier kommt was völlig anderes raus, nämlich minus 81. Es gibt eine wichtige Eigenschaft der Potenzen mit negativer Basis, die wir uns nicht entgehen lassen sollten. Wenn wir eine negative Basis haben wie zum Beispiel minus sechs und diese Basis mit einer geraden Zahl, zum Beispiel mit zwei, potenzieren, dann rechnen wir minus sechs in unserem Fall mal minus sechs. (-6) * (-6). Die Klammer wäre jetzt nicht unbedingt nötig gewesen, die kann man auch weglassen. Minus mal Minus ist Plus und der Wert der Potenz ist dann plus 36, und das ist positiv. Das gilt auch für alle anderen geraden Exponenten, ja? Wenn wir für „n“ eine gerade Zahl einsetzen und wenn „a“ negativ ist, dann ist der Wert der Potenz positiv. Das ist anders, wenn „n“, also der Exponent ungerade ist. Wenn wir zum Beispiel rechnen: (-6)3, bedeutet das, jetzt lasse ich die Klammer vorne weg, weil man die nicht unbedingt braucht: -6 * (-6), hier braucht man die Klammer, Klammer zu, * (-6). Und dann können wir folgendermaßen ausrechnen: Minus mal Minus ist Plus, das hier ist also plus 36 und wir müssen noch mit minus sechs multiplizieren, und erhalten dann minus 216. -6 * (-6) * (-6) = 36 * (-6) = -216. Und das gilt auch für alle anderen ungeraden Zahlen, wenn die Basis negativ ist und der Exponent ungerade ist, ist der Wert der Potenz negativ. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen was es bedeutet, wenn die Basis einer Potenz negativ ist und wir haben auch gesehen, dass die Potenzwerte dann positiv oder negativ sein können. Ja, hier geht es nicht um tiefere mathematische Erkenntnisse. Das kann natürlich, sage ich mal, psychisch ideologisch auch eine gewisse Schwierigkeit sein, weil man meint es müsste irgendwie mehr Bedeutung haben oder so. Nein, hat es nicht. Hier geht es nur darum eine Definition richtig anzuwenden und das war es. Viel Spaß damit, tschüss!

1 Kommentar
  1. hat mir super bei dem Thema geholfen

    Von Nadine R., vor etwa einem Jahr

Potenzen mit negativer Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen mit negativer Basis kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne den Wert der Potenz $(-3)^4$.

    Tipps

    Die Basis einer Potenz ist der Faktor, der mehrfach vorkommt. Er kommt so oft vor, wie durch den Exponenten angegeben.

    • $2^3=2\cdot 2\cdot 2 = 8$
    • $(-2)^5=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2) = -32$

    Beachte, dass Minus mal Minus gleich Plus ist.

    Hier siehst du ein Beispiel:

    $(-2)^6=\underbrace{(-2)\cdot (-2)}_4\cdot \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_4\cdot \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_4=4\cdot 4\cdot 4=64$

    Lösung

    Es soll die folgende Potenz berechnet werden:

    $(-3)^4$

    Zuerst verwendest du die Definition der Potenz: $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$

    Also ist $(-3)^4=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)$.

    Fasse nun jeweils zwei Faktoren zusammen: $(-3)\cdot (-3)=9$

    Hier verwendest du, dass Minus mal Minus gleich Plus ist.

    Damit ist $(-3)^4=\underbrace{(-3)\cdot (-3)}_9\cdot \underbrace{(-3)\cdot (-3)}_9=9\cdot 9=81$.

    Der Wert dieser Potenz ist also eine positive Zahl.

    Beachte, dass dies nicht immer so sein muss. Beispielsweise ergibt die Potenz $(-2)^3$ ausgeschrieben $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -8$.

  • Ergänze die Erklärung, warum die Klammer bei Potenzen mit negativer Basis so wichtig ist.

    Tipps

    Ganz allgemein ist $a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$. Der Faktor $a$ taucht also viermal auf.

    Du kannst den Faktor $a$, also die Basis der Potenz, durch jeden beliebigen Term ersetzen. Wenn der Term etwas komplexer ist, zum Beispiel eine Summe oder eine negative Zahl, musst du diesen Term klammern.

    Wenn eine negative Zahl potenziert wird, gibt es die folgenden beiden Möglichkeiten:

    • Der Exponent ist gerade, dann ist der Potenzwert positiv.
    • Der Exponent ist ungerade, dann ist der Potenzwert negativ.
    Lösung

    Beim Potenzieren von negativen Zahlen musst du unbedingt auf die Klammern achten. Wenn du diese weglässt, erhältst du bei geraden Exponenten verschiedene Ergebnisse. Schauen wir uns die folgenden Beispiele an:

    • $(-3)^4=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=9\cdot 9=81$
    • $-3^4=-3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = - 9\cdot 9 = -81$
    Die Ergebnisse unterscheiden sich also bei unterschiedlicher Klammerung.

    Woran liegt das?

    Der Exponent bei dem Term $(-3)^4$ bezieht sich auf die negative Basis.

    Bei dem Term $-3^4$ bezieht er sich nur auf die $3$. Dies könnte deutlicher geschrieben werden durch:

    $-3^4=-(3^4)$

    Oft entscheidet man sich aus praktischen Gründen für die Schreibweise ohne Klammern. Deshalb ist es wichtig, die Regelung zu kennen.

  • Beschreibe, wann der Potenzwert positiv und wann er negativ ist.

    Tipps

    Schreibe jede der beiden Potenzen aus.

    Beachte, dass Minus mal Minus gleich Plus ist.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    $\begin{array}{rcl} (-2)^5&=&(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_4\\ &=&(-2)\cdot (-2)\cdot \underbrace{(-2)\cdot4}_{-8}\\ &=&(-2)\cdot \underbrace{(-2)\cdot(-8)}_{16}\\ &=&(-2)\cdot 16\\ &=&-32 \end{array}$

    Lösung

    Wir schauen uns den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Exponenten bei Potenzen mit negativer Basis an jeweils einem Beispiel an und formulieren dann eine Verallgemeinerung.

    • Zunächst wird $(-6)^2=(-6)\cdot(-6)=36$ berechnet. Warum ist das Ergebnis positiv? Die Begründung ist die Regel: Minus mal Minus ergibt Plus.
    • Nun berechnen wir $(-6)^3$.
    $\begin{array}{rcl} (-6)^3&=&(-6)\cdot \underbrace{(-6)\cdot (-6)}_{36}\\ &=&(-6)\cdot 36\\ &=&-216 \end{array}$

    Hier ist das Ergebnis negativ, denn es gilt Minus mal Plus ergibt Minus.

    Bei dem geraden Exponenten $2$ ist der Potenzwert also positiv und bei dem ungeraden $3$ negativ. Schauen wir uns weitere Exponenten an:

    • $(-6)^4=(-6)\cdot (-6)^3=(-6)\cdot (-216)=1296$
    • $(-6)^5=(-6)\cdot (-6)^4=(-6)\cdot (1296)=-7776$
    • ... das Vorzeichen ändert sich jedes Mal.
    Du kannst das verallgemeinert so aufschreiben:

    • Wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst, ist der Potenzwert positv: $(-a)^n=a^n$.
    • Wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst, ist der Potenzwert negativ: $(-a)^n=-a^n$.
    Zusatz: Wenn die Basis positiv ist, ist der Potenzwert immer positiv.

  • Ermittle die Reihenfolge, in welcher Pauls Gäste am Tisch sitzen.

    Tipps
    • Wenn das Minuszeichen in der Klammer steht, wird eine negative Zahl potenziert: $(-3)^4=81$.
    • Wenn das Minuszeichen nicht in der Klammer steht, wird nur die Zahl potenziert: $-3^4=-81$. In diesem Fall ist das Ergebnis immer negativ.

    Negative Zahlen sind kleiner als positive. Im negativen Zahlenbereich dreht sich aber das Vorzeichen um. Schau dir dafür die folgenden Beispiele an:

    • $2<4$ und $-4<-2$
    • $8 > 3$ und $-8<-3$

    Rechne immer zunächst die Potenzen aus.

    Dann kannst du die jeweiligen Ergebnisse, sofern nötig, multiplizieren.

    Lösung

    Alle freuen sich auf Pauls Geburtstagsfest und die tollen Spiele und dann das: Sie müssen Potenzen berechnen.

    Fangen wir an:

    1. Emma: $(-2)^5=-2^5=-32$. Da der Exponent ungerade ist, ist das Ergebnis negativ.
    2. Lilli: $-3^3=-27$. Da das Minuszeichen nicht potenziert wird, ist das Ergebnis auf jeden Fall negativ. Übrigens: Hier wäre es sowieso negativ, da der Exponent ungerade ist.
    3. Luke: $-2^2\cdot (-2)^2=-4\cdot 4=-16$
    4. Camilla: $-2^2\cdot (-2^2)=-4\cdot (-4)=16$. Das sieht so ähnlich aus wie bei Luke, nur steht beim rechten Faktor das Minuszeichen nicht in der Klammer.
    5. Paul: $-2^2\cdot (-2)^3=-4\cdot (-8)=32$
    6. Quinn: $(-2)^2\cdot (-3)^2=4\cdot 9=36$
    Damit ist die Frage nach der Reihenfolge beantwortet und das Spiel kann losgehen.

  • Entscheide, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

    Tipps

    Wenn eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert wird, ist der Potenzwert positiv.

    Wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird, ist der Potenzwert negativ.

    Das Negative einer negativen Zahl ist wieder positiv.

    Lösung

    Wenn eine negative Zahl potenziert wird, ist der Potenzwert bei geradem Exponenten positiv und bei ungeradem negativ:

    • $(-2)^2=2^2=4$
    • $(-4)^6=4^6=4096$
    • $(-6)^4=6^4=1296$
    • $(-3)^5=-3^5=-243$
    • $(-4)^5=-4^5=-1024$
    Aber auch hier gilt: Wenn vor dem Term noch ein Minus steht, ändert sich das Vorzeichen.

    • $-(-3)^3=-(-3^3)=27$
    • $-(-4)^4=-4^4=-256$
    • $-(-3)^5=-(-3^5)=243$
    Wenn das Minuszeichen nicht in den Klammern steht, kommt immer ein negativer Wert heraus:

    • $-2^2=-4$
    • $-6^4=-1296$
  • Ermittle das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Schaue dir bei Potenzen mit negativer Basis die Exponenten an:

    • Es gilt $(-7)^n=7^n$, wenn $n$ gerade ist.
    • Es gilt $(-7)^n=-7^n$, wenn $n$ ungerade ist.
    Das gilt auch für jede andere Basis.

    Ein Term der Form $-a^n$ ist, egal was für $a>0$ eingesetzt wird, immer negativ.

    Das Negative einer negativen Zahl ist positiv.

    Schaue dir dies an einem Beispiel an: $-(-3)=3$.

    Denke dir einen Term der Form $-3^4$ in Klammerschreibweise:

    $-3^4=-(3^4)$.

    Lösung

    Wenn du Potenzen mit negativer Basis betrachtest, wirst du feststellen, dass das Vorzeichen der Potenz ausschließlich von dem Exponenten abhängt. Ist dieser gerade, ist der Potenzwert positiv, ansonsten negativ.

    • $(-2)^5=-2^5=-32$
    • $(-5)^4=5^4=625$
    • $(-10)^5=-10^5=-100000$
    • $-(-3)^3=-(-3^3)=-(-27)=27$
    Doch Vorsicht: Die negative Zahl muss in Klammern stehen.

    An den folgenden Beispielen kannst du sehen, was passiert, wenn das Minuszeichen nicht in der Klammer steht.

    • $-2^3=-8$
    • $-3^5=-243$