Polynomdivision mit dem Horner-Schema

Polynomdivision mit dem Horner-Schema Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim Horner-Schema für die ersten zwei Koeffizienten.

  Tipps

  Bevor du die Einträge der zweiten und dritten Zeile bestimmst, notierst du in der ersten Spalte der Tabelle die bekannte Nullstelle.

  Ganz am Ende gibst du das resultierende Polynom an. Hierzu benötigst du alle Einträge der dritten Zeile.

  Lösung

  Bei dem Horner-Schema gehst du wie folgt vor:

  1. Als Erstes überträgst du die Polynomkoeffizienten in die zweite Spalte der ersten Zeile einer Tabelle mit zwei Spalten und drei Zeilen. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
  2. In die zweite Zeile der ersten Spalte schreibst du die bekannte Nullstelle mit einem "$x=$" davor.
  3. Du schreibst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile direkt unter diesem in die dritte Zeile.
  4. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
  5. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.
  6. Für die übrigen Koeffizienten fährst du auf die gleiche Weise fort, bis du beim letzten Koeffizienten angekommen bist. Dort erhältst du schließlich die Summe $0$.
  7. Am Ende gibst du das gesuchte Polynom an. Dieses ist um einen Grad kleiner als das ursprüngliche Polynom und besitzt als Koeffizienten die Zahlen, die in der dritten Zeile des Horner-Schemas stehen.

• Bestimme das Ergebnis der Polynomdivision mittels Horner-Schema.

  Tipps

  Gehe wie folgt vor:

  • Übertrage zunächst die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
  • In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.

  Fahre nun wie folgt fort:

  • Übernimm den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
  • Betrachte nun die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.

  Berechne die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.

  Der erste Eintrag der letzten Zeile ist der Koeffizient der größten Potenz des Ergebnisses der Polynomdivision.

  Kommt in einem Polynom einmal keine Potenz der Variablen $x$ vor, so ist der Koeffizient für diese Potenz von $x$ gleich Null.

  Lösung

  Du gehst wie folgt vor:

  1. Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
  2. In die erste Spalte trägst du die bekannte Nullstelle des Polynoms ein.
  3. Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
  4. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
  5. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile. Die Summe kommt in die dritte Zeile.

  Genauso gehst du nun auch für die übrigen Lücken vor und erhältst das hier abgebildete Schema.

• Ermittle die zweite und dritte Zeile des Horner-Schemas.

  Tipps

  Direkt unter dem zweiten Koeffizienten steht das Produkt der Nullstelle und der Zahl in der letzten Zeile unter dem ersten Koeffizienten.

  Die Zahl für die letzte Zeile unter dem zweiten Koeffizienten erhältst du, indem du den zweiten Koeffizienten und die Zahl direkt darunter addierst.

  Lösung

  Wir üben das Vorgehen am ersten Beispiel:

  Wir übertragen den ersten Koeffizienten in die letzte Zeile (unterhalb des ersten Koeffizienten):

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & & & \\ \hline & \color{#669900}{1} & & & \end{array}$

  Nun multiplizieren wir die Nullstelle $x=-2$ mit der $1$ in der letzten Zeile und schreiben das Produkt $-2$ in die zweite Zeile unter den zweiten Koeffizienten:

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$

  Jetzt addieren wir den zweiten Koeffizienten $4$ und die $-2$ darunter und tragen die Summe in die letzte Zeile derselben Spalte ein:

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & \color{#669900}{-2} & & \\ \hline & 1 & \color{#669900}{2} & & \end{array}$

  Genauso gehen wir für die übrigen Koeffizienten vor und erhalten folgende Tabelle:

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ x=-2 & & -2 & -4 & 6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}$

  Für die übrigen drei Beispiele erhältst du folgende Lösungen:

  Beispiel 2

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -2 & -13 & -10 \\ x=-2 & & -2 & 8 & 10 \\ \hline & 1 & -4 & -5 & 0 \end{array}$

  Beispiel 3

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ x=-2 & & -2 & -2 & 12 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{l|rrrr} & 1 & -3 & -6 & 8 \\ x=-2 & & -2 & 10 & -8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array}$

• Erschließe die Einträge des Horner-Schemas.

  Tipps

  Ist die Nullstelle eines Polynoms $-5$, so teilst du bei der Polynomdivision durch $(x+5)$.

  Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.

  Lösung

  Wir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:

  • $(x^4-13x^2+36):(x+3)$

  Wir tragen zunächst alle Koeffizienten in die erste Zeile unserer Tabelle ein. Hierbei müssen wir Folgendes beachten:

  • Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.

  Es ist sehr wichtig, dass wir diese Nullen nicht vergessen.

  $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=\quad & & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$

  Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x+3)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=-3$:

  $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=-3& & & & & \\ \hline & & & & & \end{array}$

  Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:

  • Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
  • Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.

  $\begin{array}{l|rrrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ x=-3& & -3 & 9 & 12 & -36 \\ \hline & 1 & -3 & -4 &12 & 0 \end{array}$

  Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:

  $x^3-3x^2-4x+12$

• Vervollständige das Horner-Schema.

  Tipps

  In die erste Zeile schreibst du die Koeffizienten der Potenzen von $x$. Beginne dabei mit dem Koeffizienten der größten Potenz.

  Die Einträge der zweiten Zeile erhältst du folgendermaßen:

  • Du multiplizierst die Zahl in der letzten Zeile der vorigen Spalte mit der Nullstelle $-2$.
  • Das Produkt schreibst du in die zweite Zeile.

  Die Zahl der letzten Zeile erhältst du, indem du die Zahlen der ersten und zweiten Zeile addierst.

  Lösung

  Du gehst wie folgt vor:

  1. Zunächst überträgst du die Polynomkoeffizienten in die erste Zeile der Tabelle. Du beginnst mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz.
  2. Du übernimmst den ersten Koeffizienten der ersten Zeile in die dritte Zeile.
  3. Nun betrachtest du die zweite Zeile des zweiten Koeffizienten. Den Eintrag erhältst du, indem du die Zahl in der dritten Zeile des vorigen Koeffizienten mit der Nullstelle multiplizierst und das Produkt hier einträgst.
  4. Nun berechnest du die Zahl für die dritte Zeile des zweiten Koeffizienten. Hier addierst du nun den zweiten Koeffizienten und den Eintrag der zweiten Zeile (also die zwei Zahlen dieser Spalte). Die Summe kommt in die dritte Zeile.

  Genauso gehst du für die übrigen Lücken vor und erhältst das hier abgebildete Horner-Schema.

  Das Ergebnis der Polynomdivision ist dann:

  $x^4+x^3-19x^2+11x+30$

• Ermittle das Ergebnis der Polynomdivision.

  Tipps

  Achte auf das Vorzeichen der Nullstelle.

  Der Koeffizient von $x^0$ ist Null.

  Lösung

  Wir erstellen nun das Horner-Schema für die folgende Polynomdivision:

  • $(x^5-5x^3+4x):(x-2)$

  Wir tragen zunächst alle Koeffizienten in die erste Zeile unserer Tabelle ein. Hierbei müssen wir Folgendes beachten:

  • Wenn zwischen zwei Potenzen von $x$ eine Potenz fehlt, so ist der Koeffizient dieser Potenz gleich Null.

  Es ist sehr wichtig, dass wir diese Nullen nicht vergessen.

  $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=\quad & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$

  Nun notieren wir uns die Nullstelle. Wird bei der Polynomdivision durch $(x-2)$ geteilt, so ist die Nullstelle $x=2$:

  $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=2 & & & & & & \\ \hline & & & & & & \end{array}$

  Jetzt können wir die restlichen Einträge ermitteln:

  • Einträge der zweiten Zeile: Hierzu multiplizierst du jeweils die Nullstelle mit dem Eintrag in der letzten Zeile der vorigen Spalte.
  • Einträge der letzten Zeile: Hierzu addierst du jeweils die Zahlen in der ersten und zweiten Zeile derselben Spalte.

  $\begin{array}{l|rrrrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 & 0 \\ x=2 & & 2 & 4 &-2 & -4 & 0 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 0 \end{array}$

  Das Ergebnis der Polynomdivision ist also:

  $x^4+2x^3-x^2-2x$