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Polynomdivision mit dem Horner-Schema

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Polynomdivision mit dem Horner-Schema
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Polynomdivision mit dem Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine bestimmte Darstellung von Polynomen, mit der man ziemlich viele interessante Sachen machen kann, die in diesem Video aber nicht vorkommen. Quasi als Abfallprodukt des Horner-Schemas ergibt sich eine Möglichkeit, eine Polynomdivision mit wenig Schreibaufwand durch zuführen. Diese Methode wird im Video gezeigt.

Transkript Polynomdivision mit dem Horner-Schema

Hey, das Horner-Schema ist eine bestimmte Schreibweise von Polynomen. Zum Beispiel kann man dieses Polynom durch mehrmaliges Ausklammern in dieser Form schreiben. Mit diesem Schema kann man viele aufregende Sachen machen, die wir jetzt aber leider nicht machen. Wir beschäftigen uns mit einem quasi Abfallprodukt des Horner-Schemas, nämlich der Vereinfachung der Polynomdivision. Wir schreiben das Schema in eine Art Tabelle um und können die Polynomdivision mit weniger Schreibaufwand als üblich durchführen. Das ist aber auch gut. Wir haben folgende Situation. Wir haben eine Funktion. Deren Funktionstherm ein Polynom ist. Und wir kennen schon eine Nullstelle. Und wir möchten nun eine Polynomdivision ausführen, um weitere Nullstellen zu finden. Und mit dem Horner-Schema können wir diese Polynomdivision einfacher durchführen. Einfacher heißt mit weniger Schreibarbeit. Wir machen die gleichen Rechnungen wie bei der normalen Polynomdivision, nur wird es halt effektiver aufgeschrieben. Und dazu machen wir Folgendes: Wir nehmen die Koeffizienten der Potenzen von x und schreiben sie in eine Zeile. Wir fangen vorne an. Wenn da nichts steht, steht da eine eins. Ja, wir haben einmal x hoch fünf, wir haben drei Mal x hoch vier, minus 17-mal x hoch drei, minus 27-mal x Quadrat, 52-mal x und am Ende steht noch 60. Ja, 60-mal x hoch Null. Und das schreibt man ja üblicherweise nicht hin. Dann schreiben wir hier vor die Nullstelle und malen zwei Striche. Dann schreiben wir die erste Zahl hier unten hin. Wir multiplizieren diese Zahl mit der Nullstelle und schreiben das Ergebnis hier hin. Das ist minus zwei. Wir addieren die beiden Zahlen, die hier stehen. Das Ergebnis ist eins. Und das schreiben wir hier hin. Wir multiplizieren dieses Ergebnis mit der Nullstelle und schreiben das Ergebnis wiederum hier hin. Das ist minus zwei. Wir addieren die beiden Zahlen. Das ist minus 19. Wir rechnen minus 19-mal minus zwei. Und schreiben das Ergebnis hier hin. Das ist 38. Wir addieren diese beiden Zahlen, das Ergebnis ist elf. Wir multiplizieren elf mit minus zwei. Und erhalten minus 22. Wir addieren die beiden Zahlen und erhalten 30. 30-mal minus zwei ist minus 60. Wir addieren die beiden Zahlen und es kommt Null heraus. Das was hier steht, ist der Rest. Erwartungsgemäß, ja, wenn wir also x, wenn wir das Polynom durch x minus Nullstelle teilen, haben wir den Rest Null. Und das Ergebnispolynom erhalten wir nun, in dem wir Potenzen von x hier hinter diese Koeffizienten schreiben. Wir wissen, dass wenn wir durch x minus Nullstelle teilen, dann ist der Grad des Ergebnispolynoms ums eins geringer als das Polynom, das wir geteilt haben. Also beginnen wir hier mit x hoch vier plus x hoch drei und ja, einmal x hoch drei minus 19 x Quadrat plus elf x plus 30. Und das hier ist unser Ergebnispolynom. Wir betrachten noch den Fall, dass ein Summand im Polynom fehlt. Tja, dann schreiben wir halt eine Null hin. Wir haben eine Funktion gegeben, ja, und wir haben eine Nullstelle schon gefunden. Und wir möchten weitere Nullstellen finden und dazu möchten wir den Funktionsterm durch x minus Nullstelle teilen. Das ist also eine Polynomdivision und die können wir effektiv mit dem Horner-Schema ausführen. Dazu schreiben wir die Koeffizienten der Potenzen von x in eine Zeile. Wir fangen vorne an mit dem Koeffizienten von x hoch vier. Wenn da nichts steht, haben wir also einmal x hoch vier. Jetzt finden wir x hoch drei hier nicht, das heißt, wir haben Null mal x hoch drei da stehen. Und das müssen wir hier unbedingt notieren, sonst funktioniert das Horner-Schema nicht. Dann haben wir minus 25-mal x Quadrat, wir haben minus 60-mal x und minus 36-mal x hoch Null. Und weil x hoch Null eins ist, schreiben wir das nicht hin. Dann können wir hier vorne die Nullstelle hinschreiben. X gleich minus eins. Und zur besseren Orientierung schreiben wir zwei Linien hier hin. Oder zeichnen diese Linien. Malen sie, wie auch immer. So, die erste Zahl wird übernommen. Dann multiplizieren wir diese Zahl mit der Nullstelle und schreiben das Ergebnis hier hin. Das Ergebnis ist minus eins. Wir addieren beide Zahlen, die hier in dieser Spalte stehen und es kommt minus eins heraus. Wir multiplizieren minus eins mit der Nullstelle und wir erhalten plus eins. Wir addieren diese beiden Zahlen und haben minus 24. 24-mal minus eins ist plus 24. Wir addieren diese beiden Zahlen und erhalten minus 36. Minus 36-mal minus eins ist plus 36. Wenn wir die beiden nun noch addieren, haben wir eine Null. Und das ist der Rest. Ja, die Polynomdivision geht auf, der Rest ist Null. Das ist ja immer dann, wenn wir durch x minus Nullstelle teilen. Das Ergebnispolynom erhalten wir, indem wir hier nun die Potenzen von x hinschreiben. Wir haben hier x hoch vier. Also hat das Ergebnispolynom als höchste Potenz die drei. Die höchste Potenz von x. Also haben wir einmal x hoch drei minus einmal x Quadrat minus 24-mal x und minus 36. Das ist unser Ergebnispolynom. So, dann haben wir gesehen, wie wir die Polynomdivision mit dem Horner-Schema durchführen können. Die Begründung dessen, was wir gesehen haben, ergibt sich übrigens aus der ganz normalen Polynomdivision. Wenn man nämlich das, was man tut so aufschreibt wie das Horner-Schema. Damit sind wir hier fertig. Ciao.

Polynomdivision mit dem Horner-Schema Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Polynomdivision mit dem Horner-Schema kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen beim Horner-Schema für die ersten zwei Koeffizienten.

    Tipps

    Bevor du die Einträge der zweiten und dritten Zeile bestimmst, notierst du in der ersten Spalte der Tabelle die bekannte Nullstelle.

    Ganz am Ende gibst du das resultierende Polynom an. Hierzu benötigst du alle Einträge der dritten Zeile.

    Lösung

    Bei dem Horner-Schema gehst du wie folgt vor:

    1. Als Erstes überträgst du die Polynomkoeffizienten in die zweite Spalte der ersten Zeile einer Tabelle mit zwei Spalten und drei Zeilen. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
    2. In die zweite Zeile der ersten Spalte schreibst du die bekannte Nullstelle mit einem "$x=$" davor.
    3. Du schreibst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile direkt unter diesem in die dritte Zeile.
    4. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
    5. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
    6. Für die übrigen Koeffizienten fährst du auf die gleiche Weise fort, bis du beim letzten Koeffizienten angekommen bist. Dort erhältst du schließlich die Summe $0$.
    7. Am Ende gibst du das gesuchte Polynom an. Dieses ist um einen Grad kleiner als das ursprüngliche Polynom und besitzt als Koeffizienten die Zahlen, die in der dritten Zeile des Horner-Schemas stehen.
  • Bestimme das Ergebnis der Polynomdivision mittels Horner-Schema.

    Tipps

    Gehe wie folgt vor:

    • Übertrage zunächst die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
    • In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.

    Fahre nun wie folgt fort:

    • Übernimm den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
    • Betrachte nun die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.

    Berechne die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.

    Der erste Eintrag der letzten Zeile ist der Koeffizient der größten Potenz des Ergebnisses der Polynomdivision.

    Kommt in einem Polynom einmal keine Potenz der Variablen $x$ vor, so ist der Koeffizient für diese Potenz von $x$ gleich Null.

    Lösung

    Du gehst wie folgt vor:

    1. Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
    2. In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.
    3. Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
    4. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
    5. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
    Genauso gehst du nun auch für die übrigen Lücken vor und erhältst das hier abgebildete Schema.

  • Ermittle die zweite und dritte Zeile des Horner-Schemas.

    Tipps

    Direkt unter dem zweiten Koeffizienten steht das Produkt der Nullstelle und der Zahl in der letzten Zeile unter dem ersten Koeffizienten.

    Die Zahl für die letzte Zeile unter dem zweiten Koeffizienten erhältst du, indem du den zweiten Koeffizienten und die Zahl direkt darunter addierst.

    Lösung

    Wir üben das Vorgehen am ersten Beispiel:

    Wir übertragen den ersten Koeffizienten in die letzte Zeile (unterhalb des ersten Koeffizienten):

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & & & \\ \hline & \color{#669900}{1} & & & \end{array}$

    Nun multiplizieren wir die Nullstelle $x=-2$ mit der $1$ in der letzten Zeile und schreiben das Produkt $-2$ in die zweite Zeile unter den zweiten Koeffizienten:

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$

    Jetzt addieren wir den zweiten Koeffizienten $4$ und die $-2$ darunter und tragen die Summe in die letzte Zeile derselben Spalte ein:

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & \color{#669900}{2} & & \end{array}$

    Genauso gehen wir für die übrigen Koeffizienten vor und erhalten folgende Tabelle:

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & -2 & -4 & 6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}$

    Für die übrigen drei Beispiele erhältst du folgende Lösungen:

    Beispiel 2

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -2 & -13 & -10 \\ x=-2 & & -2 & 8 & 10 \\ \hline & 1 & -4 & -5 & 0 \end{array}$

    Beispiel 3

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ x=-2 & & -2 & -2 & 12 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -3 & -6 & 8 \\ x=-2 & & -2 & 10 & -8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array}$

  • Erschließe die Einträge des Horner-Schemas.

    Tipps

    Ist die Nullstelle eines Polynoms $-5$, so teilst du bei der Polynomdivision durch $(x+5)$.

    Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.

    Lösung

    Wir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:

    • $(x^4-13x^2+36):(x+3)$
    Wir tragen zunächst alle Koeffizienten in die erste Zeile unserer Tabelle ein. Hierbei müssen wir Folgendes beachten:

    • Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.
    Es ist sehr wichtig, dass wir diese Nullen nicht vergessen.

    $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=\quad & & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$

    Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x+3)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=-3$:

    $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=-3& & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$

    Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:

    • Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
    • Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.
    $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=-3& & -3 & 9 & 12 & -36 \\ \hline & 1 & -3 & -4 &12 & 0 \end{array}$

    Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:

    $x^3-3x^2-4x+12$

  • Vervollständige das Horner-Schema.

    Tipps

    In die erste Zeile schreibst du die Koeffizienten der Potenzen von $x$. Beginne dabei mit dem Koeffizienten der größten Potenz.

    Die Einträge der zweiten Zeile erhältst du folgendermaßen:

    • Du multiplizierst die Zahl in der letzten Zeile der vorigen Spalte mit der Nullstelle $-2$.
    • Das Produkt schreibst du in die zweite Zeile.

    Die Zahl der letzten Zeile erhältst du, indem du die Zahlen der ersten und zweiten Zeile addierst.

    Lösung

    Du gehst wie folgt vor:

    1. Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
    2. Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
    3. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
    4. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile (also die zwei Zahlen dieser Spalte). Die Summe kommt in die dritte Zeile.
    Genauso gehst du für die übrigen Lücken vor und erhältst das hier abgebildete Horner-Schema.

    Das Ergebnis der Polynomdivision ist dann:

    $x^4+x^3-19x^2+11x+30$

  • Ermittle das Ergebnis der Polynomdivision.

    Tipps

    Achte auf das Vorzeichen der Nullstelle.

    Der Koeffizient von $x^0$ ist Null.

    Lösung

    Wir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:

    • $(x^5-5x^3+4x):(x-2)$
    Wir tragen zunächst alle Koeffizienten in die erste Zeile unserer Tabelle ein. Hierbei müssen wir Folgendes beachten:

    • Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.
    Es ist sehr wichtig, dass wir diese Nullen nicht vergessen.

    $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=\quad & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$

    Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x-2)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=2$:

    $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=2 & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$

    Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:

    • Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
    • Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.
    $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=2 & & 2 & 4 &-2 & -4 & 0 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 0 \end{array}$

    Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:

    $x^4+2x^3-x^2-2x$

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