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Pfadregel und Summenregel 10:55 min

Textversion des Videos

Transkript Pfadregel und Summenregel

Hallo. Ich bin Lena und ich erkläre Dir im Folgenden, was es mit einem Baumdiagramm auf sich hat. Stell Dir vor, Du hast eine Tüte mit 10 roten und 20 grünen Bonbons. Am liebsten magst Du die roten. Nach zweimaligem Reinpacken hast Du zufällig zwei mal rot gezogen. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug ebenfalls ein rotes zu bekommen? Dieses Rätsel lässt sich anhand eines Baumdiagramms lösen. Du solltest also bereits mit den Begriffen "Wahrscheinlichkeit" und "Einmalige Zufallsexperimente" vertraut sein. Ich werde Dir erklären, was ein Baumdiagramm ist und wie man eins erstellt. Der Ausgangspunkt eines Baumdiagramms ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Ich habe mich für das Experiment "Drei Mal ziehen aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln" entschieden. Du ziehst dreimal, ohne hinzusehen und legst die Kugeln nicht zurück. Im ersten Zug gibt es zwei verschiedene Pfade. Nämlich eine rote und eine grüne Kugel zu ziehen. Beim zweiten Zug gibt es wieder zwei verschiedene Pfade. Insgesamt haben wir nach dem zweiten Zug vier verschiedene Pfade. Im dritten Zug haben wir pro Pfad vom zweiten Zug wieder zwei Möglichkeiten. Fertig ist unser Grundgerüst des Baumdiagramms. Man kann sehen, dass man acht verschiedene Ergebnisse erhält. Was nun noch fehlt, ist die Beschriftung an den Pfaden und die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Insgesamt sind neun Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug rot zu ziehen, ist somit 5/9. Die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, ist 4/9. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden an den zugehörigen Pfad geschrieben. Im zweiten Zug fehlt eine Kugel. Es gibt nur noch acht in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, grün zu ziehen, nachdem bereits rot gezogen wurde ist somit 4/8, da noch alle vier grünen Kugeln in der Urne liegen. Eine rote zu ziehen, nachdem bereits eine rote gezogen wurde, beträgt ebenfalls 4/8, da nur noch vier in der Urne liegen. Genau so gehst Du vor, wenn Du die Pfade betrachtest, nachdem im ersten Zug eine grüne Kugel gezogen wurde. Im dritten Zug gehst Du genauso vor wie in den vorherigen. Die Gesamtzahl der Kugeln verringert sich auf sieben. Nun schaust Du bei jedem Ergebnis des zweiten Zuges, wie viele Kugeln von welcher Farbe bereits herausgenommen wurden, wenn Du die zugehörigen Pfade entlang gehst. Entsprechend unterschiedlich fallen die Wahrscheinlichkeiten aus, eine rote oder eine grüne Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten im dritten Zug werden wie zuvor an die Pfade geschrieben. Jetzt siehst Du ein Baumdiagramm mit insgesamt acht Ergebnissen, die jeweils eine Pfadlänge von drei haben. Es handelt sich hierbei also um ein dreistufiges Zufallsexperiment. Jeder Pfad hat die Länge drei und führt zu einem Ergebnis des dreistufigen Zufallsexperiments. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu berechnen, benutzt man die sogenannte Pfadregel. Sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, drei mal rot zu ziehen, P(rrr) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42 ist rund 0,119. Und das ist ungefähr zwölf Prozent. Für den zweiten Pfad ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(rrg) = 10/63. Das ist ungefähr 0,159 und das ist ungefähr 16 Prozent. Für das Ergebnis rot grün rot ebenfalls 10/63 und so weiter. Wir interessieren uns jetzt für Ereignis E1, zweimal rot zu ziehen. Um das zu berechnen, musst Du alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, wo genau zweimal rot erscheint, aufsummieren. Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit P(E1) = P(rrg) + P(rgr) + P(grr), da bei diesen Ergebnissen rot genau zwei Mal erscheint. Und das = 3 * 10/63 = 10/21, das ist ungefähr 0,4761 und das = 47,61%. Dies nennt man die Summenregel. Sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Hier kann man nun gut den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis sehen. Das Ergebnis sind alle möglichen Ausgänge des mehrstufigen Zufallsexperiments. Zusammen ergeben sie die Ergebnismenge. Ein Ereignis ist eine Menge, von der man eine Wahrscheinlichkeit berechnen will. Sie ist in der Ergebnismenge enthalten, somit eine Teilmenge der Ergebnismenge. Zurück zum Baumdiagramm. Wenn Du dreimal aus einer Urne Kugeln ziehst und diese wieder zurück legst, schaut das Baumdiagramm etwas anders aus. Nach wie vor ziehst Du aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln. Du notierst Dir die gezogenen Kugeln und legst sie wieder in die Urne zurück. Die Anzahl der Kugeln in der Urne verändert sich nicht. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine grüne oder eine rote Kugel im ersten, zweiten oder dritten Zug zu ziehen, ist immer die gleiche. Für eine grüne Kugel ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 4/9 und für eine rote 5/9. Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse erhältst Du durch Anwendung der Pfadregel. Jetzt interessieren wir uns für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2), höchstens eine grüne Kugel nach drei Zügen gezogen zu haben. Dazu benötigst Du die Summenregel. Du addierst alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, in denen höchstens eine grüne Kugel auftaucht. Es ergibt sich die Rechnung P(E2) = P(rrr) + P(rrg) + P(rgr) + P(grr) = 125/729 + 3 * 100/729 = 425/729. Und das ist ungefähr 0,5829 und das = 58,29%. Okay, was hast Du gelernt: Ich habe Dir gezeigt, was ein Baumdiagramm ist, wozu man es braucht und wie man es erstellt. Dabei ist zu unterscheiden, ob man ein Baumdiagramm mit oder ohne Zurücklegen erstellt. Mit der Pfadregel kann man die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse berechnen. Dazu werden die Einzelwahrscheinlichkeiten an den zugehörigen Pfaden multipliziert. Mit der Summenregel hast Du gelernt, die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse zu berechnen. Dazu werden alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis passen, aufsummiert. Mit dem Wissen können wir jetzt die Eingangsfrage nach der Bonbontüte klären. Ausgangspunkt ist eine Tüte mit zehn roten und 20 grünen Bonbons. Sie entspricht einer Urne mit roten und grünen Kugeln. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander ein rotes Bonbon zu ziehen. Zuerst musst Du Dir überlegen, ob diese Situation einem Experiment mit oder ohne Zurücklegen entspricht. Wir nehmen mal an, dass Du die Bonbons auch isst, nachdem Du sie gezogen hast. Also handelt es sich hierbei um ein Ziehen aus einer Tüte ohne Zurücklegen. Zuerst kommt das Gerüst. Es gibt immer zwei verschiedene Pfade rot und grün. Dann musst Du Dir die Einzelwahrscheinlichkeiten an den Pfaden überlegen. Da wir das Experiment ohne Zurücklegen modelliert haben, verringert sich die Gesamtzahl der Bonbons nach jedem Zug um eins. Ebenso kann sich die Anzahl der roten und grünen Bonbons verringern, je nachdem, was zuvor gezogen wurde. Da wir uns nur für das Ergebnis dreimal rot interessieren, brauchen wir die anderen Ergebnisse nicht beachten. Die Wahrscheinlichkeit, dass Du dreimal hintereinander rot ziehst, ist demnach 6/203. Das ist ungefähr 0,0295 und das ist ungefähr 3%. Also recht gering. Da lohnt es sich doch, auch mal ein grünes zu essen. Das war es mit der kleinen Lektion über Baumdiagramme und den Verzehr von Bonbons. Bis bald.

4 Kommentare
  1. Jetzt habe ich es richtig verstanden

    Von Luwi12529, vor mehr als einem Jahr
  2. Sehr gutes Video. Hat mir sehr geholfen, danke:-)

    Von Marie M., vor fast 2 Jahren
  3. Du machst das sehr gut, übersichtlich und strukturiert♡

    Von Mariarudolf, vor mehr als 2 Jahren
  4. Gaaaanz tolles Video, endlich hab ich die Aufgaben mit "ohne Zurücklegen" verstanden. :)
    Weiter so! <3

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren

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Pfadregel und Summenregel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Pfadregel und Summenregel kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei rote Bonbons gezogen werden.

    Tipps

    Wir essen das Bonbon. Liegt dann ein Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen vor?

    Zeichne zur Veranschaulichung das dazugehörige Baumdiagramm.

    Beschrifte die Pfade deines Baumdiagramms mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Achte darauf, dass sich nach jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeiten ändern, da das gezogene Bonbon nicht zurückgelegt wird.

    Lösung

    Wir wählen zufällig 3 Bonbons aus, die wir essen wollen.

    Mathematisch können wir das als 3-stufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen auffassen.

    Wir veranschaulichen diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm, bei dem von jedem Knoten immer genau zwei Zweige ausgehen. Das machen wir über 3 Verzweigungen für die 3 Stufen.

    Wichtig zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten sind dabei die Pfad- und Summenregel. Die Pfadregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. Die Summenregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.

  • Benenne die wichtigsten Begriffe für ein- und mehrstufige Zufallsexperimente.

    Tipps

    Im Baumdiagramm repräsentiert jeder Pfad ein Ergebnis.

    Wie bestimmst du anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

    Lösung

    Baumdiagramme sind am besten geeignet, um einstufige und vor allem um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen.

    Ein möglicher Ausgang wird als Ergebnis bezeichnet und dessen Wahrscheinlichkeit wird laut Pfadregel berechnet als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

    Ein Ereignis kann sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzen und wird laut Summenregel als Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse berechnet.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens eine grüne Kugel zieht.

    Tipps

    Zu Beginn solltest du erst einmal beschreiben, wie viele Stufen das Zufallsexperiment hat und ob es sich um ein Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen handelt.

    Zeichne ein Baumdiagramm mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten.

    Welche Pfade treffen auf das Ereignis „höchstens eine grüne Kugel ziehen“ zu? Die Wahrscheinlichkeiten der zutreffenden Ergebnisse erhälst du durch das Anwenden der Pfadregel.

    Lösung

    Aufgaben zu ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten kannst du in fünf Schritten lösen.

    Schritt 1: Du stellst fest, wie viele Stufen das Zufallsexperiment hat und ob es sich um eine Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen handelt.

    Schritte 2: Dann notiere auf den Zweigen die Einzelwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Züge.

    Schritt 3: Bestimme die benötigten Ergebnisse. Mache dir dazu bewusst, welches Ereignis du berechnen willst und aus welchen Ergebnissen sich dieses Ereignis zusammensetzt.

    Schritt 4: Berechne die Wahrscheinlichkeiten der benötigten Ergebnisse entsprechend der Pfadregel. Dazu gehst du die entsprechenden Pfade durch und multiplizierst die Einzelwahrscheinlichkeiten.

    Schritt 5: Berechne die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses, indem du die Summenregel anwendest. Addiere dazu die Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, aus denen sich das gesuchte Ereignis zusammensetzt.

  • Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Fertige ein Baumdiagramm an. Zieht Tim mit oder ohne Zurücklegen?

    Bestimme zunächst die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Pfade.

    Überlege dir, aus welchen Ergebnissen die gesuchten Ereignisse bestehen.

    Nutze die Produktregel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.

    Nutze die Summenregel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.

    Lösung

    Zunächst schaust du dir an, aus welchen Ergebnissen dein Ereignis besteht, z.B. das Ereignis „keine Mandeltaler“ besteht aus den Ergebnissen „ZZ“, „ZL“, „LZ“ und „LL“.

    Die Pfadregel besagt: Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse erhälst du, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Pfade miteinander multiplizierst, z.B. ist $\text{P(ZZ)}=\frac{3}{12}\cdot\frac{2}{11}=\frac{6}{132}=\frac{1}{22}$, $\text{P(ZL)}=\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{11}=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$, $\text{P(LZ)}=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$ und $\text{P(LL)}=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$.

    Mit der Summenregel kannst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen, indem du die Wahrscheinlichkeiten der dazugehörigen Ergebnisse addierst. Beispielsweise rechnest du:

    $\text{P(keine Mandeltaler)}= \text{P(ZZ)}+\text{P(ZL)}+\text{P(LZ)}+\text{P(LL)}=\frac{1}{22}+\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\frac{1}{11}=\frac{7}{22}.$

    Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „verschiedene Kekse“ kann man auch die Gegenwahrscheinlichkeit von P(zwei gleiche Kekse) berechnen: \begin{align} \text{P(verschiedene Kekse)} &= 1- \text{P(zwei gleiche Kekse)} \\ &= 1- (\text{P(ZZ)}+\text{P(LL)}+\text{P(MM)}) \\ &= 1- (\frac{3}{12}\cdot \frac{2}{11}+\frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}+\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{11}) \\ &= 1- \frac{19}{66} = \frac{47}{66}. \end{align}

    Mit Hilfe der Pfad- und Summenregel berechnest du auch alle weiteren Wahrscheinlichkeiten.

  • Beschrifte das Baumdiagramm mit den richtigen Wahrscheinlichkeiten. 

    Tipps

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft Arno das Tor nicht?

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses errechnest du mit Hilfe der Pfadregel.

    Lösung

    Arno schießt ein Tor mit der Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{3}$. Das gilt sowohl für den ersten als auch für den zweiten Schuss. Also wird für a), c) und e) jeweils $\frac{2}{3}$ eingetragen.

    Mit der Gegenwahrscheinlichkeit von $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ trifft er das Tor nicht. Daher haben b), d) und f) den Eintrag $\frac{1}{3}$.

    Mit der Pfadregel kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse berechnen, in dem du die Einzelwahrscheinlichkeit entlang des Pfades miteinander multiplizierst. Es gilt also:

    g): $\text{P(TT)} = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9} $

    h): $\text{P(TV)} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9} $

    i): $\text{P(VT)} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9} $

    j): $\text{P(VV)} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

  • Erläutere, wie man die Wahrscheinlichkeit von „genau einmal Kopf“ beim dreimaligen Münzwurf berechnet.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis?

    Was besagt die Produkt- bzw. die Summenregel?

    Lösung

    Mit der Produktregel können wir die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen berechnen, indem wir die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Pfade miteinander multiplizieren. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse KZZ, ZKZ und ZZK jeweils $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.

    Mit der Summenregel können wir die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen, indem wir die Einzelwahrscheinlichkeiten der dazugehörigen Ergebnisse addieren. Das Ereignis „genau einmal Kopf“ besteht aus den Einzelergebnissen KZZ, ZKZ und ZZK, sodass dieses Ereignis gerade die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$ hat.