Polynomdivision mit dem Horner-Schema
Polynomdivision mit dem Horner-Schema
Beschreibung Polynomdivision mit dem Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine bestimmte Darstellung von Polynomen, mit der man ziemlich viele interessante Sachen machen kann, die in diesem Video aber nicht vorkommen. Quasi als Abfallprodukt des Horner-Schemas ergibt sich eine Möglichkeit, eine Polynomdivision mit wenig Schreibaufwand durch zuführen. Diese Methode wird im Video gezeigt.
Polynomdivision mit dem Horner-Schema Übung
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Beschreibe das Vorgehen beim Horner-Schema für die ersten zwei Koeffizienten.
TippsBevor du die Einträge der zweiten und dritten Zeile bestimmst, notierst du in der ersten Spalte der Tabelle die bekannte Nullstelle.
Ganz am Ende gibst du das resultierende Polynom an. Hierzu benötigst du alle Einträge der dritten Zeile.
LösungBei dem Horner-Schema gehst du wie folgt vor:
- Als Erstes überträgst du die Polynomkoeffizienten in die zweite Spalte der ersten Zeile einer Tabelle mit zwei Spalten und drei Zeilen. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
- In die zweite Zeile der ersten Spalte schreibst du die bekannte Nullstelle mit einem "$x=$" davor.
- Du schreibst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile direkt unter diesem in die dritte Zeile.
- Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
- Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
- Für die übrigen Koeffizienten fährst du auf die gleiche Weise fort, bis du beim letzten Koeffizienten angekommen bist. Dort erhältst du schließlich die Summe $0$.
- Am Ende gibst du das gesuchte Polynom an. Dieses ist um einen Grad kleiner als das ursprüngliche Polynom und besitzt als Koeffizienten die Zahlen, die in der dritten Zeile des Horner-Schemas stehen.
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Bestimme das Ergebnis der Polynomdivision mittels Horner-Schema.
TippsGehe wie folgt vor:
- Übertrage zunächst die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
- In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.
Fahre nun wie folgt fort:
- Übernimm den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
- Betrachte nun die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
Berechne die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
Der erste Eintrag der letzten Zeile ist der Koeffizient der größten Potenz des Ergebnisses der Polynomdivision.
Kommt in einem Polynom einmal keine Potenz der Variablen $x$ vor, so ist der Koeffizient für diese Potenz von $x$ gleich Null.
LösungDu gehst wie folgt vor:
- Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
- In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.
- Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
- Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
- Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
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Ermittle die zweite und dritte Zeile des Horner-Schemas.
TippsDirekt unter dem zweiten Koeffizienten steht das Produkt der Nullstelle und der Zahl in der letzten Zeile unter dem ersten Koeffizienten.
Die Zahl für die letzte Zeile unter dem zweiten Koeffizienten erhältst du, indem du den zweiten Koeffizienten und die Zahl direkt darunter addierst.
LösungWir üben das Vorgehen am ersten Beispiel:
Wir übertragen den ersten Koeffizienten in die letzte Zeile (unterhalb des ersten Koeffizienten):
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & & & \\ \hline & \color{#669900}{1} & & & \end{array}$
Nun multiplizieren wir die Nullstelle $x=-2$ mit der $1$ in der letzten Zeile und schreiben das Produkt $-2$ in die zweite Zeile unter den zweiten Koeffizienten:
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$
Jetzt addieren wir den zweiten Koeffizienten $4$ und die $-2$ darunter und tragen die Summe in die letzte Zeile derselben Spalte ein:
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & \color{#669900}{2} & & \end{array}$
Genauso gehen wir für die übrigen Koeffizienten vor und erhalten folgende Tabelle:
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & -2 & -4 & 6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}$
Für die übrigen drei Beispiele erhältst du folgende Lösungen:
Beispiel 2
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -2 & -13 & -10 \\ x=-2 & & -2 & 8 & 10 \\ \hline & 1 & -4 & -5 & 0 \end{array}$
Beispiel 3
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ x=-2 & & -2 & -2 & 12 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$
Beispiel 4
$\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -3 & -6 & 8 \\ x=-2 & & -2 & 10 & -8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array}$
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Erschließe die Einträge des Horner-Schemas.
TippsIst die Nullstelle eines Polynoms $-5$, so teilst du bei der Polynomdivision durch $(x+5)$.
Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.
LösungWir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:
- $(x^4-13x^2+36):(x+3)$
- Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.
$\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=\quad & & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$
Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x+3)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=-3$:
$\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=-3& & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$
Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:
- Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
- Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:
$x^3-3x^2-4x+12$
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Vervollständige das Horner-Schema.
TippsIn die erste Zeile schreibst du die Koeffizienten der Potenzen von $x$. Beginne dabei mit dem Koeffizienten der größten Potenz.
Die Einträge der zweiten Zeile erhältst du folgendermaßen:
- Du multiplizierst die Zahl in der letzten Zeile der vorigen Spalte mit der Nullstelle $-2$.
- Das Produkt schreibst du in die zweite Zeile.
Die Zahl der letzten Zeile erhältst du, indem du die Zahlen der ersten und zweiten Zeile addierst.
LösungDu gehst wie folgt vor:
- Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
- Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
- Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
- Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile (also die zwei Zahlen dieser Spalte). Die Summe kommt in die dritte Zeile.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist dann:
$x^4+x^3-19x^2+11x+30$
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Ermittle das Ergebnis der Polynomdivision.
TippsAchte auf das Vorzeichen der Nullstelle.
Der Koeffizient von $x^0$ ist Null.
LösungWir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:
- $(x^5-5x^3+4x):(x-2)$
- Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.
$\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=\quad & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$
Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x-2)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=2$:
$\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=2 & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$
Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:
- Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
- Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:
$x^4+2x^3-x^2-2x$