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Pfadregel und Summenregel 10:55 min

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Transkript Pfadregel und Summenregel

Hallo. Ich bin Lena und ich erkläre Dir im Folgenden, was es mit einem Baumdiagramm auf sich hat. Stell Dir vor, Du hast eine Tüte mit 10 roten und 20 grünen Bonbons. Am liebsten magst Du die roten. Nach zweimaligem Reinpacken hast Du zufällig zwei mal rot gezogen. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug ebenfalls ein rotes zu bekommen? Dieses Rätsel lässt sich anhand eines Baumdiagramms lösen. Du solltest also bereits mit den Begriffen "Wahrscheinlichkeit" und "Einmalige Zufallsexperimente" vertraut sein. Ich werde Dir erklären, was ein Baumdiagramm ist und wie man eins erstellt. Der Ausgangspunkt eines Baumdiagramms ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Ich habe mich für das Experiment "Drei Mal ziehen aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln" entschieden. Du ziehst dreimal, ohne hinzusehen und legst die Kugeln nicht zurück. Im ersten Zug gibt es zwei verschiedene Pfade. Nämlich eine rote und eine grüne Kugel zu ziehen. Beim zweiten Zug gibt es wieder zwei verschiedene Pfade. Insgesamt haben wir nach dem zweiten Zug vier verschiedene Pfade. Im dritten Zug haben wir pro Pfad vom zweiten Zug wieder zwei Möglichkeiten. Fertig ist unser Grundgerüst des Baumdiagramms. Man kann sehen, dass man acht verschiedene Ergebnisse erhält. Was nun noch fehlt, ist die Beschriftung an den Pfaden und die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Insgesamt sind neun Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug rot zu ziehen, ist somit 5/9. Die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, ist 4/9. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden an den zugehörigen Pfad geschrieben. Im zweiten Zug fehlt eine Kugel. Es gibt nur noch acht in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, grün zu ziehen, nachdem bereits rot gezogen wurde ist somit 4/8, da noch alle vier grünen Kugeln in der Urne liegen. Eine rote zu ziehen, nachdem bereits eine rote gezogen wurde, beträgt ebenfalls 4/8, da nur noch vier in der Urne liegen. Genau so gehst Du vor, wenn Du die Pfade betrachtest, nachdem im ersten Zug eine grüne Kugel gezogen wurde. Im dritten Zug gehst Du genauso vor wie in den vorherigen. Die Gesamtzahl der Kugeln verringert sich auf sieben. Nun schaust Du bei jedem Ergebnis des zweiten Zuges, wie viele Kugeln von welcher Farbe bereits herausgenommen wurden, wenn Du die zugehörigen Pfade entlang gehst. Entsprechend unterschiedlich fallen die Wahrscheinlichkeiten aus, eine rote oder eine grüne Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten im dritten Zug werden wie zuvor an die Pfade geschrieben. Jetzt siehst Du ein Baumdiagramm mit insgesamt acht Ergebnissen, die jeweils eine Pfadlänge von drei haben. Es handelt sich hierbei also um ein dreistufiges Zufallsexperiment. Jeder Pfad hat die Länge drei und führt zu einem Ergebnis des dreistufigen Zufallsexperiments. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu berechnen, benutzt man die sogenannte Pfadregel. Sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, drei mal rot zu ziehen, P(rrr) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42 ist rund 0,119. Und das ist ungefähr zwölf Prozent. Für den zweiten Pfad ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(rrg) = 10/63. Das ist ungefähr 0,159 und das ist ungefähr 16 Prozent. Für das Ergebnis rot grün rot ebenfalls 10/63 und so weiter. Wir interessieren uns jetzt für Ereignis E1, zweimal rot zu ziehen. Um das zu berechnen, musst Du alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, wo genau zweimal rot erscheint, aufsummieren. Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit P(E1) = P(rrg) + P(rgr) + P(grr), da bei diesen Ergebnissen rot genau zwei Mal erscheint. Und das = 3 * 10/63 = 10/21, das ist ungefähr 0,4761 und das = 47,61%. Dies nennt man die Summenregel. Sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Hier kann man nun gut den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis sehen. Das Ergebnis sind alle möglichen Ausgänge des mehrstufigen Zufallsexperiments. Zusammen ergeben sie die Ergebnismenge. Ein Ereignis ist eine Menge, von der man eine Wahrscheinlichkeit berechnen will. Sie ist in der Ergebnismenge enthalten, somit eine Teilmenge der Ergebnismenge. Zurück zum Baumdiagramm. Wenn Du dreimal aus einer Urne Kugeln ziehst und diese wieder zurück legst, schaut das Baumdiagramm etwas anders aus. Nach wie vor ziehst Du aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln. Du notierst Dir die gezogenen Kugeln und legst sie wieder in die Urne zurück. Die Anzahl der Kugeln in der Urne verändert sich nicht. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine grüne oder eine rote Kugel im ersten, zweiten oder dritten Zug zu ziehen, ist immer die gleiche. Für eine grüne Kugel ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 4/9 und für eine rote 5/9. Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse erhältst Du durch Anwendung der Pfadregel. Jetzt interessieren wir uns für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2), höchstens eine grüne Kugel nach drei Zügen gezogen zu haben. Dazu benötigst Du die Summenregel. Du addierst alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, in denen höchstens eine grüne Kugel auftaucht. Es ergibt sich die Rechnung P(E2) = P(rrr) + P(rrg) + P(rgr) + P(grr) = 125/729 + 3 * 100/729 = 425/729. Und das ist ungefähr 0,5829 und das = 58,29%. Okay, was hast Du gelernt: Ich habe Dir gezeigt, was ein Baumdiagramm ist, wozu man es braucht und wie man es erstellt. Dabei ist zu unterscheiden, ob man ein Baumdiagramm mit oder ohne Zurücklegen erstellt. Mit der Pfadregel kann man die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse berechnen. Dazu werden die Einzelwahrscheinlichkeiten an den zugehörigen Pfaden multipliziert. Mit der Summenregel hast Du gelernt, die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse zu berechnen. Dazu werden alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis passen, aufsummiert. Mit dem Wissen können wir jetzt die Eingangsfrage nach der Bonbontüte klären. Ausgangspunkt ist eine Tüte mit zehn roten und 20 grünen Bonbons. Sie entspricht einer Urne mit roten und grünen Kugeln. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander ein rotes Bonbon zu ziehen. Zuerst musst Du Dir überlegen, ob diese Situation einem Experiment mit oder ohne Zurücklegen entspricht. Wir nehmen mal an, dass Du die Bonbons auch isst, nachdem Du sie gezogen hast. Also handelt es sich hierbei um ein Ziehen aus einer Tüte ohne Zurücklegen. Zuerst kommt das Gerüst. Es gibt immer zwei verschiedene Pfade rot und grün. Dann musst Du Dir die Einzelwahrscheinlichkeiten an den Pfaden überlegen. Da wir das Experiment ohne Zurücklegen modelliert haben, verringert sich die Gesamtzahl der Bonbons nach jedem Zug um eins. Ebenso kann sich die Anzahl der roten und grünen Bonbons verringern, je nachdem, was zuvor gezogen wurde. Da wir uns nur für das Ergebnis dreimal rot interessieren, brauchen wir die anderen Ergebnisse nicht beachten. Die Wahrscheinlichkeit, dass Du dreimal hintereinander rot ziehst, ist demnach 6/203. Das ist ungefähr 0,0295 und das ist ungefähr 3%. Also recht gering. Da lohnt es sich doch, auch mal ein grünes zu essen. Das war es mit der kleinen Lektion über Baumdiagramme und den Verzehr von Bonbons. Bis bald.

4 Kommentare
  1. Default

    Jetzt habe ich es richtig verstanden

    Von Luwi12529, vor 8 Monaten
  2. Default

    Sehr gutes Video. Hat mir sehr geholfen, danke:-)

    Von Marie M., vor 8 Monaten
  3. Default

    Du machst das sehr gut, übersichtlich und strukturiert♡

    Von Mariarudolf, vor etwa einem Jahr
  4. P1000305

    Gaaaanz tolles Video, endlich hab ich die Aufgaben mit "ohne Zurücklegen" verstanden. :)
    Weiter so! <3

    Von Schoki 1, vor mehr als 3 Jahren

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