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Pfadregel und Summenregel – Erklärung

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Martin Wabnik
Pfadregel und Summenregel – Erklärung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Pfadregel und Summenregel – Erklärung

Teilt man eine Ergebnismenge eines Zufallsversuchs zunächst in Ereignisse ein, so wird die Gesamtwahrscheinlichkeit des Zufallsversuchs - nämlich 1 - auf diese Ereignisse verteilt. Teilt man ein solches Ereignis in Unterereignisse auf, so wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses auf die Unterereignisse aufgeteilt. Dieser Vorgang begründet letztlich die Pfadmultiplikationsregel. Durch die elementare Summenregel für Ereignisse ist die Pfadadditionsregel begründet. Im Video möchte ich dir die Pfadmultiplikationsregel und die Pfadadditionsregel einmal an einem Beispiel erklären und auch durchrechnen. Ich wünsch dir viel Spaß dabei.

Transkript Pfadregel und Summenregel – Erklärung

Hallo. Es geht um diese beiden Regeln hier, die sich auf Baumdiagramme beziehen. Das sind also hier die formschönen Regeln, die auf die Namen Pfadmultiplikationsregel und Pfadadditionsregel hören. Was bedeutet das genau? Also, hier ist ein Baumdiagramm. Wir müssen eben überlegen: Was ist ein Pfad? Das ist zum Beispiel, wenn man hier vom Ursprung, oder von der Wurzel, des Baumdiagramms ausgeht und bis zum Ende durch geht, das ist Pfad. Also einmal über k bis zu ä, oder man kann auch hier unten entlang gehen über g, über g, bis zu bl. Das ist auch ein Pfad. So, und wenn man jetzt die Wahrscheinlichkeit eines Pfades bestimmen möchte, muss man entlang dieses Pfades multiplizieren. Das ist die Pfadmultiplikationsregel, das heißt also, wenn ich die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades hier bestimmen möchte, dann muss ich 0,Periode3×0,Periode3 rechnen. Möchte man die Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren und das ist die Pfadadditionsregel. Und damit ist die Sache hier eigentlich auch schon fertig. Also, wenn du nur daran interessiert bist, was du in deinen Taschenrechner eingeben musst, kannst du jetzt ausschalten. Wir haben einen Zufallsversuch, den ich im letzten Film gezeigt habe, und hier ist die Ergebnismenge dieses Zufallsversuchs. Wie der genau aussieht, ist jetzt egal, weil es nur darum geht, das Baumdiagramm zu diesem Zufallsversuch zu interpretieren. Also, wir können uns überlegen: Was bedeutet ein solches Baumdiagramm? Nun ein Baumdiagramm strukturiert ja die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs. Und das geschieht ja so, dass hier zum Beispiel dieser Ast, an dem jetzt k steht und von dem noch etwas Weiteres ausgeht, der steht ja für ein Ereignis. Hier also das Ereignis, dass diese Paare hier mit k beginnen. So haben wir das aufgebaut. Also, das liegt daran, dass der Zufallsversuch so war, wie er halt war. Jetzt haben wir einmal festgestellt, dass 1/3 der Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 des Zufallsversuchs auf das Ereignis rot entfällt, also, 0,Periode3 ist ja 1/3, also 1/3 der Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 entfällt auf dieses Ereignis. Und dann haben wir gesehen: 1/3 der Wahrscheinlichkeit, die jetzt auf diesem Ereignis liegt, gehört zu diesem Ergebnis k, ä, und um jetzt zu wissen: Wie wahrscheinlich ist denn jetzt dieses Ergebnis? Dazu müssen wir nachvollziehen, was wir gemacht haben. 1/3 ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses und 1/3 davon entfällt auf k, ä, das heißt, es ist ein Drittel eines Drittels und das berechnet man, wie du in der Bruchrechnung gelernt hast, mit 1/3×1/3. Das ist also die Pfadmultiplikationsregel. Die bezieht sich aber auch dann auf Pfade, wenn die Pfade ein Ereignis darstellen. Also, dieser Pfad über k und 1 oder 2 stellt ja dieses Ereignis dar, indem die beiden Ergebnisse k, 1 und k,2 zusammengefasst sind. Auch da gilt die Pfadmultiplikationsregel, weil wir hier die Bruchrechnung anwenden können. 1/3 der Gesamtwahrscheinlichkeit entfällt auf das rote Ereignis, auf das Ereignis k, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/3 und 2/3 davon, das heißt, hier steht ja dann auch 0,Periode6, das ist ja 2/3. Also, 2/3 der Wahrscheinlichkeit, die hier über diesen Ast ankommt, geht zu blau und auch hier haben wir wieder 2/3 eines Drittels und das ist 2/9, also 1/3×2/3. Das ist die Pfadmultiplikationsregel. Wenn wir jetzt ein Ergebnis, hier zum Beispiel kl, und ein weiteres Ergebnis, zum Beispiel das Ergebnis m, B, zu einem Ereignis zusammenfassen wollen. Auch das mache ich mal eben vor. Das ist dann grün. Was für einen Sinn das auch immer macht, ist jetzt mal egal. Dann haben wir hier und hier die beiden grünen Ergebnisse, die haben wir zu einem Ereignis zusammengefasst. Dann können wir hier eben auch noch mal überlegen: Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse? Das ist also hier 1/9, und da haben wir 1/3 der gesamten Wahrscheinlichkeit, entfällt auf dieses Ereignis, das die Paare zusammenfasst, die mit m beginnen. Die Hälfte davon entfällt auf das Ergebnis m, B. Dann haben wir also die Hälfte eines Drittels, das berechnet man indem man 1/3×½ rechnet, das ist also 1/6. Diese Wahrscheinlichkeit ist 1/6, und wenn wir jetzt diese beiden Ergebnisse zu einem Ereignis zusammenfassen, müssen wir 1/9 + 1/6 rechnen. Warum? Weil die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen dadurch berechnet werden, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, addiert. Das haben wir in der elementaren Summenregel gemacht. Deshalb müssen wir hier auch addieren und das ist dann eigentlich die Pfadadditionsregel. Die gilt auch, wenn man jetzt hier dieses blaue Ereignis und das Ergebnis m, B zu einem Ereignis zusammenfasst. Auch das kann man machen. Naja und dann muss man auch die Wahrscheinlichkeiten dieses blauen Ergebnisses und dieses blauen Ereignisses und des Ergebnisses m, B addieren. Letzten Endes also alle Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zum Ereignis gehören addieren und das ist dann, wenn man es hier im Baumdiagramm darstellt, die Pfadadditionsregel. Ja, das war es dazu. Viel Spaß damit, tschüs.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. yaaaaaaay das Video ist gut erklärt :)

    Von Ivonne L., vor etwa einem Monat
  2. Das hat ßaaß gemacht

    Von Moussanouh5, vor etwa einem Jahr
  3. Supi

    Von Milan David R., vor etwa 2 Jahren
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