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Pfadregel und Summenregel – Beispiel

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Pfadregel und Summenregel – Beispiel
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Pfadregel und Summenregel – Beispiel

Mit der Pfadmultiplikationsregel (Produktregel, Pfadregel) und der Pfadadditionsregel (Summenregel) kannst du Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen ausrechnen. Nach der Pfadmultiplikationsregel erhältst du die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst. Die Pfadadditionsregel besagt: Du erhältst die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten der zum Ereignis gehörenden Pfade addierst.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Bin grad von Rio de janero (Urlaub) zurück und mach erstmal Sofatutor.
    AUF EHRENBRUDERBASIS

    Von Ricky1012, vor etwa 2 Jahren
  2. nicht schlecht

    Von Torsten Feller, vor mehr als 4 Jahren
  3. Super Video ;)

    Von Der Mü, vor fast 5 Jahren
  4. SUPER! kann ich nur weiterempfehlen! also an alle, die in die 7. Klasse gehen und Wahrscheinlichkeiten nicht so ganz verstanden haben, hier wird es optimal erklärt! Herzlichen Dank Herr Wabnik.

    Von Mosers Home, vor mehr als 5 Jahren

Pfadregel und Summenregel – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Pfadregel und Summenregel – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse.

    Tipps

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuches. Es steht am Ende eines Pfades.

    Beachte: Wenn du alle berechneten Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

    Hier siehst du beispielhaft die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis blau und blau:

    $P(($b,b$)) = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2$

    Lösung

    Die Pfadmultiplikationsregel besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

    Ein Pfad eines Baumdiagramms führt zu einem Ergebnis.

    Bei dem dargestellten Baum führt der Pfad über $6$ und noch einmal $6$ zu dem Ergebnis $(6;6)$. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

    $P(6;6)=\frac16\cdot \frac16=\frac1{36}$

    Ebenso kannst du die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen multiplizierst. Dies führt zu

    • $P(6;\bar 6)=\frac16\cdot \frac56=\frac5{36}$
    • $P(\bar 6;6)=\frac56\cdot \frac16=\frac5{36}$
    • $P(\bar 6;\bar 6)=\frac56\cdot \frac56=\frac{25}{36}$
    Zur Kontrolle kannst du diese Wahrscheinlichkeiten addieren. Es muss $1$ herauskommen:

    $\frac1{36}+\frac5{36}+\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{36}{36}$ ✓

  • Gib die Mengenschreibweise des Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche Ergebnisse in dem jeweiligen Ereignis liegen.

    Das Ereignis $E_3$: „keine $6$“ beispielsweise enthält nur ein Ergebnis, nämlich $(\bar6;\bar6)$.

    Verwende die Pfadmultiplikationsregel:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

    Verwende die Pfadadditionsregel:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

    Lösung

    Die Pfadadditionsregel besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

    Das bedeutet, dass du dir zu jedem Ereignis erst einmal klarmachen musst, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören.

    $E_1$: „im zweiten Wurf $\bar 6$“

    • $E_1=\{(6;\bar 6),(\bar 6;\bar 6)\}$
    • Damit ist $P(E_1)=\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{30}{36}=\frac56$.
    $E_2$: „nicht zweimal $\bar 6$“

    • $E_2=\{(6;6),(6;\bar 6),(\bar 6;6)\}$
    • Damit ist $P(E_2)=\frac1{36}+\frac5{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}$.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Schreibe dir auf, welche Ergebnisse zu dem jeweiligen Ereignis gehören und berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

    Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses mit Hilfe der Pfadadditionsregel bestimmen.

    Die Pfadadditionsregel besagt, dass du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses, die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addierst.

    • Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
    • Ein Ereignis ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.
    • „mindestens einmal“ heißt in diesem Fall einmal oder zweimal

    Ein Ereignis kann durchaus auch nur aus einem Ergebnis bestehen.

    Lösung

    Die Pfadadditionsregel besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

    Nun musst du dir also erstmal klarmachen, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören.

    A: Es wird genau einmal $6$ gewürfelt.

    • $A=\{(6;\bar 6);(\bar 6;6)\}$
    • Damit ist $P(A)=\frac5{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac5{18}$.
    B: Es wird mindesten einmal $\bar 6$ gewürfelt.

    • $B=\{(6;\bar 6);(\bar 6;6); (\bar 6;\bar 6)\}$
    • Damit ist $P(B)=\frac5{36}+\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{35}{36}$.
    C: Es wird das Paar $(6;\bar 6)$ gewürfelt.

    Ein Ereignis kann auch nur aus einem Element bestehen.

    • $C=\{(6;\bar 6)\}$
    • Damit ist $P(C)=\frac5{36}$.
    Hinweis: Jedes Ergebnis ist ein Ereignis, aber nicht jedes Ereignis muss ein Ergebnis sein.

  • Wende die Pfadmultiplikationsregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu berechnen.

    Tipps

    Erstelle dir zunächst ein Baumdiagramm.

    Beachte, dass gezogene Kugeln nicht zurück gelegt werden. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich ändern.

    Hier siehst du das zugehörige Baumdiagramm.

    Die (vier!) möglichen Ergebnisse siehst du jeweils am Ende eines Pfades.

    Verwende die Pfadmultiplikationsregel:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

    Lösung

    Zu dem obigen Zufallsversuch solltest du zunächst ein Baumdiagramm erstellen. Beachte dabei, dass die im ersten Zug gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird. Ein solches Modell wird als Modell ohne Zurücklegen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug ändern sich, da sich die Anzahl der Kugeln in der Urne ändert.

    Nun kannst du, unter Verwendung der Pfadmultiplikationsregel, die Wahrscheinlichkeiten der (vier!) Ergebnisse berechnen. Du multiplizierst hierfür die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades:

    • $P($G,G$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}$
    • $P($G,R$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}$
    • $P($R,G$)=\frac25\cdot \frac34=\frac6{20}=\frac3{10}$
    • $P($R,R$)=\frac25\cdot \frac14=\frac2{20}=\frac1{10}$
    Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du in der Summe $1$:

    $\frac3{10}+\frac3{10}+\frac3{10}+\frac1{10}=\frac{10}{10}=1$ ✓

  • Benenne die Pfadmultiplikations- sowie die Pfadadditionsregel.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(6;6)$ ist gegeben durch:

    $P(6;6)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}$.

    Wenn du ein Baumdiagramm so zeichnest, kannst du dir – stark verkürzt – merken:

    • von links nach rechts werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert und
    • von oben nach unten werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.
    Lösung

    Es gibt zwei Regeln zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Baumdiagrammen:

    • Mit der Pfadmultiplikationsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.
    • Mit der Pfadadditionsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
    Die Pfadmultiplikationsregel wird auch als Produktregel oder Pfadregel oder 1. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

    Ein Pfad eines Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis. Bei dem dargestellten Baum führt der Pfad über $6$ und noch einmal $6$ zu dem Ergebnis $(6;6)$. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

    $P(6;6)=\frac16\cdot \frac16=\frac1{36}$

    Die Pfadadditionsregel wird auch als Summenregel oder 2. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

    Man könnte auch sagen „... durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen“.

    Wenn du einen Baum wie hier abgebildet zeichnest, kannst du dir – stark verkürzt – merken:

    • Von links nach rechts werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
    • Von oben nach unten werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.
  • Wende die Pfadregeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

    Tipps

    Bestimme zuerst alle Pfade, die zu dem Ereignis passen.

    Berechne dann die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Diese darfst du dann wegen der Pfadadditionsregel addieren.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    E: Es wird höchstens eine grüne Kugel gezogen.

    Das bedeutet, dass entweder eine oder keine grüne Kugel gezogen wird.

    • $E=\{($G,R$),($R,G$),($R,R$)\}$
    • Dann ist $P(E)=0,3+0,3+0,1=0,7$.
    Lösung

    Hier siehst du nochmals die Pfadadditionsregel:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

    Um sie anzuwenden, musst du dir klarmachen, welche Ergebnisse zu dem jeweiligen Ereignis gehören.

    A: Es wird genau eine rote Kugel gezogen.

    • $A=\{(G,R),(R,G)\}$
    • Dann ist $P(A)=0,3+0,3=0,6$.
    B: Es wird genau eine grüne Kugel gezogen.

    • $B=\{(G,R),(R,G)\}$
    • Dann ist $P(B)=0,3+0,3=0,6$.
    Übrigens: Es gilt $A=B$, also auch $P(A) = P(B)$.

    C: Es wird mindestens eine grüne Kugel gezogen.

    • $C=\{(G,G), (G,R),(R,G)\}$
    • Dann ist $P(C)=0,3+0,3+0,3=0,9$.
    Du hättest hier übrigens auch das Gegenereignis („Beide Kugeln sind rot“) betrachten und die entsprechende Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahieren können.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, ist $\frac25\cdot\frac14 = \frac1{10} = 0,1.$ Dann berechnest du $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0,1 = 0,9$.

    D: Die zweite gezogene Kugel ist rot.

    • $D=\{(G,R),(R,R)\}$
    • Dann ist $P(D)=0,3+0,1=0,4$.
    Hinweis: Bei all diesen Aufgaben wurde natürlich auch die Pfadmultiplikationsregel genutzt.

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